勾股定理专题之几何体表面的最短路径教案.docx

1、勾股定理专题之几何体表面的最短路径（教案）授课班级：八年级（3）班 授课人：蔡经轮 时间：2017年12月26日教学目标1、知识与技能：能运用勾股定理解决简单的实际问题。2、过程与方法：学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学 建模的思想。3、情感、态度与价值观：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性，体现数学来源于生活。教学重点难点重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理，并用它们解决生活实际问题。 难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理，解决实际问

2、题。教学过程一、回顾复习勾股定理可以解决许多问题，如已知直角三角形的两边，求第三边，己知直角三角形的 一边和另两边的数量关系，求另外两边等。应用勾股定理解决实际问题，首先需要构造直角三角形。把问题转化为已知两边求第 三边的问题。然后确定好直角边和斜边，根据勾股定理求出线段的长度，即三角形的边长。 最短路径问题是几何中的常见问题，常分为平面内的最短路径和空间里的最短路径。平面内的最短路径通常用“两点之间，线段最短''来解决，更难一点的，需要进行转 化，如将军饮马模型。空间的最短路径往往以几何体为载体，解题思路往往相同，将立体图形张开成平面图 形，然后根据“两点之间，线段最短”，确

3、定最短路线，以最短路线为边构造直角三角形, 利用勾股定理求出最短路线长。基本思路：转化：化曲为直，将立体图形平面化。二、例题讲解立体台阶型题例1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20血、3dm. 2dm. A和B是这 个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台 阶面爬行到点B的最短路程为dm。分析：先将图形平面展开，再根据勾股定理进行解答解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为 20dm,宽为（2+3） X3dm,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.由勾股定理可得AB2 =202 + （2+3） X3F,解得AB=25.

4、即蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为25dmo长方体型题例2、如图，正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm, 一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C，处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？分析：解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点 间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算.CLBEADC圆锥体型题例3、如下图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m （结果不取近似值）

5、分析：求小猫经过的最短距离，首先应将其侧面展开，将问题转化为平面上两点间的距离的 问题，圆锥的侧面展开是个扇形，根据展开图中扇形的孤长与圆锥底面周长相等可求展开图 的扇形圆心角度数，故可得出展开图中ZBAP=90° ,即可用勾股定理求出小猫经过的最短距 离BP长.作出圆锥侧面展开后的扇形图如下图，设该扇形的圆心角度数为n,由展开扇形圆弧长等于底面圆周长，可得"V =心BC，180再由 AC = BC = 6m ,可得” = 180°,故在展开的平面图形中，ZC = -x 180° = 90°2点B到P的最短距离为BP = yjAB2 + AP-

6、 = W +3? = 375(/7?)圆柱体型题例4、有一个圆柱形油罐，已知油罐底面周长是12m,高AB是5m,要从点A处开始绕油罐 一周造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？分析：把圆柱沿AB侧面展开，连接AB,再根据勾股定理得出结论展开图如上图所示， 关于圆柱表面的展开，根据实际情况，如果路径是沿着圆柱侧面，则展开侧面得一长方形, 连接长方形上的相应两点，用勾股定理求最短距离即可。直击中考例5、如图，圆柱体容器中，高为L2ni,底面周长为Im,在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只 壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0. 3m与蚊子相对的点A处, 则壁虎捕捉蚊子的

7、最短距离为田(容器厚度忽略不计) 分析：如图，高为1. 2m,底面周长为Im,在容器内壁离容器底部0. 3m的点B处有一蚊子, 此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0. 3m与蚊子相对的点A处，二 A'。= 05m BD = 1.2 m将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A',连接"'，则4 B即为最短距离，AfB= /AfD2TBD2 = Jo* + 12 = 1.3( ni)三、练习反馈：1、如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上 相邻面的两个中心.一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,所走的最短路程是2、如图，正方体盒子的棱长为2, BC的中点为M, 一只 蚂蚊从M点沿正方体的表面爬到Di点，蚂蚁爬行的最短距 离是3如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm如 果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那 么所用细线最短需要cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要4、如图，圆柱的底面周长为6cm, AC是底面圆的直径，高BC=6cm, 点P是母线BC上一点，且PC=?BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱3体的表面爬行到点P的最短距离是。四、小结这节课我们利用勾股定理解决了几个实际问题。我们从中可以发现用数学知识解决这些 实际问题，更为重要的是将它们转化成数学