极限的运算法则

1、§1.5 极限运算法则课 题：§1.5极限运算法则教学内容：极限运算法则教学目的：通过学习，使学生会应用极限运算法则进行计算教学重点：应用极限运算法则进行计算教学难点：应用极限运算法则（除法）进行计算教学过程：注意无穷小性质与无穷大性质的比较对比，极限运算法则成立的条件。 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小. 例如, 当x®0时, x与sin x都是无穷小, x+sin x也是无穷小. 简要证明: 设a及b是当x®x0时的两个无穷小, 则"e >0, $d1>0及d2>0, 使当0<|x-x0|<d1 时, 有|a

2、|<e ; 当0<|x-x0|<d2 时, 有|b|<e . 取d =mind1, d2, 则当0<|x-x0|<d时, 有|a+b|£|a|+|b|<2e . 这说明a+b 也是无穷小. 证明: 考虑两个无穷小的和. 设a及b 是当x®x0时的两个无穷小, 而g =a +b . 任意给定的e >0. 因为a 是当x®x0时的无穷小, 对于>0存在着d1>0, 当0<|x-x0|<d1时, 不等式|a|<成立. 因为b 是当x®x0时的无穷小, 对于>0存在着d2>

3、0, 当0<|x-x0|<d2时, 不等式|b|<成立. 取d =mind1, d2, 则当0<|x-x0|<d 时, |a|<及|b|<同时成立, 从而|g|=|a+b|£|a|+|b|<+=e . 这就证时了g 也是当x®x0时的无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 简要证明: 设函数u在x0的某一去心邻域x|0<|x-x0|<d1内有界, 即$M>0, 使当0<|x-x0|<d1时, 有|u|£M. 又设a 是当x®x0时的无穷小, 即"e >

4、;0. 存在d2 >0, 使当0<|x-x0|<d 2时, 有|a|<e . 取d =mind1, d2, 则当0<|x-x0|<d 时, 有 |u×a|< Me .这说明u×a 也是无穷小.例如, 当x®¥时, 是无穷小, arctan x是有界函数, 所以arctan x也是无穷小.思考：有界函数与无穷大的乘积仍是无穷大吗？ 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理3 如果lim f (x)=A, lim g (x)=B, 那么 (1) lim f (x)±

5、g(x) = lim f (x) ±lim g (x) =A ± B ; (2) lim f (x)×g(x) = lim f (x) × lim g (x) =A×B ; (3)(B¹0). 证明(1): 因为lim f (x)=A, lim g (x)=B , 根据极限与无穷小的关系, 有f (x)=A+a, g (x)=B+b, 其中a及b 为无穷小. 于是f (x) ± g (x)=(A + a) ± (B + b) = (A ± B) + (a ± b), 即f (x) ±

6、g (x)可表示为常数(A ± B)与无穷小(a ± b)之和. 因此lim f (x) ± g (x) = lim f (x) ± lim g (x) = A ± B . 推论1 如果lim f (x)存在, 而c为常数, 则lim c f (x)=c lim f (x). 推论2 如果lim f (x)存在, 而n是正整数, 则lim f (x)n =lim f (x)n. 定理4 设有数列xn 和yn . 如果, , 那么 (1); (2); (3)当(n=1, 2, × × ×)且B¹0时, .

7、定理5 如果j(x)³f(x), 而lim j(x)=a , lim y(x)=b , 那么a³b . 例1. 求. 解: . 讨论: 若, 则 提示: =a0x0n+a1x0n-1+× × ×+an=P(x0).若, 则. 例2. 求. 解: . 提问: 如下写法是否正确？. . 例3. 求. 解: . 例4. 求. 解: , 根据无穷大与无穷小的关系得=¥. 提问: 如下写法是否正确？ . 讨论: 有理函数的极限提示: 当时, . 当且时, . 当Q(x0)=P(x0)=0时, 先将分子分母的公因式(x-x0)约去. 例5. 求.

8、 解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取极限: . 例6. 求. 解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取极限: . 例7. 求. 解: 因为, 所以 . 讨论: 有理函数的极限 提示: . 例8. 求. 解: 当x®¥时, 分子及分母的极限都不存在, 故关于商的极限的运算法则不能应用. 因为, 是无穷小与有界函数的乘积, 所以 . 定理8(复合函数的极限运算法则) 设函数y=fg(x)是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成, fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义, 若, , 且在x0的某去心邻域内g(x)¹u 0, 则. 定理8(复合函数的极限运算法

9、则) 设函数y=fg(x)是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成, fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义. 若g(x)®u0(x®x0), f(u)®A(u®u0), 且在x0的某去心邻域内g(x)¹u0, 则. 简要证明 设在x|0<|x-x0|<d0内g(x)¹u0. 要证"e >0, $d>0, 当0<|x-x0|<d 时, 有|fg(x)-A|<e . 因为f(u)®A(u®u0), 所以"e >0, $h>0, 当0<|u-u0|<h时, 有|f(u)-A|<e . 又g(x)®u0(x®x0), 所以对上述h>0, $d1>0, 当0<|x-x0|<d1时, 有|g(x)-u0|<h. 取d=mind0, d1, 则当0<|x-x0|<d时, 0<|g(x)-u0|<h, 从而|fg(x)-A|=|f(u)-A|<e . 注: 把定理中换成或, 而把换成可类似结果. 把定理中g(x)®u0(x