极限的基本性质（课堂PPT）

1、第四节第四节 极限的基本性质极限的基本性质 第一章第一章 一、极限的唯一性一、极限的唯一性二、收敛数列的有界性及有极限二、收敛数列的有界性及有极限 函数的局部有界性函数的局部有界性三、极限的保号性三、极限的保号性(或局部保号性或局部保号性)四、收敛数列与其子列的关系四、收敛数列与其子列的关系五、函数极限与数列极限的关系五、函数极限与数列极限的关系如果极限如果极限那么极限唯一那么极限唯一.证证 (用反证法用反证法)及及且且. ba 取取,2abaxn 因因存在存在 N1 , 使当使当 n N1 时时, 假设假设一、唯一性一、唯一性定理定理1.1 (极限的唯一性极限的唯一性)nnx limaxnn

2、 limbxnn limaxnn lim,2ab )(lim0 xfxx),(lim(xfx 或或存在，存在，即当即当 n N1 时时, 从而从而 使当使当 n N1 时时, 同理同理, 因因故存在故存在 N2 , 使当使当 n N2 时时, 有有从而从而 使当使当 n N2 时时, 有有,22abaxabn ,2baxn 23babxnn lim,2abbxn ,22abbxabn ,2baxn nxba 223ab 2banx 矛盾！矛盾！因此收敛数列的极限必唯一因此收敛数列的极限必唯一.则当则当 n N 时时, 取取12max,NNN 故假设不真故假设不真 !2,2baxbaxnn 又又

3、有有既既有有例例1 证明数列证明数列是发散的是发散的. 证法证法1 (用反证法用反证法)假设数列假设数列nx收敛收敛 , 则有唯一极限则有唯一极限 a 存在存在 .对于对于,21 则存在则存在 N ,21a21aa使当使当 n N 时时 , 有有因此该数列发散因此该数列发散 .21 axn2121 axan)21,21( aaxn于是推得于是推得, 1122 NNxx122 NNxx211 )(矛盾！矛盾！区间长度为区间长度为1这与这与),2,1()1(1 nxnn二、有界性二、有界性定义定义 对数列对数列nx, 若存在正数若存在正数 M, 使得一切正整使得一切正整数数n, 恒有恒有Mxn 成

4、立成立, 则称数列则称数列 nx有界；有界； 否则否则, 称为称为nx无界无界. 例如例如:11 nnx）（数数列列nnx2 数数列列数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点 nx都落在闭区间都落在闭区间,MM 上上. 有界有界无界无界定理定理1.2 (收敛数列的有界性收敛数列的有界性)nx如果数列如果数列收敛收敛,那么数列那么数列nx一定有界一定有界.问题问题 对于无限多项对于无限多项，.),2, 1( nxn如何求如何求 M ？可可取取.1,.,max21 axxxN M证证 设设,limaxnn 取取,1 ,Z N则则当当Nn 时时, 从而有从而有nxaaxn a 1取取 ,ma

5、x21NxxxM a 1则有则有. ),2,1( nMxn即收敛数列必有界即收敛数列必有界.aaxn )(,1 axn有有例如例如, 1)1( n虽有界但不收敛虽有界但不收敛 .数列数列关系：关系： 收敛收敛 有界有界反之未必成立反之未必成立 .)(limxfx 如果极限如果极限存在存在, 则必存在则必存在 X 0, f (x)是有界的是有界的.使得当使得当 nx nx时时，函函数数),(),( XXx推论推论 无界数列必发散无界数列必发散.定理定理1.2(函数极限的局部有界性函数极限的局部有界性)注注类似地，类似地，R,)(lim0 AAxfxx若若.),()(0上上有有界界在在 xUxf,

6、0 则则三、三、 保号性、保序性保号性、保序性定理定理1.3 (收敛数列的保号性收敛数列的保号性)(1) 若若,0,lim aaxnn且且则则， NN使当使当n N 时，时，. 0 nx()()(2) 若若),(00Nnxn ,limaxnn 则则 a 0.( 0 , 取取, a ,时时当当Nn axn nx0 aa,N N则则证证 (1)a (2) 用反证法证明用反证法证明.注注axNnxnnn lim)(00，且且由由. 0 a如：如：, 01 nxn. 01limlim nxnnn但但据此，可由极限符据此，可由极限符号推得函数在该点号推得函数在该点邻域内的符号邻域内的符号据此，可由函数在

7、该点邻据此，可由函数在该点邻域内的符号推得极限符号域内的符号推得极限符号推论推论1.3 (收敛数列的保序性收敛数列的保序性)，若若 N)2(N使当使当n N 时，恒有时，恒有 nnyx .lim,limbabyaxnnnn ，则则且且(1) 若若,limaxnn , ba 且且Nn 当当时时, 有有.nnyx ,limbynn ,N N则则 证证推推论论即即可可得得证证。，此此并并利利用用定定理理令令3 .1,nnnyxz 定理定理1.3 (函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性)(1) 如果如果,)(lim0Axfxx 且且 A 0 ,. 0)( xf)0)( xf则存在则存在( A 0

8、), 0 ,),(0时时使当使当 xUx (2) 如果如果,)(lim0Axfxx 且存在且存在),(0 xU,),(0时时使当使当 xUx ，0)( xfA 0 .),0)( xf则则( A 0 ).据此，可由极限符据此，可由极限符号推得函数在该点号推得函数在该点邻域内的符号邻域内的符号据此，可由该点邻据此，可由该点邻域内函数的符号推域内函数的符号推得极限的符号得极限的符号若若 f (x) 0 时时, 有有 f (x) g (x),. 0)(lim)(lim xgxfxx但是但是)(lim)(lim00 xgxfxxxx 不能！不能！又如，又如，. 0lim)(lim00 xxfxx但但),

9、 0(, 0)( Uxxxf 问题问题在子数列在子数列中中, 一般项一般项knx是是子子数列数列的第的第k 项项, 在在原原数列数列 xn 中则是第中则是第kn项项.四、四、 收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系1. 子数列的概念子数列的概念knxknx.,.,21knnnxxx数列数列 xn 的子数列的子数列(或子列或子列)：knx)N,N(.121 knnnnkk例如例如, 从数列从数列1n中抽出所有的偶数项中抽出所有的偶数项 是其子数列是其子数列. 它的第它的第k 项是项是)3, 2, 1( 212， kkxxknk而而在原数列中则是第在原数列中则是第2k 项项. k21k2

10、1组成的数列：组成的数列：2. 收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系定理定理1.4的的任任意意子子数数列列则则若若,limnnnxax knx也收敛，且也收敛，且.limaxknk , axkn证证 设设knxnx是是的任一子数列的任一子数列 .若若,limaxnn 则则,0 ,Z N当当 Nn 有有 axn取正整数取正整数 K , 使使,NnK 于是当于是当Kk 时时, knKnN 从而有从而有.limaxknk 注注axnn lim.limlim122axxkkkk 1某某knx收敛收敛例如，例如，1lim121 kknnxx，虽虽然然）（数数列列但但发散发散.nx收敛收敛nx

11、2若数列有两个子数列收敛于不同的极限，若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散则原数列一定发散 .例例1 证法证法2 ),2, 1()1(1 nxnn发散发散 !1lim2 kkx1lim12 kkx 3五、五、 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)(lim0 xfxxnx0 x如果极限如果极限存在存在,为函数为函数 f (x)的的敛于敛于的数列的数列, 且满足且满足:),Z(0 nxxn那么相应的函数那么相应的函数 值数列值数列)(nxf必收敛必收敛, 且且).(lim)(lim0 xfxfxxnn 的定义域内任一收的定义域内任一收定理定理1.4(函数极限与数列极限

12、的关系函数极限与数列极限的关系)证证 00 xx存在，可设存在，可设)(lim0 xfxx恒恒有有时时使使当当正正整整数数对对上上述述, 0NnN ,)( Axfn从而有从而有,lim00 xxxxnnn 且且又又.)(lim0Axfxx .)(limAxfnn 故故.00 xxn.)( Axf使当使当, 0, 0 恒有恒有时时,nnnsinlim)1( . 0sinlim xxx注注1 常常常常利用上述结果来求数列的极利用上述结果来求数列的极限限:. )(lim)(limlimxfnfxxnnn 例如例如:xxysin nnn1sinlim ) 01( nxn，则，则若已知若已知1sinli

13、m)2(0 xxx221sin1limnnnnn )01(2 nnxn1sinlim nnnxx1sinlim nnnxx2 常利用此定理来常利用此定理来说明函数极限不存在说明函数极限不存在 .方法方法1 找一个数列找一个数列 :nx,0 xxn , )(0 nxxn且且不存在不存在 .)(limnnxf 说明说明方法方法2 找两个趋于找两个趋于0 x的不同数列的不同数列 nx及及 ,nx 说明说明)(limnnxf ).(limnnxf 例例2 证明证明xx1sinlim0不存在不存在 .证证 取两个趋于取两个趋于 0 的数列的数列021 nxn及及0212 nxn有有nnx1sinlim nnx 1sinlim由定理由定理1.5 ， 知知xx1sinlim0不存在不存在 .),2,1( n02sinlim nn1)2sin(lim2 nn二者不二者不相等相等,有界函数未有界函数未必有极限必有极限. 内容小结内容小结1. 收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性唯一性 , 有界性有界性 , 保号性保号性, 保序性保序性;任一子数列收敛于同一极限任一子数列收敛于同一极限2. 函数极限的性质函数极限的性质:唯一性唯一性 , 局部有界性局部有界性 , 局部保号性局部保号性, 局部保序性局部保序性;3. 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列