一、微分的概念

1、 一、微分的概念一、微分的概念5.5 5.5 微微 分分 若在有限增量公式0()()yf xx ox 中删去高阶无穷小量项 关于 的一个线性近y x 似式, 这就是“微分”; 其中的线性因子 即为0()fx 四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用 三、高阶微分三、高阶微分 二、微分的运算法二、微分的运算法则则导数.所以,微分和导数是一对相辅相成的概念.微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的数数. 如果给边长如果给边长 x 一个增量一个增量 , 正方形面积的增量正方形面积的增量x 的线性部分的线性部分 和和 的高阶部分的高阶部分( )(

2、 )2.因因x2 x xxx此此, 当边长当边长 x 增加一个微小量增加一个微小量 时时, 可用可用xxS一、微分的概念一、微分的概念222()2()Sxxxxxx 由两部分组成由两部分组成 : 设一边长为设一边长为 x 的正方形的正方形, 它的面积它的面积 S = x 2 是是 x 的函的函线性部分线性部分, 请先看一个具体例子请先看一个具体例子. 的线性部分来近似的线性部分来近似. . 由此产生的误差是一个关于由此产生的误差是一个关于的高阶无穷小量的高阶无穷小量 , , 即以即以 为边长的小为边长的小 x2( )xx2xx xx x2x正方形正方形( (如图如图).).00( )()yf

3、xxf x可以表示成可以表示成( ),(1)yAxox定义定义 5 设函数设函数 如果增量如果增量0( ),().yf xxU x可微可微, 并称并称 为为 f 在点在点 处的微分处的微分, 记作记作A x0 x其中其中 A 是与是与 无关的常数无关的常数, 则称函数则称函数 f 在点在点0 xx00d ,d ( ).(2)xxxxyAxf xAx 或或由定义由定义, 函数在点函数在点 处的微分与增量只相差一个处的微分与增量只相差一个0 x关于关于 的高阶无穷小量的高阶无穷小量, ,而而 是是 的线性函数的线性函数. .xdyx(1).yAox于是于是 定理定理 1 函数函数 在点在点 可微的

4、充要条件是可微的充要条件是 在在ff0 x00d ( )().xxf xfxx 点点 可导可导, 且且0 x证证 (必要性必要性) 如果如果 在点在点 可微可微, 据据 (1) 式有式有f0 x000()limlim (1),xxyfxAoAx 更通俗地说更通俗地说, 是是 的线性近似的线性近似.ydy即即 在点在点 可导可导, 且且f0 x0().fxA ( (充分性充分性) ) 设设 在点在点 处可导处可导, ,则由则由 的有限增量的有限增量ff0 x公式公式 说明函数增量说明函数增量 可可0()( ),yfxxox y00d() .xxyfxx 且且表示为表示为 的线性部分的线性部分 ,

5、 ,与关于与关于 的的高高x 0()fxx x阶无穷小量部分阶无穷小量部分 之和之和. .( )ox所以所以 在点在点 可微可微, ,f0 x微分概念的几何解释微分概念的几何解释, , 示于下图示于下图: :0 xx xyO( )yf x ydy0 xPRQQ ,yRQ 它是点它是点 P 处切线相处切线相 在点在点 的增量为的增量为 f0 xd,yRQ 而微分是而微分是应于应于 的增量的增量.x当当 很小时很小时, ,两者之差两者之差 相比于相比于|d |yyQ Q |x|x将是更小的量将是更小的量( (高阶无穷小高阶无穷小).).更由于更由于000dlimlim()0,xxyyQ QfxxR

6、Q 故若故若 则得到则得到 0()0,fx 0lim0.xQ QRQ 这说明当这说明当d( ) ,(3)yfxxxI 的高阶无穷小量的高阶无穷小量.QQ RQ 还是还是0,x 时时若函数若函数 在区间在区间 上每一点都可微上每一点都可微, ,则称则称 是是 上上fIfI它既依赖于它既依赖于 , 也与也与 有关有关.xx( )f xI在上的微分记为在上的微分记为的的可微函数可微函数. .d( )d ,.(4)yfxxxI (4) 式的写法会带来不少好处式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数看首先可以把导数看 所以导数也称为所以导数也称为微商微商. 更多的好处将体现在后面更多的好处将体现在后面习

7、惯上喜欢把习惯上喜欢把 写成写成 , ,于是于是 (3) 式可改写成式可改写成xdxdd .yxx这相当于这相当于 的情形的情形, , 此时显然有此时显然有 yx d( ),dyfxx (5) 积分学部分中积分学部分中. 成成函数的微分与自变量的微分之商函数的微分与自变量的微分之商, , 即即d(sin )cosd ;xx x d()lnd .xxaaax 1d()d;xxx 例例12( )( )d ( )( )d ( )3. d;( )( )u xv xu xu xv xv xvx 4. d( )( )( )d,( ) .fg xfu g xxug x 其中其中由导数与微分的关系由导数与微分

8、的关系,可方便得出微分运算法则可方便得出微分运算法则:1. d( ( )( )d ( )d ( );u xv xu xv x2. d( ( ) ( )( )d ( )( )d ( );u x v xv xu xu xv xd( )d,ug xx 由于由于故运算法则故运算法则 4 又可以写成又可以写成二、微分的运算法则二、微分的运算法则d( )d.yfuu 2222dd(lncos)d(ln)d(cos)yxxxxxx解解2222lnd()d(ln )sind()xxxxxx2(2ln12sin)d .xxxx 它在形式上与它在形式上与( (4) )式完全一样式完全一样, 不管不管 是自变量还是

9、自变量还u例例2 求求 的微分的微分.22lncosyxxx立立. 这个性质称为这个性质称为“一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性”.是中间变量是中间变量 ( 另一个变量的可微函数另一个变量的可微函数 ) , 上式都成上式都成2222d(cos)sind()2sindxxxxxx 这里在这里在的计算中的计算中, 用了一阶微分形式不变性用了一阶微分形式不变性.例例3 求求 的微分的微分.123e xxy解解3213ded(21)xxyxx3221(32)ed .xxxx三、高阶微分三、高阶微分22( )( )( )(d ) .fxxfxx或写作或写作22d( )d,yfxx 称为称为 f 的的二

10、阶微分二阶微分.d(d )d( )yfxx ( )( )d( )fxxxfxx则当则当 f 二阶可导时二阶可导时, dy 关于关于 x 的微分为的微分为若将一阶微分若将一阶微分 d( )yfxx 仅看成是仅看成是 的函数的函数, , x注注 由于由于 与与 x 无关无关, 因此因此 x 的二阶微分的二阶微分 xd( )x 2222d(d )d0,d(d ) , d()2 dxxxxxx x它与它与 三者各不相同三者各不相同, 不可混淆不可混淆.1(1)1( )dd(d)d( ) d)( )d.nnnnnnyyfxxfxx22d( )d;(6)yfxx 当当 x 是中间变量是中间变量 ( ),(

11、 )yf xxt 时时, 二阶微分二阶微分依次下去依次下去, 可由可由 阶微分求阶微分求 n 阶微分阶微分:1n 对对 的的 n 阶微分均称为高阶微分阶微分均称为高阶微分. 高阶微分不高阶微分不2n 具有形式不变性具有形式不变性. 当当 x 是自变量时是自变量时, 的二的二( )yf x 阶微分是阶微分是为为例例422( )sin,( ),d.yf xxxtty 设求设求解法一解法一2 ( ) ( ), sin,xtyf xyt 先将代入得先将代入得22( )d( )d.(7)fxxfxx. 0d2x22d( )dxtt 不一定为不一定为 0, 而当而当 x 为自变量时为自变量时,它比它比 (

12、6) 式多了一项式多了一项2( )d,fxx ( )xt 当当时时,2dd( )d )( )d d( )d(d )yfxxfxx xfxx2222 2 cos,2cos4sin.yttyttt于是于是由由 (6) 得得解法二解法二 依依 (7) 式得式得222d( )d( )dyfxxfxx22sindcos dx xxx 2222.sin(2 d )cos2dttttt 2222(2cos4sin)d.tttt2( )dfxx 如果将如果将漏掉就会产生错误漏掉就会产生错误.22222d( 2cos4sin)d.ytttt四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用1. 函数值的近似计

13、算函数值的近似计算000( )()() .(8)f xxf xfxx 000( )()()().(9)f xf xfxxx (9) 式的几何意义是当式的几何意义是当 x 与与 x0充分接近时充分接近时, 可用点可用点0()( ),yfxxox 由于由于故当故当 很小时很小时, 有有x 由此得由此得d .yy 记记 , 即当即当 时，时，(8) 式可改写为式可改写为0 xxx0 xx 公式公式 (9) 分别用于分别用于sin x, tan x, ln(1+x), ex ( x0= 0 ), ,sinxx ,tanxx ,1lnxx .1exx 例例5 试求试求 sin 33o 的近似值的近似值

14、( 保留三位有效数字保留三位有效数字 ).解解 0sin33sin(),( )sin ,6606f xx x 取取,60 x 由公式由公式 (9) 得到得到 处的切线近似代替曲线处的切线近似代替曲线, 这种线性近这种线性近00(,()P xf x可得近似计算公式可得近似计算公式 ( 试与等价无穷小相比较试与等价无穷小相比较 ): 似的方法可以简化一些复杂的计算问题似的方法可以简化一些复杂的计算问题.2. 误差的估计误差的估计0|,xxxx sin33sin()cos ()0.545 .6660 设数设数 x 是由测量得到的是由测量得到的, y 是由函数是由函数 经过经过( )yf x 果已知测

15、量值果已知测量值 x0 的误差限为的误差限为 , , 即即x 算得到的算得到的 y0= f (x0) 也是也是 y = f (x) 的一个近似值的一个近似值. 如如差差, 实际测得的值只是实际测得的值只是 x 的某个近似值的某个近似值 x0 . 由由 x0 计计计算得到计算得到. 由于测量工具精度等原因由于测量工具精度等原因, 存在测量误存在测量误000().(11)|()yxfxyf x 例例6 设测得一球体直径为设测得一球体直径为 42cm, 测量工具的精度测量工具的精度000| |( )()|()|()|.xyf xf xfxxfx 则当则当 x 很小时很小时, 量量 y0 的绝对误差估计式为的绝对误差估计式为:相对误差限则