空间几何体的三视图及其表面积、体积和立体几何的三个难点问题(共49页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上空间几何体的三视图及其表面积、体积和立体几何的三个难点问题一、空间几何体的三视图及其表面积、体积柱、锥、台、球及其简单组合体，三视图，直观图等内容是立体几何的基础，是研究空间问题的基本载体，也是高考对立体几何考查的一个重要方面，其中几何体的结构特征和三视图是高考的热点(一)高考对三视图的三个考查角度1由几何体画三视图或考查对简单几何体的三视图的识别解答此类问题的关键是：一要掌握各种基本几何体的三视图，注意简单组合体的构成；二要熟悉三视图“长对正、高平齐、宽相等”的法则例1如图所示，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面

2、，该三棱锥的主视图是()解析结合三视图的画法规则可知B正确答案B2由三视图还原几何体，考查对空间几何体的认识及空间想象能力由几何体的三视图还原几何体，一般如下处理：首先通过俯视图确定几何体底面的大致形状，然后利用正视图和侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，确定几何体的形状例2三视图如图所示的几何体是()A三棱锥B四棱锥C四棱台D三棱台解析由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形答案B3借助于三视图研究几何体的表面积、体积解决此类问题关键是通过三视图确定空间几何体中的几何量的关系其中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、

3、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度例3如图是某几何体的三视图，其中正视图是斜边长为2a的直角三角形，侧视图是半径为a的半圆，则该几何体的体积是()A.a3B.a3C.a3 D2a3解析由侧视图为半圆可知，该几何体与圆柱、圆锥、球有关，结合正视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆锥，将剖面放置在桌面上，如图，由条件知，半圆锥的母线长为2a，底面半径为a，故半圆锥的高为a，几何体的体积V×a3.答案A(二)求体积的几种方法空间几何体的体积是高考考查立体几何的考点之一，求空间几何体的体积的常用方法主要有：公式法、转化法、割补法

4、1公式法：直接根据相关的体积公式计算例4一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4，则该正方体的表面积为_解析依题意知正方体的体对角线长等于球的直径，设球的半径为R，则4R3，所以R，于是正方体的体对角线长为2.设正方体的棱长为a，则有2a，于是a2，因此正方体的表面积为6a224.答案242转化法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高，从而使得体积计算更容易，或是可以求出一些体积比等例5如图所示，在正六棱锥PABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为()A11B12C21D32解析根据三棱锥的特点，可以采用等体积转化的方法解决法一：如图所

5、示，由于点G为PB的中点，故点P，B到平面GAC的距离相等，故三棱锥PGAC的体积等于三棱锥BAGC的体积，根据三棱锥的特点，所要解决的两个三棱锥的体积之比就等于三棱锥GACD与三棱锥GABC的体积之比，由于这两个三棱锥的高相等，体积之比等于其底面积之比，即ACD与ABC的面积之比，这个面积之比是21.法二：如图所示，连接BD交AC于H，则点D，B到平面GAC的距离之比等于DHBH，因为AHDCHB，故DHBHADBC21，三棱锥DGAC与三棱锥BGAC底面积相等，故其体积之比等于其高的比，即所求比值是21.答案C3割补法：把不能直接计算其体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可以计算体

6、积的空间几何体，通过这个空间几何体的体积计算所求的空间几何体的体积例6如图所示，若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A. B.C. D.解析如图所示，平面ABCD把该多面体分割成两个体积相等的正四棱锥以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该正四棱锥的高是正方体边长的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，V2××××.答案B二、破解高考中立体几何的三个难点问题破解难点一：探究与球有关的组合体问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量

7、关系，并作出合适的截面图如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心、“切点”或“接点”作出截面图例1四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_解析如图所示，根据对称性，只要在四棱锥的高线SE上找到一个点O使得OAOS，则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上在RtSEA中，SA，AE1，故SE1.设球的半径为r，则OAOSr，OE1r.在RtOAE中，r2(1r)2

8、1，解得r1，即点O为球心，故这个球的体积是.答案破解难点二：平面图形翻折问题的求解将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称之为平面图形翻折问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化，有的没有发生变化，弄清它们是解决问题的关键一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质可能会发生变化，解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法例2如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知ADE是ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是()动点A在平

9、面ABC上的射影在线段AF上；BC平面ADE；三棱锥A­FED的体积有最大值ABC D解析中由已知可得面AFG面ABC，所以点A在面ABC上的射影在线段AF上BCDE，且BC平面ADE，DE平面ADE，BC平面ADE.当面ADE面ABC时，三棱锥A­FED的体积达到最大答案C破解难点三：立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题的主要类型有：(1)探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么；(2)探索结论，即在给定的条件下，命题的结论是什么1综合法对命题条件的探索常采用以下三种方法：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的

10、条件，再证明其充分性；(3)把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设例3(2013·东城模拟)如图，在BCD中，BCD90°，BCCD1，AB平面BCD，ADB60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且(0<<1)(1)判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；(2)是否存在，使得平面BEF平面ACD，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由解(1)EF平面ABC.因为AB平面BCD，所以ABCD

11、，又在BCD中，BCD90°，所以BCCD，又ABBCB，所以CD平面ABC.又在ACD中，E，F分别是AC，AD上的动点，且(0<<1)，EFCD.EF平面ABC.(2)存在CD平面ABC，BE平面ABC，BECD，BCD90°，BCCD1，BD.在RtABD中，ADB60°，ABBDtan 60°，则AC，当BEAC时，BE，AE，则，则时，BEAC，又BECD，ACCDC，BE平面ACD.BE平面BEF，平面BEF平面ACD.所以存在，且当时，平面BEF平面ACD.方法2.空间向量法不论是对命题条件还是对命题结论的探索，利用空间向量法均

12、可降低思维难度和计算难度，只要合理建立空间直角坐标系，标出各点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量(根据题中要求可引入参数)，结合结论和已知条件(若有参数则解出参数)，即可得出结果例4(2012·淄博模拟)已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD2，AB1，PA平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点(1)证明：PFFD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角APDF的余弦值解(1)证明：PA平面ABCD，BAD90°，AB1，AD2，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

13、则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)不妨令P(0,0，t)，则(1,1，t)，(1，1,0)，·1×11×(1)(t)×00，即PFFD.(2)存在，设平面PFD的法向量为n(x，y，z)，由得令z1，解得xy.n.设G点的坐标为(0,0，m)，E，则，要使EG平面PFD，只需·n0，即×0×m×1m0，得mt，从而满足AGAP的点G即为所求(3)AB平面PAD，是平面PAD的法向量，易得(1,0,0)又PA平面ABCD，PBA是PB与平面ABCD所成的角，得PBA45°

14、;，则PA1，平面PFD的法向量为n，cos，n，从而二面角APDF的余弦值为.两类不等式恒成立问题的求解策略不等式恒成立问题是数学试题中的重要题型，涉及数学中各部分知识，但主要是函数中的不等式恒成立问题和数列中的不等式恒成立问题，涉及题型一般有两类：一是已知不等式恒成立，求参数的取值范围，解决这类问题的基本方法是相同的，首选方法是利用分离参数转化为求新函数、新数列的最值问题，如果不能分离参数或者分离参数比较复杂时，一般选择函数的方法，通常利用函数的最值解决；二是证明不等式恒成立，在函数中一般选择以算代证，即通过求函数的最值证明不等式在数列中，很多时候可以与放缩法结合起来，对所证不等式的一侧进

15、行适当放大或缩小，下面分别举例说明一、函数中的不等式恒成立问题函数是不等式恒成立问题的主要载体，通常通过不等式恒成立问题考查等价转化思想、函数的最值或值域，对涉及已知函数在给定区间上恒成立，求参数的取值范围、证明不等式等问题，大多数题目可以利用分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值或值域问题例1已知两个函数f(x)8x216xk，g(x)2x35x24x，其中k为实数(1)若对任意的x3,3，都有f(x)g(x)成立，求k的取值范围；(2)若对任意的x1、x23,3，都有f(x1)g(x2)，求k的取值范围解(1)令F(x)g(x)f(x)2x33x212xk.问题转化为F(x)0在x3,3

16、时恒成立，故解F(x)min0即可F(x)6x26x126(x2x2)，故由F(x)0，得x2或x1.F(3)k45，F(3)k9，F(1)k7，F(2)k20，F(x)mink45.由k450，解得k45.故实数k的取值范围是45，)(2)由题意可知当x3,3时，都有f(x)maxg(x)min.由f(x)16x160，得x1.f(3)24k，f(1)8k，f(3)120k，f(x)maxk120.由g(x)6x210x40，得x1或x.g(3)21，g(3)111，g(1)1，g，g(x)min21.则120k21，解得k141.实数k的取值范围是141，)点评将恒成立问题转化为求函数的最

17、值问题来处理，一般有下面两种类型：(1)若所给函数能直接求出最值，则有：f(x)>0恒成立f(x)min>0；f(x)0恒成立f(x)max0.(2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围，则有(下面的a为参数)：f(x)<g(a)恒成立g(a)>f(x)max；f(x)>g(a)恒成立g(a)<f(x)min.例2已知函数f(x)aln xx2，(a为实常数)(1)若a2，求函数f(x)的单调区间；(2)若对x1，e，使得f(x)(a2)x恒成立，求实数a的取值范围解(1)函数f(x)的定

18、义域为(0，)，当a2时，f(x)x22ln x，所以f(x).令f(x)>0，得x<1或x>1.且定义域为(0，)，所以函数f(x)的单调增区间是(1，)令f(x)<0，得1<x<1，且定义域为(0，)，所以函数f(x)的单调减区间是(0,1)(2)不等式f(x)(a2)x，可化为a(xln x)x22x.因为x1，e，所以ln x1x且等号不能同时取，所以ln xx，即xln x>0.因而a(x1，e)令g(x)(x1，e)，又g(x)，当x1，e时，x10，ln x1，x22ln x>0，从而g(x)0(当且仅当x1时取等号)所以g(x)在

19、1，e上为增函数故g(x)maxg(e).所以a的取值范围是.点评利用不等式与函数和方程之间的联系，将问题转化成一次函数或二次函数(二次方程)的问题研究，一般有下面几种类型：1一次函数型问题：利用一次函数的图象特点求解对于一次函数f(x)kxb(k0)，xm，n，有(1)f(x)0恒成立(2)f(x)<0恒成立2二次函数型问题：结合抛物线的形状考虑对称轴、顶点、区间端点等，列出相关的不等式，求出参数的解，下面是两种基本类型：对于二次函数f(x)ax2bxc(a0，xR)，有：(1)f(x)>0对xR恒成立(2)f(x)<0对xR恒成立二、数列中的不等式恒成立问题数列是一种特殊

20、的函数，所以解决数列中的不等式恒成立问题与函数中不等式恒成立问题的解法相同，基本方法也是利用分离参数转化为求新数列的最值问题，数列中的最值问题一般是应用数列的单调性求解；而数列中的不等式恒成立的证明，则很多时候可以与放缩法联系起来例3在数列an中，a11，an1cancn1·(2n1)(nN*)，其中实数c0.(1)求an的通项公式；(2)若对一切kN*有a2k>a2k1，求c的取值范围解(1)由a11，a2ca1c2·33c2c(221)c2c，a3ca2c3·58c3c2(321)c3c2，a4ca3c4·715c4c3(421)c4c3，归纳

21、猜想an(n21)cncn1，nN*.下面用数学归纳法证明：当n1时，等式成立；假设当nk时，等式成立，即ak(k21)ckck1，则当nk1时，ak1cakck1(2k1)c(k21)ckck1ck1·(2k1)(k22k)ck1ck(k1)21·ck1ck，综上，an(n21)cncn1对任何nN*都成立(2)由a2k>a2k1，得(2k)21c2kc2k1>(2k1)21c2k1c2k2，因c2k2>0，所以4(c2c)k24ckc2c1>0对kN*恒成立记f(x)4(c2c)x24cxc2c1，下面分三种情况讨论：当c2c0，即c0或c1时，

22、代入验证可知只有c1满足要求当c2c<0时，即0<c<1，抛物线yf(x)开口向下，因此当正整数k充分大时，f(k)<0，不符合题意，此时无解当c2c>0，即c<0或c>1时，抛物线yf(x)开口向上，易知>0，其对称轴x必在直线x1的左边因此，f(x)在1，)上是增函数所以要使f(k)>0对kN*恒成立，只需f(1)>0即可由f(1)3c2c1>0，解得c<或c>.结合c<0或c>1，得c<或c>1.结合以上三种情况，c的取值范围为1，)点评本题中关于k的不等式，不能通过分离参数将k与c分离

23、，这时的一般解法是直接利用函数知识求函数最值，只是这时的函数定义域不是连续区间，这也是数列与函数的区别由此可见，数列中的不等式恒成立与函数中不等式恒成立的解法基本相同，不同之处就是定义域不同排列组合在高考中的多方位交汇及古典概型与几何概型中的三类错误 一、排列组合在高考中的多方位交汇排列组合问题在高考中是常考内容，但近些年在考查角度及与其他知识的综合上有了加强，这反映出高考题中重在考查学生综合运用知识、分析问题、解决问题的能力有以下几个题型热点一：组合知识与向量知识的综合例1在集合1,2,3,4,5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量a(a，b)从所有得到的以原点为起点的向量中任

24、取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m，则()A.B.C. D.解析由已知条件，满足要求的向量分别为(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，故能构成的平行四边形个数nC15.由S平行四边形|x1y2x2y1|可得，(2,1)，(2,3)两向量构成的平行四边形面积为 S1|2×31×2|4，(2,3)，(2,5)两向量构成的平行四边形面积为S2|2×52×3|4，(2,1)，(4,1)两向量构成的平行四边形面积为S3|2×11×4|2，(2,

25、1)，(4,3)两向量构成的平行四边形面积为S4|2×31×4|2，(2,3)，(4,5)两向量构成的平行四边形面积为S5|2×53×4|2.面积不超过4的共有m5个故所求概率为.答案B点评本题中计数要求不高，但大家要有代入检验的意识热点二：组合知识与概率知识的综合例2盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_解析由题意知，从5个球中随机取出2个球共有C10种不同取法，而取出的球颜色不同共有C·C6种不同取法，故所取出的2个球颜色不同的概率P.答案点评注意情景中的抽取

26、球的过程与顺序无关，因此属组合问题，在找2个球颜色不同的个数时，又用了分步计数原理的知识热点三：排列知识与概率知识的综合例3有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是()A. B.C. D.解析5本书的全排列有A种排法，其中语文书相邻的排法有AA种，数学书相邻的排法有AA种，语文书数学书各自同时相邻的排法有AAA种，故所求概率为.答案B点评图书摆放在书架上具有顺序性，因此属于排列问题，本题在处理都不相邻的问题上灵活应用了间接思维，使复杂问题简单化二、盘点古典概型与几何概型中的三类错误古典概型与几何概型是高考中的常考

27、知识点对于古典概型，列举法仍是求解其概率的主要方法，而与排列、组合问题相结合的概率问题仍是命题的热点；对于几何概型除掌握其定义外，其题型的重点主要体现在两种常见的几何度量长度、面积，难度不会太大，但题型可能较灵活，背景更新颖如下几个类型易错：类型一：知识性错误例1设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2只球(1)求这2只球都是白球的概率；(2)求这2只球中1只是白球1只是黑球的概率错解一次摸出2只球，观察结果的颜色只能是(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种情况，(1)用A表示“2只球都是白球”这一事件，则A(白，白)，所以P(A).(2)用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一

28、事件，则B(白，黑)，所以P(B).错因分析在上述错解中(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种结果的出现不是等可能的正解我们不妨把4只白球标以1,2,3,4号，2只黑球标以5,6号，则基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,6)，(6,1)，(6,2)，(6,5)，共30个(1)用A表示“2只球都是白球”这一事件，则A(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共12个所以P(A).(2)用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件，则B(1,5)，(1,6

29、)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)共16个所以P(B).类型二：数学思维方法应用错误例2有6个房间安排4个旅客住，每个人可以住进任一房间，且住进各房间是等可能的(1)指定的4个房间中各有1人住的事件的概率为_；(2)指定的房间有2人住的事件的概率为_错解所有基本事件的个数为6×5×4×3360.(1)指定的4个房间中各有1人住，有4×3×2×124种，故所求的概率为；(2)从4人中选2人去指定的房间，

30、有6种方法，余下2人每人去5个房间中的任一间，有5×420种方法，故所求的概率为.错因分析本题错误地理解了基本事件的个数，忽视了基本事件可以包含多个人住一个房间的情况正解每人可以进住任一房间，且进住各房间都有6种等可能的方法，故所有可能的情况有64种，(1)指定的4个房间中各有1人住，有4×3×2×124种，故所求的概率为；(2)从4人中选2人去指定的房间，有6种方法，余下2人每人去5个房间中的任一间，有52种方法，故所求的概率为.类型三：审题错误例3在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在ACB内部任作一射线CM，与线段AB交于点M，求AM<AC

31、的概率错解如图，点M随机地落在线段AB上，故线段AB的长为基本事件的度量，当M位于线段AC(ACAC)上时，AM<AC，故线段AC的长为所求事件的度量故P(AM<AC)P(AM<AC).答：AM的长小于AC的概率是.错因分析由于本题是在ACB作射线CM，等可能分布的是CM在ACB内的任一位置，因此基本事件的度量应是ACB的大小而不是线段AB的长，这是类似问题由于等可能的视角不同造成的，概率也会不一样正解据题意知AM<AC的概率应为满足条件的ACM与ACB大小的比，即P(AM<AC).几点建议1重视错题病例“错误是最好的老师”，错题病例也是财富，它有时暴露我们的知识

32、缺陷，有时暴露我们的思维不足，有时暴露我们的方法不当毛病暴露出来了，也就有治疗的方向，提供了纠错的机会，只有认真地追根溯源查找错因，教训才会深刻建议在复习过程中做到建立错题集，特别是那些概念理解不深刻、知识记忆错误、思维不够严谨、方法使用不当等典型错误收集成册，并加以评注，指出错误原因，经常翻阅，常常提醒，以绝后患注意收集错题也有个度的问题，对于那些一时粗心的偶然失误，或一时情绪波动而产生的失误应另作他论2培养良好的审题能力解题时审题要慢，要看清楚，步步为营，稳中求快，立足于一次成功，不要养成唯恐做不完，匆匆忙忙抢着做，寄希望于检查的坏习惯，这样做的后果一则容易先入为主，致使有时错误难以发现；

33、二则一旦发现错误，尤其是起步就错，又要重复做一遍，既浪费时间，又造成心理负担平面向量中的三角形“四心”问题在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了考生分析问题、解决问题的能力现就“四心”作如下介绍：1“四心”的概念与性质(1)重心：三角形三条中线的交点叫重心它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为21.在向量表达形式中，设点G是ABC所在平面内的一点，则当点G是ABC的重心时，有0或()(其中P为平面内任意一点)反之，若0，则点G是ABC的重心在向量的坐标表示中，若G，A，B，

34、C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则有x，y.(2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心它与顶点的连线垂直于对边在向量表达形式中，若H是ABC的垂心，则···或222222.反之，若···，则H是ABC的垂心(3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等在向量表达形式中，若点I是ABC的内心，则有|·|·|·0.反之，若|·|·|·0，则点I是ABC的内心(

35、4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等在向量表达形式中，若点O是ABC的外心，则()·()·()·0或|.反之，若|，则点O是ABC的外心2关于“四心”的典型例题例1已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的_心解析由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知是ABC的中线所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心答案重点评探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合，这可从已知等式出发，利用

36、向量的线性运算法则进行运算得之例2已知ABC内一点O满足关系230，试求SBOCSCOASAOB 之值解延长OB至B1，使BB1OB，延长OC至C1，使CC12OC，连接AB1，AC1，B1C1，如图所示，则2，3，由条件，得0，所以点O是AB1C1的重心从而SB1OC1SC1OASAOB1S，其中S表示AB1C1的面积，所以SCOAS，SAOBS，SBOCSB1OC×SB1OC1S.于是SBOCSCOASAOB123.点评本题条件230与三角形的重心性质0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从

37、而可求三部分的面积比引申推广已知ABC内一点O满足关系1230，则SBOCSCOASAOB123.例3求证：ABC的垂心H、重心G、外心O三点共线，且|HG|2|GO|.证明对于ABC的重心G，易知，对于ABC的垂心H，设m()，则m()(m1) mm.由·0，得(m1) mm()0，(m1) ·()m(22)0，因为|，所以(m1) ·()0.但与不一定垂直，所以只有当m1时，上式恒成立所以，从而，得垂心H、重心G、外心O三点共线，且|2|.引申推广重心G与垂心H的关系：()点评这是著名的欧拉线，提示了三角形的“四心”之间的关系我们选择恰当的基底向量来表示它们，

38、当然最佳的向量是含顶点A、B、C的向量例4设A1，A2，A3，A4，A5 是平面内给定的5个不同点，则使0成立的点M的个数为()A0B1C5D10解析根据三角形中的“四心”知识，可知在ABC中满足0的点只有重心一点，利用类比的数学思想，可知满足本题条件的点也只有1个答案B点评本题以向量为载体，考查了类比与化归，归纳与猜想等数学思想本题的详细解答过程如下：对于空间两点A，B来说，满足0的点M是线段AB的中点；对于空间三点A，B，C来说，满足0，可认为是先取AB的中点G，再连接CG，在CG上取点M，使MC2MG，则M满足条件，且唯一；对于空间四点A，B，C，D来说，满足0，可先取ABC的重心G，再

39、连接GD，在GD上取点M，使DM3MG，则M满足条件，且唯一，不妨也称为重心G；与此类似，对于空间五点A，B，C，D，E来说，满足0，可先取空间四边形ABCD的重心G，再连接GE，在GE上取点M，使EM4MG，则M满足条件，且唯一 巧用斜率妙解题及突破圆锥曲线中的三个难点问题 一、巧用斜率妙解题巧用一利用斜率求参数的取值范围利用斜率的几何意义可以求类似斜率形式的最值问题例1设点A(2,3)，B(3,2)，若直线axy20与线段AB没有交点，则a的取值范围是()A.B.C.D.解析直线axy20恒过点M(0，2)，且斜率为a，kMA，kMB，由图可知，a>且a<，a.答案B点评本题之

40、妙在于借助图形的直观性，建立关于参数的不等式求解巧用二利用斜率求函数或线性规划问题对形如的函数，在求其最值时，可以将看成动点(x，y)与定点(a，b)所在直线的斜率，先利用条件求得直线斜率的取值范围，进而得到所求函数的最值例2函数z的值域为_解析设y，则有x2y21(y0)，即点(x，y)为半圆x2y21(y0)上的点，即z.所以z可看成点(x，y)与点(4,1)所在直线的斜率如图所示，可得斜率的取值范围为.所以函数z的值域为.答案例3如果实数x，y满足条件则的取值范围是_解析作出可行域，如图所示，知点(x，y)在ABC的内部及其边界，32·，的几何意义是动点(x，y)与定点(1,1

41、)连线的斜率由图可知：(0，1)与(1,1)连线的斜率最大，且值为2；(1,0)与(1,1)连线的斜率最小，且值为，所以2，所以432·7.答案4,7点评以上两题妙处在于利用数形结合的思想，将求值域的问题转化为求直线斜率的相关问题巧用三利用斜率证明三点共线我们知道，如果三点A，B，C在同一条直线上，那么直线AB的斜率与直线BC的斜率相等利用这一个特征，我们可以借助直线的斜率证明三点共线例4已知三点A(1，1)，B(3,3)，C(4,5)求证：A，B，C三点在同一条直线上证明法一：因为A(1，1)，B(3,3)，C(4,5)，得kAB2，kBC2，所以kABkBC，故A，B，C三点共线

42、法二：因为A(1，1)，B(3,3)，C(4,5)，所以|AB|2，|BC|，|AC|3，所以|AB|BC|AC|，即A，B，C三点共线点评本题解法一之妙在于将共线问题转化为求证斜率相等的问题，减少了计算量数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精准计算与几何图形的直观描述相结合，使代数问题与几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合巧用斜率公式是数形结合思想的典型应用二、突破圆锥曲线中的三个难点问题突破难点一：圆锥曲线中的定点问题圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本

43、思想是明确的，定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的某个点，就是要求的定点例1在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆1的左，右顶点为A，B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.(1)设动点P满足|PF|2|PB|24，求点P的轨迹；(2)设x12，x2，求点T的坐标；(3)设t9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)解由题意得A(3,0)，B(3,0)，F

44、(2,0)(1)设点P(x，y)，则|PF|2(x2)2y2，|PB|2(x3)2y2.由|PF|2|PB|24，得(x2)2y2(x3)2y24，化简得x.故所求点P的轨迹为直线x.(2)由x12，1及y1>0，得y1，则点M，从而直线AM的方程为yx1；由x2，1及y2<0，得y2，则点N，从而直线BN的方程为yx.由解得所以点T的坐标为.(3)证明：由题设知，直线AT的方程为y(x3)，直线BT的方程为y(x3)点M(x1，y1)满足得·，因为x13，则·，解得x1，从而得y1.点N(x2，y2)满足解得x2，y2.若x1x2，则由及m>0，得m2，

45、此时直线MN的方程为x1，过点D(1,0)若x1x2，则m2，直线MD的斜率kMD，直线ND的斜率kND，得kMDkND，所以直线MN过D点因此，直线MN必过x轴上的点(1,0)点评化解这类难点问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量突破难点二：圆锥曲线中的定值问题圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值例2已知抛物线y24x的焦点为F，直线

46、l过点M(4，0)(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值解(1)由已知，直线l的方程为x4时不合题意设直线l的方程为yk(x4)，由已知，抛物线的焦点坐标为(1,0)，因为点F到直线l的距离为，所以，解得k±，所以直线l的斜率为±.(2)证明：设线段AB的中点坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB不垂直于x轴，则直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，直线AB的方程为yy0(xx0)，联立方程消去x得y2y0yyx0(x04)0

47、，所以y1y2.因为N为AB的中点 ，所以y0，即y0，解得x02，即线段AB中点的横坐标为定值2.点评求定值问题，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值突破难点三：圆锥曲线中的范围及最值问题圆锥曲线中的范围问题既是高考的热点问题，也是难点问题解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系，但根据目标函数和不等式求范围正是求解这类问题的难点建立目标函数的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特性、判别式法或基本不等式等灵活处理例3已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(2,0)，且长轴长与短轴长的比是2.

48、(1)求椭圆C的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点当|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围解(1)设椭圆C的方程为1(a>b>0)由题意，得解得a216，b212.所以椭圆C的方程为1.(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为1，故4x4.因为(xm，y)，所以|2(xm)2y2(xm)212·x22mxm212(x4m)2123m2.因为当|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x4时，|取得最小值而x4,4，故有4m4，解得m1.又点M在椭圆的长轴上，所以4m4.故实数m的取值范围是1,4例4已知点F(0,1)

49、，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且··.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)已知圆M过定点D(0,2)，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A，B两点，设|DA|l1，|DB|l2，求的最大值解(1)设P(x，y)，则Q(x，1)，··，(0，y1)·(x,2)(x，y1)·(x，2)即2(y1)x22(y1)，即x24y.所以动点P的轨迹C的方程为x24y.(2)设圆M的圆心坐标为(a，b)，则a24b.圆M的半径为|MD| .圆M的方程为(xa)2(yb)2a2(b2)2.令y0，则(xa)2b

50、2a2(b2)2，整理得，x22ax4b40.由解得xa±2.不妨设A(a2,0)，B(a2,0)，l1 ，l2 .2 2 ，当a0时，由得，2 2 2.当且仅当a±2时，等号成立当a0时，由得，2.故当a±2时，的最大值为2.点评求圆锥曲线中的范围及最值问题，关键是建立不等关系，然后利用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式求出相关问题三法破解集合运算和充要条件判断的问题一、三法定乾坤谈集合运算问题的三种方法集合的基本运算主要包括交集、并集、补集，集合是历年高考的必考内容，解决集合的基本运算问题，首先要明确集合中元素的性质，通过解不等式求出每个集合，然后弄清几

51、个集合之间的关系，最后利用列举法、借助数轴或Venn图等根据交集、并集、补集的定义进行基本运算，从而得出结果1列举法列举法就是通过枚举集合中所有的元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法此类方法适用于数集的有关运算以及集合的新定义运算问题其基本的解题步骤是：例1设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Qz|za÷b，aP，bQ，若P1,0,1，Q2,2，则集合P*Q中元素的个数是()A2B3C4 D5解析当a0时，无论b取何值，za÷b0；当a1，b2时，z(1)÷(2)；当a1，b2时，z(1)÷2；当a1，b2时，z1÷(2)；当a1，b

52、2时，z1÷2.故P*Q，该集合中共有3个元素答案B点评求解两个集合之间的运算应该注意三个问题：一是集合中元素的形式，元素是数还是有序数对，是函数的定义域还是函数的值域等；二是注意集合中对应不等式端点值的处理，尤其是求解集合补集的运算，一定要搞清端点值的取舍；三是求解集合的补集运算时，一定要先求出原来的集合，然后求其补集，不要直接转化条件而导致漏解出错，如集合A的补集不是B，而是B.2数形结合法数形结合法就是利用数轴或Venn图表示出相关集合，然后根据图形求解集合的补集或者进行相关集合的交集、并集的基本运算其求解的基本步骤是：例2(2013·嘉兴模拟)已知全集UR，集合Ax|log(x1)>0，B，则B(UA)()A0,1 B0,1)C(0,1) D(0,1解析由log(x1)>0，得0<x1<1，即1<x<2，A(1,2)由<0，得x(2x3)<0，即0<x<，B.如图所示，在数轴上表示出集合A，B.则UA(，12，)，B(UA)(0,1答案D点评数形结合