自感互感磁场能量

1、由于变化磁场激起感生电场，则在导体内产生感应电流。由于变化磁场激起感生电场，则在导体内产生感应电流。交变电流交变电流高频感应加热原理：高频感应加热原理：由于大块金属电阻很小，形成涡电流由于大块金属电阻很小，形成涡电流很大，相应的焦耳热也很大，很大，相应的焦耳热也很大，用来冶炼金属用来冶炼金属这些感应电流的流线呈闭合的涡旋状，故称这些感应电流的流线呈闭合的涡旋状，故称涡电流涡电流(涡流涡流)交变电流交变电流减小电流截面，减少涡流损耗：减小电流截面，减少涡流损耗：在电机和变压器铁芯内涡电流在电机和变压器铁芯内涡电流产生无用热量。常用彼此绝缘的薄片，增大电阻，减小涡电流产生无用热量。常用彼此绝缘的薄

2、片，增大电阻，减小涡电流整块整块铁芯铁芯彼此绝缘彼此绝缘的薄片的薄片涡流涡流电磁阻尼电磁阻尼电子感应加速器电子感应加速器电子感应加速器是利用感生电场对电子进行加速的设备。电子感应加速器是利用感生电场对电子进行加速的设备。原理：原理：在在 圆柱形电磁铁的两极圆柱形电磁铁的两极N、S 间隙中安放一个环形真空间隙中安放一个环形真空室，由电子枪射入真空室中的电子室，由电子枪射入真空室中的电子 : (1) 受磁场的洛仑兹力控制在真空室圆轨道上运行受磁场的洛仑兹力控制在真空室圆轨道上运行; (2) 利用变化磁场产生的感生电场使电子加速，一般小利用变化磁场产生的感生电场使电子加速，一般小型电子感应器可将电子

3、加速到几十万电子伏特，大型的型电子感应器可将电子加速到几十万电子伏特，大型的可达数百万电子伏特。可达数百万电子伏特。通交流电的电磁铁真空环10.3 自感自感 互感互感一一. 自感现象自感现象 自感系数自感系数 自感电动势自感电动势B线圈电流变化线圈电流变化穿过自身磁通变化穿过自身磁通变化在线圈中产生感应电动势在线圈中产生感应电动势I)(tII )(tmtmdd自感电动势遵从法拉第定律自感电动势遵从法拉第定律1. 自感现象自感现象根据毕根据毕 萨定律可知空间任意点的萨定律可知空间任意点的B与与I 成正比，因此穿过成正比，因此穿过线圈自身总的磁通量与电流线圈自身总的磁通量与电流 I 成正比成正比L

4、I tLIdtdLd)d(tLItILdddd对一般不含铁磁质的回路，对一般不含铁磁质的回路，L为常数为常数tILLdd自感系数自感系数L自感电动势自感电动势3. 自感电动势自感电动势自感自感 L 是是反映线圈本身的电磁性质的物理量反映线圈本身的电磁性质的物理量，如果回路周围如果回路周围不存在铁磁质，自感不存在铁磁质，自感 L 与电流与电流 I 无关，仅由回路的匝数、几无关，仅由回路的匝数、几何形状和大小以及周围介质的磁导率决定。何形状和大小以及周围介质的磁导率决定。2. 自感系数自感系数例例 设一载流回路由两根平行的长直导线组成。设一载流回路由两根平行的长直导线组成。 daad 求求 这一对

5、导线单位长度的自感这一对导线单位长度的自感L 解解 由题意，设电流回路由题意，设电流回路 IIIPr12)(2200rdIrIBPSBadamdrhrdIrIadamd)(2200两导线间长为两导线间长为 h的面积内磁通量：的面积内磁通量：hraadIhln0aadIhLmln0例例同轴电缆由半径分别为同轴电缆由半径分别为 R1 和和R2 的两个无限长的两个无限长同轴导体圆柱面同轴导体圆柱面组成，其间充满磁介质，内外通过电流大小相等，方向相反组成，其间充满磁介质，内外通过电流大小相等，方向相反求求 无限长同轴电缆单位长度上的自感无限长同轴电缆单位长度上的自感II解解 由安培环路定理可知由安培环

6、路定理可知21RrRrIBr2021Rr ,Rr0BSdSBSBmdddrlrIrd2021d20RRrmrlrI120ln2RRIlr120ln2RRIlLrmrl1R2Rr例例 如图的长直密绕螺线管，已知如图的长直密绕螺线管，已知求：自感求：自感，NSllNn nIHBNBSNmmmLB解解 设电流设电流 I ，根据安培环路定理求得，根据安培环路定理求得HISlNNSlNILm2I二二. 互感互感1BI1L2L线圈线圈 1 中的电流变化中的电流变化引起线圈引起线圈 2 的磁通变化的磁通变化线圈线圈 2 中产生感应电动势中产生感应电动势根据毕根据毕 萨定律萨定律穿过线圈穿过线圈 2线圈线圈1

7、 中电流中电流 I 12121IMtIMd)d(12121tMItIMdddd211121若回路周围不存在铁磁质若回路周围不存在铁磁质且两线圈结构、相对位置且两线圈结构、相对位置及其周围介质分布不变时及其周围介质分布不变时tIMdd12121的磁通量正比于的磁通量正比于tIMdd21212 互感电动势互感电动势M21是回路是回路1 对回路对回路2 的互感系数的互感系数同理同理讨论讨论(1) 可以证明：可以证明：MMM1221(2) 互感反映了线圈本身的电磁性质。互感反映了线圈本身的电磁性质。 M 仅与两回路本身形状、大小、两者相仅与两回路本身形状、大小、两者相对位置及所处介质有关，若对位置及所

8、处介质有关，若回路周围不回路周围不存在铁磁质，存在铁磁质， M 与电流与电流 I 无关无关。 (3) 线圈之间的连接线圈之间的连接 自感与互感的关系自感与互感的关系 tIMtILdddd11MLLL22121线圈的顺接线圈的顺接 （磁场相互加强（磁场相互加强) )tIMtILdddd22tILtIMLLdddd)2(21线圈顺接的等效总自感线圈顺接的等效总自感 1L2L1L2LMLLL221 线圈的反接线圈的反接 例例 一无限长导线通有电流一无限长导线通有电流 tIIsin0现有一矩形线现有一矩形线框与长直导线共面。（如图所示）框与长直导线共面。（如图所示）Ia2a23a求求 互感系数和互感电

9、动势互感系数和互感电动势解解rIB20rdr穿过线框的磁通量穿过线框的磁通量2/32/daamSB3ln20Ialn320aIMmtIMddtIacos3ln200互感系数互感系数互感电动势互感电动势例例 计算共轴的两个长直螺线管之间的互感系数计算共轴的两个长直螺线管之间的互感系数设两个螺线管的半径、长度、设两个螺线管的半径、长度、匝数为匝数为212121N,N,l ,l ,R,R12解解2121RR, lll1I设直螺线管设直螺线管1通有通有 lINB1101221221 RBN122210IRlNN2221021 RlNNM2I同理设同理设直螺线管直螺线管2通有电流通有电流 lINB220

10、2222112 RBN2221012 RlNNMMMM2112思考？思考？2121 ,llRRR1l2l122112MM 互感和自感的关系互感和自感的关系K为耦合系数为耦合系数 有漏磁存在有漏磁存在无漏磁存在无漏磁存在例如例如长直螺线管，若长直螺线管，若2121RR, llllRRNNLL212102122210 RlNNM21LLMK 12RR 1 反映有漏磁存在反映有漏磁存在如如2121RR,ll1K 反映无漏磁的情况反映无漏磁的情况见见book 21LLKM 10 K1K例例 在相距为在相距为 2a 的两根无限长平行导线之间，有一半径为的两根无限长平行导线之间，有一半径为 a的导体圆环与

11、两者相切并绝缘。的导体圆环与两者相切并绝缘。2aaa02O求求 互感系数互感系数解解MMM2112rIIraraIB1120SmSBdSSBdrrararaIaad2112220设电流设电流IIa02IMmrdKRL实验分析实验分析 结论：结论：在原通有电流的线圈中存在能量在原通有电流的线圈中存在能量 磁能磁能 10.4 磁场能量磁场能量一一. 磁能的来源磁能的来源自感磁能的计算自感磁能的计算KRL电源克服自感电动势作功转化为磁能储存在线圈中电源克服自感电动势作功转化为磁能储存在线圈中在在t 时刻，回路电流时刻，回路电流i(t )，感应电动势，感应电动势 L，则电源在，则电源在dt时间内克时间

12、内克服自感电动势服自感电动势 L 所作的元功为：所作的元功为：idtdAL电流由电流由0 I 过程中过程中电源所作的总功为：电源所作的总功为：2021LILididAAIidtdALtitiLdddiLidA221LI (自感磁能公式自感磁能公式)讨论讨论(1) 在电流消失过程中自感电动势作功在电流消失过程中自感电动势作功0ddIiLiAA221LImW221LIWm221CUWe自感线圈也是一个储能元件，自感系数反映自感线圈也是一个储能元件，自感系数反映线圈储能的本领线圈储能的本领(2) 与电容储能比较与电容储能比较mW二二. 磁能的分布磁能的分布以无限长直螺线管为例以无限长直螺线管为例rn

13、IBr0IBVnlIlSnININLrrm2002222121VInLIWm222221nBVnVB22VBHWm2磁能磁能2BHVWwmm磁场能量密度磁场能量密度HBwm21上式不仅适用于无限长直螺线管中的均匀磁场上式不仅适用于无限长直螺线管中的均匀磁场, ,也适用于也适用于非均匀磁场非均匀磁场, ,磁能密度一般是空间和时间的函数磁能密度一般是空间和时间的函数在有限区域内在有限区域内VHBVwWVVmmd21dEDwe21积分遍及磁场积分遍及磁场存在的空间存在的空间磁场能量密度与电场能量密度公式比较磁场能量密度与电场能量密度公式比较说明说明HBwm21 计算磁场能量的两个基本点计算磁场能量的

14、两个基本点(1) 求磁场分布求磁场分布(2) 定体积元定体积元H,BVd遍及磁场存在的空间积分遍及磁场存在的空间积分建立磁场能量密度建立磁场能量密度BHwm21解解根据安培环路定理根据安培环路定理, 螺绕环内螺绕环内rNIBr20rNIH222220421rINr1R2RhrrhVd2d取体积元取体积元VmmVwWd21d2822220RRrrrhrIN1222ln4RRhINI例例 一由一由 N 匝线圈绕成的螺绕环，通有电流匝线圈绕成的螺绕环，通有电流 I ，其中充有均匀，其中充有均匀磁介质磁介质求求 磁场能量磁场能量WmOP例例 设设电子是一个电子是一个半径为半径为 a的小球，并假定电荷均

15、匀分布的小球，并假定电荷均匀分布于表面，当电子以速度于表面，当电子以速度v（ v c ）运动时，计算电）运动时，计算电子的磁场能量。子的磁场能量。解解ver20sin4reBv低速运动的电子在空间产生的磁感应强度为低速运动的电子在空间产生的磁感应强度为24sinreHv42222016sin21rewmv取体积元取体积元Vddddsin2rr（球坐标）（球坐标）VdVmmVwWdd16sin2dsind20422220 02rerravae12220va例：一同轴电缆，由两个无限长的同轴圆筒状导体例：一同轴电缆，由两个无限长的同轴圆筒状导体组成，沿内外筒流动的电流大小相同，方向相反，组成，沿内

16、外筒流动的电流大小相同，方向相反，设内外圆筒截面半径为设内外圆筒截面半径为R1、R2求求:长为长为 l 的一段电缆内的磁能。的一段电缆内的磁能。磁场在空间的分布磁场在空间的分布011BRrrIBRrR20221032BRr1R2R磁场集中在二圆之间，磁能密度为：磁场集中在二圆之间，磁能密度为：22200282rIBwm取一体积元取一体积元rldrdV2ldrrIrldrrIdVwdWmm428202220ldrrIdWWRRmm420211220ln4RRlI又又 总磁能：总磁能：221LIWm120ln2RRlLrdr可求得长度为可求得长度为 的一段自感系数的一段自感系数l线圈线圈2线圈线圈

17、1例例 用磁场能量的方法推证二线圈的用磁场能量的方法推证二线圈的M12，M21相等。相等。初态：初态：二线圈都断开二线圈都断开先接通线圈先接通线圈1，则：电流从，则：电流从0I1电源克服电源克服1 中自感电动势作功中自感电动势作功211121ILWm再接通线圈再接通线圈2，保持线圈保持线圈1中电流中电流I1不不变，变，则：电流从则：电流从0I2电源克服电源克服2 中自中自感电动势作功感电动势作功222221ILWm线圈线圈 1 中自感磁能：中自感磁能：线圈线圈 2 中自感磁能：中自感磁能：1i2i另外另外，线圈线圈2中电流从中电流从0 I2 在在1中产生中产生 互互使使1中电流中电流I1变化，

18、为了保持变化，为了保持1中电流不变，在中电流不变，在1中电源必须克服中电源必须克服 互互做做功。因此出现附加的磁能。功。因此出现附加的磁能。因克服互感电动势而附加的能量：因克服互感电动势而附加的能量：20211201212112IttomdiIMdtIdtdiMdtIW互2112IIM当二线圈中电流分别达到当二线圈中电流分别达到I1、I2时系统所具有的能量：时系统所具有的能量：21122222112121IIMILILWm同理同理 ，先在，先在2中通电流中通电流I2，再在，再在1中通电流中通电流I1，重复以上计算，重复以上计算，可得：可得：21212222112121IIMILILWm系统的能量不应与电流形成的先后顺序有关，所以以上系统的能量不应与电流形成的先后顺序有关，所以以上二式相等，即：二式相等，即：2112MM两个同心线圈半径分别为两个同心线圈半径分别为a、b（ab），起初共面，），起初共面，大线圈保持不动并通有恒定电流大线圈保持不动并通有恒定电流 I2，小线圈电阻为，小线圈电阻为R，当小线圈绕直径以当小线圈绕直径以 转动，忽略自感。转动，忽略自感。ba2I解解bIB22021 1）