函数产生的历史背景和发展过程_百度文库

1、函数产生的历史背景和发展过程历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,函数概念对数学发展的影响, 可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡,回顾函数概念的历史发展,看一看函数概念不断被 精炼、深化、丰富的历史过程,是一件十分有益的事情,它不仅有助于我们提高对函数概念来 龙去脉认识的清晰度,而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展,数学学习的巨大作用. (一马克思曾经认为,函数概念来源于代数学中不定方程的研究.由于罗马时代的丢番图对不定 方程已有相当研究,所以函数概念至少在那时已经萌芽.自哥白尼的天文学革命以后,运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题,人们在思 索:既然地球不是宇宙中心

2、,它本身又有自转和公转,那么下降的物体为什么不发生偏斜而还 要垂直下落到地球上 ? 行星运行的轨道是椭圆,原理是什么 ? 还有,研究在地球表面上抛射物体 的路线、射程和所能达到的高度,以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题,既是科学家的 力图解决的问题,也是军事家要求解决的问题,函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数 学概念,这是函数概念的力学来源.(二早在函数概念尚未明确提出以前, 数学家已经接触并研究了不少具体的函数, 比如对数函数、 三角函数、双曲函数等等. 1673年前后笛卡儿在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于 另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念

3、,因此直到 17世纪后 期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义.1673年,莱布尼兹首次使用函数一词表示 “ 幂 ” ,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵 坐标、切线长等曲线上点的有关几何量.由此可以看出,函数一词最初的数学含义是相当广泛 而较为模糊的,几乎与此同时,牛顿在微积分的讨论中,使用另一名词 “ 流量 ” 来表示变量间的 关系,直到 1689年,瑞士数学家约翰 ·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进 行了明确定义,贝努里把变量 x 和常量按任何方式构成的量叫 “x 的函数 ” ,表示为 yx.当时,由于连接变数与常数的运算主要是算术运

4、算、三角运算、指数运算和对数运算,所以 后来欧拉就索性把用这些运算连接变数 x 和常数 c 而成的式子,取名为解析函数,还将它分成 了 “ 代数函数 ” 与 “ 超越函数 ” .18世纪中叶, 由于研究弦振动问题, 达朗贝尔与欧拉先后引出了 “ 任意的函数 ” 的说法. 在解 释 “ 任意的函数 ” 概念的时候,达朗贝尔说是指 “ 任意的解析式 ” ,而欧拉则认为是 “ 任意画出的一 条曲线 ” .现在看来这都是函数的表达方式,是函数概念的外延.(三函数概念缺乏科学的定义,引起了理论与实践的尖锐矛盾.例如,偏微分方程在工程技术中 有广泛应用,但由于没有函数的科学定义,就极大地限制了偏微分方程理

5、论的建立. 1833年至 1834年,高斯开始把注意力转向物理学.他在和 W·威伯尔合作发明电报的过程中,做了许多 关于磁的实验工作,提出了 “ 力与距离的平方成反比例 ” 这个重要的理论,使得函数作为数学的 一个独立分支而出现了,实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究.后来,人们又给出了这样的定义:如果一个量依赖着另一个量,当后一量变化时前一量也随 着变化,那么第一个量称为第二个量的函数. “ 这个定义虽然还没有道出函数的本质,但却把变 化、运动注入到函数定义中去,是可喜的进步. ”在函数概念发展史上, 法国数学家富里埃的工作影响最大, 富里埃深刻地揭示了函数的本质, 主张函数不

6、必局限于解析表达式. 1822年,他在名著热的解析理论中说, “ 通常,函数表 示相接的一组值或纵坐标,它们中的每一个都是任意的 ,我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律;他们以任何方式一个挨一个. ” 在该书中,他用一个三角级数和的形式表达了一个 由不连续的 “ 线 ” 所给出的函数.更确切地说就是,任意一个以 2为周期函数,在-, 区间内,可以由表示出,其中富里埃的研究,从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想,在当时的数学界引起了很大 的震动.原来,在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟,级数把解析式和曲线沟通了, 那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍.通过一场争论,

7、产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义.1834年,俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义:“x 的函数是这样的一个数,它对于每 个 x 都有确定的值,并且随着 x 一起变化.函数值可以由解析式给出,也可以由一个条件给出, 这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法. 函数的这种依赖关系可以存在, 但仍然是未知的. ” 这个定义建立了变量与函数之间的对应关系,是对函数概念的一个重大发展,因为 “ 对应 ” 是函 数概念的一种本质属性与核心部分.1837年,德国数学家狄里克莱(Dirichlet 认为怎样去建立 x 与 y 之间的关系无关紧要, 所以他的定义是:“ 如果对于 x 的每一值, y 总有完

8、全确定的值与之对应,则 y 是 x 的函数. ” 根据这个定义,即使像如下表述的,它仍然被说成是函数(狄里克莱函数:f (x = 1 (x 为有理数,0 (x 为无理数.在这个函数中,如果 x 由 0逐渐增大地取值,则 f (x 忽 0忽 1.在无论怎样小的区间里, f (x 无限止地忽 0忽 1.因此,它难用一个或几个式子来加以表示,甚至究竟能否找出表达式 也是一个问题.但是不管其能否用表达式表示,在狄里克莱的定义下,这个 f (x 仍是一个函 数.狄里克莱的函数定义,出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,以完全清 晰的方式为所有数学家无条件地接受.至此,我们已可以说,函数概念

9、、函数的本质定义已经 形成,这就是人们常说的经典函数定义.(四生产实践和科学实验的进一步发展,又引起函数概念新的尖锐矛盾,本世纪 20年代,人类 开始研究微观物理现象. 1930年量子力学问世了,在量子力学中需要用到一种新的函数 -函数,即 (x =0, x0,x=0.且-函数的出现,引起了人们的激烈争论.按照函数原来的定义,只允许数与数之间建立对应 关系, 而没有把 “” 作为数. 另外, 对于自变量只有一个点不为零的函数, 其积分值却不等于零, 这也是不可想象的.然而, -函数确实是实际模型的抽象.例如,当汽车、火车通过桥梁时, 自然对桥梁产生压力.从理论上讲,车辆的轮子和桥面的接触点只有

10、一个,设车辆对轨道、桥 面的压力为一单位,这时在接触点 x=0处的压强是P(0 =压力/接触面 =1/0= .其余点 x0处,因无压力,故无压强,即 P(x =0.另外,我们知道压强函数的积分等于 压力,即函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展,产生了新的现代函数定义:若对集合 M 的 任意元素 x, 总有集合 N 确定的元素 y 与之对应, 则称在集合 M 上定义一个函数, 记为 y=f(x . 元素 x 称为自变元,元素 y 称为因变元.函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字,但却是概念上的重大发展,是数 学发展道路上的重大转折,近代的泛函分析可以作为这种转折的标志,它研究的是一般集合上 的函数关系.函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革,形成了函数的现代定义,应该说已经相当完 善了.不过数学的发展是无止境的,函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结, 近二十年来,数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念 “ 关系 ” .设集合 X 、 Y ,我们定义 X 与 Y 的积集 X×Y 为X×Y=(x,y |x X,y Y .积集 X×Y 中的一子集 R 称为 X 与 Y 的一个关系,若(x,y R ,则称 x 与 y 有关系 R ,记 为 xRy. 若(x,y R ,则称 x 与 y 无关