202X年高考数学一轮复习第五章数列、推理与证明第7讲数学归纳法课件理

1、第7讲数学归纳法1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)，第二步是归纳递推(或归纳假设)，两步缺一不可.2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等.DC3.凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸 n1 边形有对角线数f(n1)为()CA.f(n)n1B.f(n)nC.f(n)n1D.f(n)n2故当 nk1 时，不等式成立.上述证法()A.过程全都正确C.归纳假设不正确B.n1 验得不正确D.从 nk 到 nk1 的推理不正确D考点

2、 1 用数学归纳法证明恒等式命题所以当 nk1 时，等式也成立.由(1)(2)可知，对于一切 nN*等式都成立.【规律方法】(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.(2)由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.【互动探究】考点 2 用数学归纳法证明不等式命题(1)解：由题意，得Snbnr，解得 r1.当n2时，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1).因为b0，且b1，所以当n2时

3、，an是以b为公比的等比数列.【规律方法】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题：当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.用数学归纳法证明不等式的关键是由nk 成立，推证nk1 时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明方法.【互动探究】2.函数f(x)x22x3.定义数列xn如下：x12，xn1是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标.(1)证明：2xnxn13；(2)求数列xn的通项公式.考点 3 用数学归纳法证明整除性命题例 3：试证：当n为正整数时，f(n)32n2

4、8n9能被64整除.证明：方法一，(1)当 n1 时，f(1)348964，命题显然成立.(2)假设当 nk(k1，kN*)时， f(k)32k28k9能被64整除.32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1)，即f(k1)9f(k)64(k1)，当nk1时命题也成立.根据(1)(2)可知，对任意的nN*，命题都成立.方法二，(1)当n1时，f(1)348964，命题显然成立.(2)假设当nk(k1，kN*)时，f(k)32k28k9能被64整除.由归纳假设，设32k28k964m(m为大于1的自然数)，将32k264m8k9代入f(k1

5、)中，得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1)，故当nk1时命题成立.根据(1)(2)可知，对任意的nN*，命题都成立.【互动探究】3.求证：二项式x2ny2n(nN*)能被xy整除.证明：(1)当 n1 时，x2y2(xy)(xy)，能被xy整除，命题成立.(2)假设当nk(k1，kN*)时，x2ky2k能被xy整除，则当nk1时，x2k2y2k2x2x2ky2y2kx2x2kx2y2kx2y2ky2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)，显然x2k2y2k2能被xy整除，即当nk1时命题成立.由(1)(2)知，对任意的正整数n命题均成立.考点 4 用数学归纳法证明几

6、何问题例 4：平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任何三思路点拨：用数学归纳法证明几何问题的关键是注意从nk 到nk1 时图形的变化情况，为了发现这一变化规律往往从特殊情况入手，如 n1,2,3，时，图形的变化规律，从而推出从nk 到nk1 时图形的变化情况.有时也可以用f(k1)f(k)来探讨变化情况.第 k1 条直线被这 k 条直线分成 k1 段，每段把它们所在的区域分成两块，因此增加了 k1 个区域，当 nk1 时命题也成立.由知，对一切 nN*，命题均成立.【名师点评】用数学归纳法证明几何问题时，要注意从nk 到 nk1 图形究竟发生了哪些变化，变化的规律是什么等.【互动探究】B4.若 k 棱柱有 f(k)个对角面，则 k1 棱柱的对角面的个数为()A.2f(k)C.f(k)kB.f(k)k1D.f(k)2解析：增加一条棱与前面 k 条棱中不相邻的棱作对角面，有 k2 个，同时，一个侧面变成了对角面，故共增加了 k21k1 个对角面.故选 B.难点突破归纳猜想证明【规律方法】(1)利用数学归纳法可以探索与正整数 n 有关的未