二次型的标准型与规范型（课堂PPT）

1、 不难看出，二次型不难看出，二次型 (4.5) 的矩阵的矩阵 B 为为 n 阶对角阶对角矩阵矩阵.即即B = CTAC = diag(d1 , d2 , , dr , 0 , , 0). 0021rddd),.,(21nyyy nrryyyyy1212222211.rrydydyd rydydydrr的的秩秩为为2222211. .,2 . 4212222211的的全全部部特特征征值值是是二二次次型型的的矩矩阵阵其其中中把把它它化化为为标标准准形形使使得得经经过过正正交交替替换换一一定定存存在在正正交交矩矩阵阵对对于于二二次次型型定定理理AyyyQyxQXAXnnnT .,14. 31为为对对

2、角角阵阵使使得得正正交交矩矩阵阵且且存存在在一一定定与与对对角角矩矩阵阵相相似似实实对对称称矩矩阵阵定定理理AQQQA 用正交线性替换化下列二次型为标用正交线性替换化下列二次型为标准形准形, 并求出所作的正交线性替换并求出所作的正交线性替换:;222 )(323121321xxxxxx,x,xxf 111111 A|E|,)1)(2(2 .1113 p,21101121 p,p,01121111 ppe,21161222 ppe.11131333 ppe一般地，用正交线性替换将二次型一般地，用正交线性替换将二次型f ( x1 , x2 , xn ) = xTAx (其中其中 AT = A) 化

3、为标准形的步骤如下化为标准形的步骤如下: 求出二次型矩阵求出二次型矩阵 A 的全部特征值的全部特征值 1 , 2 , , n ; 求出正交矩阵求出正交矩阵 P，使，使PTAP = diag( 1 , 2 , , n) ; 作正交线性替换作正交线性替换 X = PY ，其中，其中Y = (x1 , x2 , , xn )T Rn ，则二次型，则二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 化为标准形化为标准形 1y12 + 2y22 + + nyn2 . 用配方法把三元二次型用配方法把三元二次型32312123222132184432),(xxxxxxxxxxxxf 化为标准形，并求所用的线

4、性替换及变换矩阵化为标准形，并求所用的线性替换及变换矩阵. 用配方法化二次型用配方法化二次型323121321622),(xxxxxxxxxf 为标准形为标准形.即任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同即任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同. .,A对对任任意意对对称称矩矩阵阵为为对对角角矩矩阵阵使使得得矩矩阵阵ACCT,C存存在在可可逆逆矩矩阵阵即即为对角矩阵为对角矩阵使使都存在一个可逆矩阵都存在一个可逆矩阵对任意对称矩阵对任意对称矩阵定理定理, 3 . 4ACCCAT线线性性替替换换化化为为标标准准形形每每个个二二次次型型都都可可经经可可逆逆定定理理3 . 4,AxxT对对任任意意二二次次型

5、型为标准形为标准形使得使得yACCyTT)(,Cyx 存存在在可可逆逆线线性性替替换换 EA EAPsTP2TP1TAP1P2PsP1P2Ps3231212322218241212312xxxxxxxxxf 用初等变换法化二次型用初等变换法化二次型为标准形为标准形. 用初等变换法化二次型用初等变换法化二次型323121321622),(xxxxxxxxxf 为标准形为标准形.标准形唯一吗？标准形唯一吗？ 标准形不唯一标准形不唯一!323121321622),(xxxxxxxxxf 如果二次型如果二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = xTAx (其中其中 AT =A) 通过可逆线性替换可以化为通过可逆线性替换可以化为则称上式为该二次型的则称上式为该二次型的 规范形中规范形中, ,正项的个数正项的个数 p 称为二次型的称为二次型的, ,负项个数负项个数rp 称为二次型的称为二次型的. . r 是二次型的秩是二次型的秩. . p ( r p ) = 2p r 称为二次型的称为二次型的 推论推论1 任一实对称矩阵任一实对称矩阵A A都与对角矩阵都与对角矩阵合同合同, ,其中其中 1 和和1的个数的个数共有共有r个个, ,r 为二次型的秩为二次型的秩. . OEEprp推论推论 2 两个实对称矩阵合同的充分必要条件两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们具有相同的正惯指数