聚焦概念夯实基础修改稿

1、聚焦概念 夯实基础 -关于中考数学概念复习的应对策略关于中考数学概念复习的应对策略山大附中 冯耀亮 概念是最基本的思维形式。数学中的命题，概念是最基本的思维形式。数学中的命题，都是由概念构成的，数学中的推理和证明，也是都是由概念构成的，数学中的推理和证明，也是由命题构成的。可见，数学概念是数学学科知识由命题构成的。可见，数学概念是数学学科知识体系的基础，是数学学习能力根基之一。那种认体系的基础，是数学学习能力根基之一。那种认为要淡化概念教学的想法是欠妥的，不可取的。为要淡化概念教学的想法是欠妥的，不可取的。相反，要使学生获得系统而又全面的数学知识，相反，要使学生获得系统而又全面的数学知识，就必

2、须让学生获得清晰明确的数学概念。因此，就必须让学生获得清晰明确的数学概念。因此，在数学概念的教学中，特别是在中考复习中，必在数学概念的教学中，特别是在中考复习中，必须使学生正确、有效的把握数学概念，从而提高须使学生正确、有效的把握数学概念，从而提高数学解题能力。数学解题能力。 既然概念如此重要，那么面对众多的数学概既然概念如此重要，那么面对众多的数学概念，在复习中如何把握呢？下面我们就从三个方念，在复习中如何把握呢？下面我们就从三个方面一起进行探讨。面一起进行探讨。一一. .近三年山西省中考数学试题近三年山西省中考数学试题 数据统计数据统计二二. .解读新课标解读新课标 三三. .数学概念复习

3、建议数学概念复习建议一一.近三年山西省中考数学试题数据统计近三年山西省中考数学试题数据统计 （一）（一）从数量上看，从数量上看，每年的考题数量不变，都是每年的考题数量不变，都是26个题，但所考概念的数量却在不断增加，到个题，但所考概念的数量却在不断增加，到2010年已达年已达30个概念之多。说明题目的含金量在逐步提个概念之多。说明题目的含金量在逐步提高。高。 （二）（二）从内容上和分值上看从内容上和分值上看，代数与几何所占比，代数与几何所占比例比较接近。在复习中这两大块不可偏废。其中概例比较接近。在复习中这两大块不可偏废。其中概率与统计逐步稳定在率与统计逐步稳定在18分左右，且每年必考。分左右

4、，且每年必考。 （三）从（三）从新课标要求上看，新课标要求上看，所考概念涵盖了了解、所考概念涵盖了了解、理解、掌握和灵活运用等对知识技能目标所要求的理解、掌握和灵活运用等对知识技能目标所要求的所有方面。这就要求每个层次的概念都要复习到位。所有方面。这就要求每个层次的概念都要复习到位。山西省中考分值分布 上述数据告诉我们：中考对概念的考上述数据告诉我们：中考对概念的考查可谓是题多面广查可谓是题多面广.因此要想在茫茫概念因此要想在茫茫概念中牢牢掌握复习的主动权，在复习中取得中牢牢掌握复习的主动权，在复习中取得理想的效果，在中考中获得优异的成绩，理想的效果，在中考中获得优异的成绩，就必须去研究近几年

5、山西省中考题对概念就必须去研究近几年山西省中考题对概念的考查方式及内容，做到心中有数，有的的考查方式及内容，做到心中有数，有的放矢。放矢。 通过研究，每人都可以得到自己的结通过研究，每人都可以得到自己的结论，无论结论如何不同，它对复习都是有论，无论结论如何不同，它对复习都是有益的益的。通过研究，我总结了五大问题通过研究，我总结了五大问题： 1.1.了解（认识）的概念大约占了全部概了解（认识）的概念大约占了全部概念的念的5050以上，在复习中应当如何把握？以上，在复习中应当如何把握？ 2.2.为什么连续三年山西省中考题都有图为什么连续三年山西省中考题都有图案设计的作图题？案设计的作图题？ 3.3

6、.关于计算题的难度如何把握？关于计算题的难度如何把握？ 4.4.关于解决实际问题题目的类型问题。关于解决实际问题题目的类型问题。 5.5.关于压轴题的方向问题。关于压轴题的方向问题。 要想回答上述问题，找到问题的理由和要想回答上述问题，找到问题的理由和根据，就不得不从研究新课标说起。根据，就不得不从研究新课标说起。二二.解读新课标解读新课标（一）新课标对数学概念的要求层次（一）新课标对数学概念的要求层次 新课标对知识技能目标提出了四个层次的要求。具体如下：新课标对知识技能目标提出了四个层次的要求。具体如下： 1.了解（认识）了解（认识）-能从具体事例中，知道或能举例说明对能从具体事例中，知道或

7、能举例说明对象的有关特征（意义）；能根据对象的特征，从具体情景中辨象的有关特征（意义）；能根据对象的特征，从具体情景中辨认出这一对象。举例：科学计数法认出这一对象。举例：科学计数法 2.理解理解-能描述对象的特征和由来，能明确地阐述此对象能描述对象的特征和由来，能明确地阐述此对象与有关对象之间的区别和联系。举例：有理数与有关对象之间的区别和联系。举例：有理数 3.掌握掌握-能在理解的基础上，把对象运用到新的情景中能在理解的基础上，把对象运用到新的情景中举例：三角形的中位线举例：三角形的中位线 4.灵活运用灵活运用-能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用有关

8、的方法完成特定的数学任务有关的方法完成特定的数学任务 知识技能知识技能目标目标了解了解（认识）（认识）理理 解解掌掌 握握灵活运用灵活运用（二）主要数学概念按层次分类举例（二）主要数学概念按层次分类举例第一层次第一层次-了解了解 平方根，算术平方根，立方根，乘方与开方为平方根，算术平方根，立方根，乘方与开方为互逆运算，无理数，实数，近似数，有效数字，二互逆运算，无理数，实数，近似数，有效数字，二次根式及运算法则，整式，分式，不等式，常量，次根式及运算法则，整式，分式，不等式，常量，变量，函数及表示方法等，变量，函数及表示方法等， 角平分线及性质，补角、余角、对顶角及性质，角平分线及性质，补角、

9、余角、对顶角及性质，垂线及垂线段的性质，中垂线性质，全等三角形，垂线及垂线段的性质，中垂线性质，全等三角形，等腰三角形，等边三角形，直角三角形，多边形内等腰三角形，等边三角形，直角三角形，多边形内角和及外角和公式，四边形的不稳定性，等腰梯形角和及外角和公式，四边形的不稳定性，等腰梯形的性质及判定，圆周角，圆心角，直径所对的圆周的性质及判定，圆周角，圆心角，直径所对的圆周角，内心，外心，切线，三视图及展开图之间的关角，内心，外心，切线，三视图及展开图之间的关系，视点，视角及盲区，比例的性质，相似，位似，系，视点，视角及盲区，比例的性质，相似，位似，定义，命题及逆命题等定义，命题及逆命题等（二）主

10、要数学概念按层次分类举例（二）主要数学概念按层次分类举例第二层次第二层次-理解理解 有理数，相反数，乘方，运算律，用字母表示数，有理数，相反数，乘方，运算律，用字母表示数，配方法，一次函数图像和性质，正比例函数，园及有配方法，一次函数图像和性质，正比例函数，园及有关概念，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，轴关概念，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，轴对称、平移、旋转及性质，证明的必要性等。对称、平移、旋转及性质，证明的必要性等。第三层次第三层次-掌握掌握 有理数的运算，三角形中位线的性质，三角形全有理数的运算，三角形中位线的性质，三角形全等的条件，等腰三角形性质及判定，直角三角形性质等的条

11、件，等腰三角形性质及判定，直角三角形性质及判定，平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念、及判定，平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念、性质及判定性质及判定.第四层次第四层次-灵活运用灵活运用 利用轴对称，平移，旋转及其组合进行图案设计利用轴对称，平移，旋转及其组合进行图案设计等。等。（三）特别解读（三）特别解读 1.了解（认识）了解（认识）的概念大约占了全部概念的概念大约占了全部概念的的50以上，在复习中应当如何把握？以上，在复习中应当如何把握？ 2.为什么连续三年山西省中考题都有图案为什么连续三年山西省中考题都有图案设计的作图题？设计的作图题？ 3.关于计算题的难度如何把握？关于计算题的难度如

12、何把握？ 4.关于解决实际问题题目的类型问题。关于解决实际问题题目的类型问题。 5.关于压轴题的方向问题。关于压轴题的方向问题。（三）特别解读（三）特别解读 1.了解（认识）了解（认识）的概念大约占了全部概念的的概念大约占了全部概念的50以上，在复习中应当如何把握？以上，在复习中应当如何把握？ 答：这些数据从分值和数量两个方面都告诉答：这些数据从分值和数量两个方面都告诉我们，复习中要高度重视概念教学，特别是在思我们，复习中要高度重视概念教学，特别是在思想上要引起高度重视。概念是否过关在一定程度想上要引起高度重视。概念是否过关在一定程度上将决定中考成绩的高低。不过也不必紧张，因上将决定中考成绩的

13、高低。不过也不必紧张，因为新课标对这些概念的要求是较低的，只要能从为新课标对这些概念的要求是较低的，只要能从具体事例中，知道或能举例说明对象的有关特征具体事例中，知道或能举例说明对象的有关特征（意义）；能根据对象的特征，从具体情景中辨（意义）；能根据对象的特征，从具体情景中辨认出这一对象即可。这些概念的考查大多是以填认出这一对象即可。这些概念的考查大多是以填空和选择的题型出现。只要把握概念的内涵，理空和选择的题型出现。只要把握概念的内涵，理解概念外延。过关是大概率的事件。举例如下：解概念外延。过关是大概率的事件。举例如下：三年中考基本概念考题举例三年中考基本概念考题举例 (1)在在“2008北

14、京北京”奥运会国家体育场奥运会国家体育场“鸟鸟巢巢”钢结构工程施工建设中，首先使用了我国科研钢结构工程施工建设中，首先使用了我国科研人员自主研制的强度为人员自主研制的强度为460 000 000帕的钢材，这帕的钢材，这个数据用科学计数法表示为个数据用科学计数法表示为 帕。（帕。（2008山西）山西） (2).某校开展为地震灾区捐款活动，九年级（某校开展为地震灾区捐款活动，九年级（2）班第班第1 组组8名学生捐款如下（单位：元）名学生捐款如下（单位：元） 100 50 20 20 30 10 20 15则这组数据的众数是则这组数据的众数是 。（。（2008山西）山西） (3).如图所示的图形是由

15、如图所示的图形是由7个完全相同的小立方个完全相同的小立方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ）（2008山西）山西） (4).如图所示，如图所示，A、B、C、D是圆上的点，是圆上的点， 1=70 A=40 则则 C= 度（度（2009山西）山西） (5).在在RtABC中，中， C=90 ，若将各边长度都扩大为原来的若将各边长度都扩大为原来的2倍，倍，则则 A的的 正弦值（正弦值（ ）（）（2010山西）山西） (A) 扩大扩大2倍倍 (B) 缩小缩小2倍倍 (C) 扩大扩大4倍倍 (D) 不变不变 (6).在一个不透明的袋中在一个不透明的袋中

16、,装有若干个除颜色不同装有若干个除颜色不同外其余都相同的球外其余都相同的球,如果袋如果袋 中有中有3个红球且摸到红球个红球且摸到红球的概率为的概率为,那么袋中球的总个数为（那么袋中球的总个数为（ ）（）（2010山西）山西） (A) 15个个 (B) 12个个 (C) 9个个 (D) 3个个 另外，对要求较高的概念则另当别论。他们经另外，对要求较高的概念则另当别论。他们经常出现在填空题和选择题的最后部分以及压轴题上，常出现在填空题和选择题的最后部分以及压轴题上，需要进行针对性的专题训练。需要进行针对性的专题训练。ABCD1 2.为什么连续三年山西省中考题都有为什么连续三年山西省中考题都有图案设

17、计的作图题图案设计的作图题？20082008年年2020题（题（6 6分）分） 如图，在如图，在4 4 3 3的网格上，由个数相同的白色的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案（注：在下列网格中分别设计出符合要求的图案（注：不得与原图案相同；不得与原图案相同；黑、白方块的个数要相黑、白方块的个数要相同）。同）。2009年年20题（题（6分）分） 已知每个网格中小正方形的边长都是已知每个网格中小正方形的边长都是1，图，图1中的中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为阴影图案是由三段以格点

18、为圆心，半径分别为1和和2的的圆弧围成圆弧围成（1）填空：图）填空：图1中阴影部分的面积是中阴影部分的面积是 （结果保（结果保留）；留）；（2）请你在图）请你在图2中以图中以图1为基本图案，借助轴对称、为基本图案，借助轴对称、平移或旋转设计一个完整的花边图案（要求至少含有平移或旋转设计一个完整的花边图案（要求至少含有两种图形变换）（第两种图形变换）（第20题题 图图2）（第20题 ）圖1圖2圖3圖420102010年年2020题（题（6 6分）分） 山西民间建筑的门窗图案中，隐含着丰富的山西民间建筑的门窗图案中，隐含着丰富的数学艺术之美。图数学艺术之美。图1 1是其中一个代表，该窗格图是其中一

19、个代表，该窗格图案是以图案是以图2 2为基本图案经过图形变换得到的。图为基本图案经过图形变换得到的。图3 3是图是图2 2放大后的一部分，虚线给出了作图提示，放大后的一部分，虚线给出了作图提示，请用圆规和直尺画图。请用圆规和直尺画图。 (1) (1) 根据图根据图2 2将图将图3 3补充完整；补充完整； (2) (2) 在图在图4 4的正方形中的正方形中, ,用圆弧和线段设计一个用圆弧和线段设计一个美观的轴对称或中心对称图形。美观的轴对称或中心对称图形。 答：从黑白格到弧线，再到尺规作图。答：从黑白格到弧线，再到尺规作图。三年考题作图难度逐步加大，图形更加复三年考题作图难度逐步加大，图形更加复

20、杂。其实，轴对称，平移，旋转以及组合杂。其实，轴对称，平移，旋转以及组合作图这个内容在新课标对概念的要求中是作图这个内容在新课标对概念的要求中是最高的。要达到灵活运用的程度。考这样最高的。要达到灵活运用的程度。考这样稀缺资源的内容，真是体现了新课标的要稀缺资源的内容，真是体现了新课标的要求。图案每年在变，形式始终如一。由此求。图案每年在变，形式始终如一。由此可见，研究新课标，研究中考题的重要性。可见，研究新课标，研究中考题的重要性。请大家在思想上要引起高度重视。请大家在思想上要引起高度重视。3.关于计算题的难度如何把握？关于计算题的难度如何把握？ 答：答：20082008年，计算分值为年，计算

21、分值为1515分；分；20092009年分值年分值为为1313分；分；20102010年分值为年分值为1717分。计算题分值总体维持分。计算题分值总体维持在在1515分左右，主要包括实数计算，整式计算，分式计分左右，主要包括实数计算，整式计算，分式计算。难度适中。在计算方面新课标要求如下：算。难度适中。在计算方面新课标要求如下： （1 1）会进行简单的二次根式的四则运算，但有理）会进行简单的二次根式的四则运算，但有理数的运算是掌握内容，要求较高。数的运算是掌握内容，要求较高。 （2 2）整式运算中，多项式相成仅指一次，运用公）整式运算中，多项式相成仅指一次，运用公式不能超过两次。式不能超过两次

22、。 （3 3）分式方程中分式的个数不超过两个。）分式方程中分式的个数不超过两个。 如此看来，只要加强基本运算训练，苦练基本功如此看来，只要加强基本运算训练，苦练基本功即可。不要人为增加难度，干出力不讨好的事。要在即可。不要人为增加难度，干出力不讨好的事。要在有限的时间内严格按新课标的要求进行复习，这是节有限的时间内严格按新课标的要求进行复习，这是节省时间，提高效率的绿色通道省时间，提高效率的绿色通道 4.关于解决实际问题题目类型的问题关于解决实际问题题目类型的问题 在近三年的中考题的在近三年的中考题的2424题都是解决实际问题的题目。题都是解决实际问题的题目。从内容上看，从内容上看，20082

23、008年是用分式方程解决的，年是用分式方程解决的，20092009年是用年是用方程组和二次函数解决的，方程组和二次函数解决的，20102010年则是用不等式组解决年则是用不等式组解决的。从新课标上看，解决实际问题还有如下的描述：的。从新课标上看，解决实际问题还有如下的描述： 利用三角函数和直角三角形解决实际问题；利用三角函数和直角三角形解决实际问题； 利用相似解决实际问题；利用相似解决实际问题； 能用一次函数解决实际问题；能用一次函数解决实际问题； 能用反比例函数解决某些实际问题；能用反比例函数解决某些实际问题； 用勾股定理解决实际问题用勾股定理解决实际问题. .5.关于压轴题的思考关于压轴题

24、的思考2008年26题（14分） 如图，已知直线l1的解析式为y=3x+6，直线l2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线l2经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l2从点C向点B移动。点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（1t10）。（1）求直线l2的解析式。（2）设PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式。（3）试探究：当t为何值时，PCQ为等腰三角形等腰三角形?2009年26题（14分） 如图，已知直线l1 :y=2/3x+8/3 与直线l2:y=-2x+16相交于点C, l1. l2分别交X轴于A、B两

25、点矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1. l2上，顶点F、G都在X轴上，且点G与点B重合（1）求ABC的面积；（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；（3）若矩形DEFG从原点出发，沿X 轴的反方向以每秒1个单位长度的 速度平移，设移动时间为t(0t10) 秒，矩形DEFG与ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围 .ADBEOCFxyy（G）（第26题）2010年26题（14分） 在直角梯形OABC中，CB/OA，COA=90，CB=3，OA=6，BA=3。分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系。 (1) 求点B的坐标； (2)

26、 已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，直线DE交x轴于点F。求直线DE的解析式； (3) 点M是(2)中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。xyABCDEOFM 纵观三年的中考压轴题，分值都是纵观三年的中考压轴题，分值都是1414分，和计算题的分值分，和计算题的分值持平，但难度却却不能相提并论持平，但难度却却不能相提并论. .万万不可轻视。万万不可轻视。 从试题内容来看，这三年分别考了动点与等腰三角形、从试题内容来看，这三年分别考了动点与等腰三角形、动点与矩

27、形和动点与菱形动点与矩形和动点与菱形. .如果对压轴题的分析停留于此，是如果对压轴题的分析停留于此，是得不到什么有价值的结论的。但如果从新课标上看，就会有得不到什么有价值的结论的。但如果从新课标上看，就会有重要的发现。重要的发现。 从新课标对概念的要求来看，他们都处于掌握层次。从从新课标对概念的要求来看，他们都处于掌握层次。从这一点上看山西省中考题的压轴题就全面而深刻的体现了新这一点上看山西省中考题的压轴题就全面而深刻的体现了新课标的精神。把课标的精神。把掌握掌握的内容放在压轴题中体现了山西省数学的内容放在压轴题中体现了山西省数学命题组对新课标理解的深刻性与把握的准确性。只要我们勤命题组对新课

28、标理解的深刻性与把握的准确性。只要我们勤于研究，真抓实干，压轴题是压不倒我们的。于研究，真抓实干，压轴题是压不倒我们的。 这又一次说明研究新课标，研究中考题的重要性，我们这又一次说明研究新课标，研究中考题的重要性，我们在复习中不要只是低头拉车，还要抬头看路。在复习中把研在复习中不要只是低头拉车，还要抬头看路。在复习中把研究中考题，研究新课标和中考复习联系在一起，多做有用究中考题，研究新课标和中考复习联系在一起，多做有用功，减少无用功。请大家在思想上要引起高度功，减少无用功。请大家在思想上要引起高度重视。重视。 例例.如图，直角梯形ABCD中，ABDC， DAB=90 ，AD=2DC=4，AB=

29、6动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动当点M到达点B时，两点同时停止运动过点M作直线lAD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q点M运动的时间为t（秒）（1）当t=0.5时，求线段QM的长；（2）当0t2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；（3）当t2时，连接PQ交线段AC于点R请探究CQ/RQ是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由ABCDABCDQABCDlMPE三数学概念复习建议三数学概念复习建议（一）理清概念知识结构，进行系统化复习（一）理清概念知识结构，进行系统化复

30、习 在复习第一阶段，一定要学生系统掌握课本在复习第一阶段，一定要学生系统掌握课本的基础知识和基本技能，这是复习的出发点和归宿。的基础知识和基本技能，这是复习的出发点和归宿。面对每一个内容老师都要和学生一起构建知识结构面对每一个内容老师都要和学生一起构建知识结构图，一定要使学生对所学概念在知识体系中的位置图，一定要使学生对所学概念在知识体系中的位置和作用做到有心中有数。然后要有针对性的做一些和作用做到有心中有数。然后要有针对性的做一些练习题，做到内容习题化。复习时，可以依托一本练习题，做到内容习题化。复习时，可以依托一本可靠的复习资料，但也要重视课本的作用。在这个可靠的复习资料，但也要重视课本的

31、作用。在这个阶段不求快，不求深、不求难。力求做到概念过关，阶段不求快，不求深、不求难。力求做到概念过关，能力提高。能力提高。 举例：举例：三角形三角形基本作图基本作图三三 角角 形形概概 念念三三 角角 形形的的 性性 质质全全 等等三三 角角 形形三角形的三角形的边角关系边角关系一一 般般 三三 角形性质角形性质特殊三角特殊三角形形 性质性质判判 定定性性 质质三角形三角形的分类的分类等等 腰腰三角形三角形直直 角角三角形三角形轴对称轴对称按按角角分分按按边边分分 关于角平分线可安排如下练习题组 1.如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且1 =2。求证：OB =

32、OC。 2.如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且OB = OC。求证：1 =2。 OEDABC下面就三角形的中线，高，角平分线的复习谈点看法下面就三角形的中线，高，角平分线的复习谈点看法 首先要说明这三种线都是在三角形中定义的，都是线首先要说明这三种线都是在三角形中定义的，都是线段；段； 其次要讲清它们的位置及其性质，特别强调高的位置其次要讲清它们的位置及其性质，特别强调高的位置和性质；以及如何根据垂心的位置来判断三角形的形状；和性质；以及如何根据垂心的位置来判断三角形的形状； 第三就是要挖掘由这些基本性质引申出来的新的性质第三就是要挖掘由这些基本性质引申出来的新

33、的性质为广泛应用这些概念打下基础。为广泛应用这些概念打下基础。 3.如图，在ABC中，BEAC，ADBC，D、BE相交于点P，AE = BD。求证：P在ACB的角平分线上。 4.如图，在ABC中，AC = BC，C = 90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E。已知CD = 4cm，求AC的长；求证：AB = AC + CD。PCBADEEDABC（二）挖掘概念内在价值，进行条理化复习（二）挖掘概念内在价值，进行条理化复习 根据概念的本质特征，挖掘其内在的价值，进行整理归根据概念的本质特征，挖掘其内在的价值，进行整理归纳，加以总结，就会形成一种数学方法或解题模式，按照这纳，加以总结，就

34、会形成一种数学方法或解题模式，按照这个模式就能解决一类数学问题。随着复习的深入，这种模式个模式就能解决一类数学问题。随着复习的深入，这种模式和方法的应用价值就会愈来愈大。这种自下而上的挖掘和整和方法的应用价值就会愈来愈大。这种自下而上的挖掘和整理的方式会使知识和方法更加条理和实用。起到四两拨千斤理的方式会使知识和方法更加条理和实用。起到四两拨千斤的作用。举例如下：的作用。举例如下：关于中线关于中线 我们都知道我们都知道“中线倍长中线倍长”的方法。就的方法。就 是遇到中线的题目时，只要把中线延长是遇到中线的题目时，只要把中线延长一倍，构造全等三角形就能解决问题。一倍，构造全等三角形就能解决问题。

35、 但这其中的道理是什么呢？你但这其中的道理是什么呢？你只要敢于挖掘就能得到更有价值的结论。只要敢于挖掘就能得到更有价值的结论。 其实，这里的关键就是中点的作用，中点给我其实，这里的关键就是中点的作用，中点给我们提供了全等的条件。沿着这条思路想下去，就们提供了全等的条件。沿着这条思路想下去，就会得出只要有中点就能倍长的结论。我称之为会得出只要有中点就能倍长的结论。我称之为“中中点倍长点倍长”.弹无虚发，行之有效。弹无虚发，行之有效。 如在证明三角形中位线性质定理时延长如在证明三角形中位线性质定理时延长DE一倍一倍就是这个道理；再如下面就是这个道理；再如下面的常见题目都是这个道理的常见题目都是这个

36、道理。 1.在四边形ABCD中，ADBC,E为AB的中点，CE平分BCD,求证：AD+BC=DC. 2.在ABC中，BM是角平分线，N是AC的中点，NFBM交BC于E，交AB延长线于F，求证：AF=CE=1/2（AB+BC） 为此就要对有关中点的定理进行汇总：为此就要对有关中点的定理进行汇总： 1.三角形中位线平行于第三边，并且等于第三三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。边的一半。 2.直角三角形斜边中线等于斜边的一半直角三角形斜边中线等于斜边的一半 3.等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合线互相重合 4.对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形 5.线段中垂线上的点到线段两端的距离相等线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 一旦形成一种方法和模式，就要反复训练，一旦形成一种方法和模式，就要反复训练，达到掌握的程度。但也要不断更新，与时俱进，达到掌握的程度。但也要不断更新，与时俱进，和谐发展。如一个中点可以考虑和谐发展。如一个中点可以考虑“中点倍长中点倍长”，若遇到两个中点，三个中点呢？若遇到两个中点，三个中点呢？ 1.如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，中，A=110，E，F分别是边分别是边AB和