焦点专题3导数与函数综合问题(上)

1、焦点专题3导数与函数综合问题(上)【根底盘点】1、判断函数单调性四法：1和、积函数型观察法：(i)增函数+增函数为，如y x丄；x(ii)正的增函数x正的增函数为，如y x ex(x 0)；复合函数型箭头分析法在 fg(x)中，令 t g(x)，有 fg(x)f(t)，当 xt , f (t)时，fg(x)为函数，当 x , t , f(t)时，fg(x)为函数，当x , t , f(t)时，fg(x)为_函数等，如f(x) log2(x2 1)的递减区间为抽象函数型定义法：(i)当x1 x2时,f(X2)f(xj0，知 f(x)为函数,如 对于任意的实数 x, y，满足f (x y)f(x)

2、f(y)，且当 x 0 时，f (x)1 ,求证f (x)为增函数；(ii)当x1 x2时,f(X2) f(xj 0,知 f (x)为函数,f(y),且当 x 1 时，f(x) 0 ,函数，(ii) f (x)0 f (x)为jIQ1y/旌y=f(x)rX1x如 对于任意的正实数 x, y ,满足f(xy) f(x)求证f(x)为减函数;具体函数型导数法：(i) f (x)0 f (x)为_函数2、导数的几何意义：如图，曲线y f(x)在点P(x0, y0)处切线的斜率k ;切线方程为 .3、 用导数求函数的单调区间：解不等式f (x) 0可得函数f (x)的单调递区间 解不等式f (x) 0

3、可得函数f (x)的单调递区间.4、 知单调区间求参数的范围：函数f (x)在区间I上为增函数 在区间I上恒成立；函数f(x)在区间I上为减函数 在区间I上恒成立(且 f (x)0);通过研究恒成立问题求解参数的取值范围35、 导数与函数单调性的关系：(1)试求函数y x的单调区间，并说明单调区间端点值的取舍原那么为;(2)试举一例子说明函数f (x)在区间I上为增函数f (x)0在区间I上恒成立例子.6、常用求导公式 ： C , (xn),(sin x) , (cos x) ,xx(lnx) ,(logaX) ，(e ),(a ) 7、求导运算：(ku) ,(u v) ,(uv) ,(

4、87;)【例题精选】a【例1】讨论函数f(x) x (a R)的单调性，并画出其图象.x【题情捉摸】(1)函数f (x)的定义域为 ，需在此定义域讨论该函数的单调性；(2) f(x)的单调性与a的取值密切相关，当a 0时，可用法得到其单调性，当a 0时，也可用 法得到其单调性，当 a 0时，可用法研究其单调性，再根据每种情况下的单调性可画出其图象a函数f(x) x 在区间1,2上为增函数，求实数a的取值范围x【题情捉摸】(1) f (x)在1,2上为增函数 恒成立；(2)得a在1,2上恒成立，于是得a的取值范围.1 3【例2】(1)函数f(x) X3 x的递增区间为 .3【题情捉摸】(1)计算

5、得f (x) ;(2)令 f (x)0,解得X2(2)函数f (x) Inx kx,(k为常数)试讨论f (x)的单调性【题情捉摸】 注意到f(x)的定义域为 ,算得f(X)由于x 0,故只需抓住 ，讨论它在(0,)上的正、负即可【真题回忆】1、(2022广东理改)设kF(x)的单调性R，函数f (x)1-,xx、X, X0，F(x)0f (x) kx，试讨论函数【名模精选】2、(2022惠州二模文)曲线yA. x y 40 B. x在x2处的切线方程为140 C. x y 0D. x y 403、(2022广州二模理)函数xsinx,假设 x1,x2f x2 ,那么以下不等式中正确的选项是A

6、. x1x2X2x20D. x122X232x ax4、(2022广州一模文)函数是增函数，函数 f x在R上有三个零点，且bx c在,0上是减函数，在0,1上1是其中一个零点.(1)求 b的值；求f 2的取值范围;(3)试探究直线y x 1与函数yx的图像交点个数的情况，并说明理由5、(2022广州二模文)函数32x x x ax b(a,b R)的一个极值点为 x 1方程2ax x b 0的两个实根为函数f x在区间，上是单调的(1)求 a的值;求b的取值范围【参考答案】【例1】解：可得函数f(x)的定义域为x 0 ,当a0时，f '(x)1ax0,函数f (x)在(，0),(0,

7、)上为增函数；当a0时，f '(x)10 ,函数f (x)在(，0),(0,)上为增函数；当a0时，f '(x)1a22x2a (x 也x a)，令 f(x) 0，得 X1a ,2 2 2 x xxX2a，当x -、a或x .a时，f (x) 0 , f(x)单调递增，当.a x 0或0 x ,a 时，f (x)0，f (x)单调递减，这时f(x)在(，盲),(点，)上为增函数；在(,a,0),(0,a)上为减函数；由上面f (x)的单调性知，当a 0时，f (x)的图象如图a，当a 0时，f (x)的图象如图 b，当a 0时，f (x)的图象如图c，1,2)恒成立，当解:得f

8、 '(x)4(xxf (x)在1,2上为增函数时,a有 10,即 ax【例2】(1)解:由 fx2恒成立, a(x2)min1 .填 (,1(x)x2(2)解:(1)函数的定义域为(0,)，f'(x)1 故填(,x2 kx 11,1,)./ x 0,令 g(x)x2 kx 1，其对称轴为x 20,即 k 0 时,g(0)1,g(x)g(0)10在(0,)上恒成立,即有f (x) 0, f(x)在(0,)上为增函数；k2(ii) 当0,且 k 40,即 0 k 2 时,g(x) 0 有 f (x)0 恒成立，2f(x)在(0,)上为增函数；(iii) 当 k 2,g(x) (x

9、1)2,那么 x (0,1) U(1,)时,g(x) 0, f (x)0 ,所以f (x)是增函数；(iv) 当k 2时， k2 4 0,方程x2 kx 1 0有两不等实根Xi戸必k E,且均为正数,2kk2 4 kk2 4x2 或x小 时,g(x) 0, f (x)0, f (x)是增函数,二 x k口 时,g(x) 0,f(x) 0,f(x)是减函数;2 24),k用综上：当k 2时,f (x)在(0,)是增函数；当k 2时，f(x)在(0,')是增函数，在(kk ，严)是减函数.1、解：F(x)f(x) kxkx, xkx, xF'(x)1 k,x_1_2.x(1)当k

10、0时,假设xF (x)F(x)在(k, x,0)上为增函数,假设 x 0 , F (x)令 F (x) 0，得 x1k，令2 . x1乔，令F(x)4k(x)0,得2f x0 x $，4k21 k 0,解得12 ，4k1这时F(x)在(0,24k)上为减函数，在(*,)上为增函数;当k 0时，假设F (x)0 , F(x)在(，0)上为增函数,假设x 0, F(x)_1_2 .x0， F(x)在(0,)上为减函数,当k 0时，假设F (x)十(舍去)，令F(x)12 k，令F (x)0，解得人x1飞k 0,解得x得x右或x *，又上是减函数；0，知函数F(x)在(.k. k x kk二E,o)

11、上是增函数，在( k，令 F (x)假设 x 0, F (x)_1_2xk 0 , F(x)在(0,)上是减函数;综上所述，当k 0时，F(x)在(，0),函数；当k 0时，F(x)在(，0)上为增函数,土 0)上是增函数，在(，*)，(°,(*,在(0,1)上为增函数，在(0-4k)上为减函数；当k 0时，F(x)上是减函数)上为减2 3BD4.(1)解： f xx3 ax2 bx c,. f x3x2 2ax b./ f x在 ,0上是减函数，在 0,1上是增函数，当x 0时，f x取到极小值，即f 00. b 0.32解：由知，f x x ax c,/1是函数f x的一个零点，

12、即f 10 , c 1 a .fx在0,1上是增函数，且函数f x在R上有三个零点，52ar.3口X21 ，即 a. 丁是 f 28 4a 1 a 3a 7322x故f 2的取值范围为2a323x 2ax 0的两个根分别为捲 0，X2解：由知f xx32 axa，且a要讨论直线y x 1与函数yx图像的交点个数情况,即求方程组y2axx 1,3x2 ax解的个数情况. a3xx21x21 0.x20 . x1或x2a 0.由方程x2(*)得a2 2a 7.a假设0,即2 a2a70,解得|假设0,即2 a2a70 ,解得a假设0,即2 a2a70 ,解得a分别为x1a1a22a7,X22且当

13、a 2 时，0, x21.a 2 21.此时方程(*)无实数解.2 21.此时方程(*)有一个实数解x2 21 .此时方程(*)有两个实数解，1_a2_2a_72 .3综上所述，当a_ 2当a 2 21或a当a 2 21且a2 21时，直线y x 1与函数y f x的图像有一个交点2时，直线y x 1与函数y2时，直线y x 1与函数yx的图像有二个交点x的图像有三个交点325解:/ f x x x ax b,：2x 3x 2x a.32x x ax b的一个极值点为x 1, ： f 123 12 1 a 0得 a1.2由(1)得 f x 3x 2x 1 3x 1 x 1x 0；当 1 x 1 时，f x 0；当 x 1 时,3x 0；函数f x在111上单调递增，在 1 1上单调递减，在1,33上单调递增t方程a