数值积分的程序设计

1、数值积分的程序设计专业班级：信计061 姓名： 袁金龙 学号：15206012 一 实验目的1. 熟悉Matlab编程。2. 学习数值积分程序设计算法。二 实验题目 用Simpson公式、和N=8的复合Simpson公式、复合梯形公式、复合抛物线公式、龙贝格公式求定积分。三 实验原理与理论基础 (一)Simpson公式算法设计： 通过已知得出积分上下限及其被积函数a,b,f(x). 按公式计算得k=(a+b)/2;s=(b-a)/6)*(1/(a*a-1)+4*(1/(k*k-1)+1/(b*b-1)。 （二）复合Simpson公式算法设计：1. 通过已知得出积分上下限及其被积函数a,b,f(

2、x). 2. ,h=(b-a)/2m. . （三）复合梯形公式算法设计：利用余项 其中得出n的大小。 通过已知得出积分上下限及其被积函数a,b,f(x).利用公式 得出积分结果。 （四）复合抛物线公式算法设计： .利用余项得出n的大小，其中。 通过已知得出积分上下限及其被积函数a,b,f(x).利用公式 得出积分结果。 (五)龙贝格公式算法设计： 计算：对分区间并计算和：，其中为新分点的函数值之和。计算与：， 利用外推公式：，()，()，直至求出。 判断是否真，其中为给定的精度。若真，则，否则重复(2)、(3)、(4)的计算。表 排成三角数表数表沿竖向和斜向都是收敛于，即当趋于无穷，与均收敛于

3、。四 实验内容（一）问题重述： 给出积分 1. 用Simpson公式和N=8的复合Simpson公式求积分的近似值.2. 用复合梯形公式、复合抛物线公式、龙贝格公式求定积分，要求绝对差为e=0.5*107，将计算结果与精确解做比较，并对计算结果进行分析。 (二)实验代码：、 =*用Simpson公式计算积分的近似值*function =simpson(a,b)% k为中间值'用Simpson公式计算积分的近似值为：'k=(a+b)/2; s=(b-a)/6)*(1/(a*a-1)+4*(1/(k*k-1)+1/(b*b-1)*用复化Simpson公式计算积分的近似值* func

4、tion =fuhesimpson(a,b,n1)% n1,n分别为小区间、大区间的个数。% h为其步长。% s1，s2为函数在大区间、小区间的端点的函数值之和。n=n1/2;h=(b-a)/n;for i=1:n Xk(i)=a+(i-1)*h;ends1=0;for i=2:n f1(i)=1/(Xk(i)*Xk(i)-1); s1=s1+f1(i);ends2=0;for i=1:n Xl(i)=Xk(i)+h/2; f2(i)=1/(Xl(i)*Xl(i)-1); s2=s2+f2(i);end'用复化Simpson公式计算积分的近似值为：'T=(h/6)*(1/(a*

5、a-1)+4*s2+2*s1+1/(b*b-1)2.= *用复化梯形公式计算积分的近似值*function =fuhetixing(a,b,e)% f2为f的二阶导数的最大值f2=2/9;m=(b-a)*(b-a)*(b-a);n=round(sqrt(f2*m/e);h=(b-a)/n;s1=0;for i=1:(n-1) x(i)=a+i*h; f(i)=1/(x(i)*x(i)-1); s1=s1+f(i);end'用复化梯形公式计算积分的近似值为：'T=(h/2)*(1/(a*a-1)+2*s1+1/(b*b-1)*用复化抛物线公式计算积分的近似值* function

6、T=fuhepaowuxian(a,b,e)%利用误差确定n.% h为其步长。% s1，s2为函数在大区间、小区间的端点的函数值之和。n=round(b-a)5*121*24)/(180*243*e)(0.25);h=2*(b-a)/n;for i=1:(n/2) Xk(i)=a+(i-1)*h;ends1=0;for i=2:(n/2) f1(i)=1/(Xk(i)*Xk(i)-1); s1=s1+f1(i);ends2=0;for i=1:(n/2) Xl(i)=Xk(i)+h/2; f2(i)=1/(Xl(i)*Xl(i)-1); s2=s2+f2(i);end'该积分在复合抛物

7、线下的值为：'T=(h/6)*(1/(a*a-1)+4*s2+2*s1+1/(b*b-1);*用龙贝格公式计算积分的近似值* Longbeige文件：functionR,quad,err,h=longbeige(f,a,b,n,tol)% f是被积函数。% a, b分别为是积分的上下限。% n1是T数表的列数。% tol是允许误差。% R是T数表。% quad是所求积分值。M=1;h=b-a;err=1;J=0;R=zeros(4,4);R(1,1)=h*(feval(f,a)+feval(f,b)/2;while(err>tol)&(J<n)|(J<4) J

8、=J+1; h=h/2; s=0; for p=1:M x=a+h*(2*p-1); s=s+feval(f,x); end R(J+1,1)=R(J,1)/2+h*s; M=2*M; for K=1:J R(J+1,K+1)=R(J+1,K)+(R(J+1,K)-R(J,K)/(4K-1); end err=abs(R(J,J)-R(J+1,K+1);endquad=R(J+1,J+1) beijihanshu文件： function y=beijihanshu(x)y=1/(x*x-1); longbeigerun文件： clcclearlongbeige('beijihanshu

9、',2,3,7, 0.5*(10(-7)五 实验结果、 =*用Simpson公式计算积分的近似值的结果*>>simpson(2,3)ans =用Simpson公式计算积分的近似值的结果s = 2.033730158730158e-001*用复化Simpson公式计算积分的近似值的结果*>>fuhesimpson(2,3,8)ans =用Simpson公式计算积分的近似值T = 2.027361949305312e-0012.= *用复化梯形公式计算积分的近似值的结*>>fuhetixing(2,3,0.00000005)ans =用复化梯形公式计算积

10、分的近似值T = 2.027325606307579e-001*用复化抛物线公式计算积分的近似值的结果*>>fuhepaowuxian(2,3,0.00000005)ans =该积分在复合抛物线下的值为：ans = 2.027325656160846e-001*用龙贝格公式计算积分的近似值的结果*>>longbeigerunquad = 0.202732554055260.209821428571430.203373015873020.204544413919410.202785409035410.202746235246240.202736194930530.2027

11、32913990210.20273270254170 0.202846653449610.202732788040220.202732560914200.202732555309820.202732554732440.202761089951090.202732568784920.202732554167900.202732554060820.202732554055920.20273255405526六 实验结果分析与小结 1. 通过与真实值的比较得出：算法误差Simpson公式复化Simpson公式-3.640876451188602e-006复化梯形公式-6.576677896719119e-009复化抛物线公