二次函数求最大利润问题的教学设计

1、二次函数求最大利润问题的教学设计范亚书一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：由简单的二次函数yx2开始，然后是yax2，yax2+c，最后是y=a(x-h)2，ya(x-h)2+k，yax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。学生的活动经验基础：在前面对二次函数的研究中，学生研究了二次函数的图象和性质，掌握了研究二次函数常用的方法。二、教学任务分析“怎样获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴。二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值。而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题。因此本节课中关键的问

2、题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践。即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。具体地，本节课的教学目标是：(一)知识与技能1、能根据实际问题建立二次函数关系式，并探求出何时刻，实际问题可取得理想值，增强学生解决实际问题的能力。2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力。(二)过程与方法经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。(三)情感态度与价值观1、

3、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心。2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：复习回顾、创设问题情境讲授新课、巩固练习、实践应用、课堂小结、课后作业。第一环节 复习回顾活动内容：1复习二次函数yax2+bx+c的相关性质：顶点坐标、对称轴、最值等。2复习这节课所要用

4、的其他相关知识：利润=售价进价，总利润=每件利润×销售额活动目的：为后面新课作准备第二环节 创设问题情境，引入新课活动内容：（有关利润的问题）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如果调整价格，每涨价1元，每星期少卖10件，每降价1元。每星期多卖18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能获得最大利润？讨论涨价与降价都有可能获得最大利润吗？需要分类讨论吗？1涨价情况下最大利润是多少？想一想：若每件涨价x元则此商品(1)每件利润为 元。(2)每星期销售额可以表示为 ；(3)所获利润可以表示为 ；(4)当销售单价是 元时，可以获得最大利润，最大利润是 这是

5、一个有实际意义的问题，要想解决它，就必须寻找出问题本身所隐含的一些关系，并把这些关系用数学的语言表示出来。设每星期所获利润为y元，则y=（60-40+x ）(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250。当x=5时y的最大值是6250即当在涨价情况下，涨价5元，定价65元时，每星期所获利润最大，最大利润是6250元。2、在降价情况下，最大利润又是多少？我们用类似的方法进行分析：设每件降价x元，所获利润为y元，则有y=（60-40-x ）(300+18x)=-18(x-2)2+6050所以，当x=2时，y的最大值为6050.即在降价情况下，降价2元，定价58元时

6、，利润最大，最大利润是6050元。活动目的：通过这个实际问题，让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析，是教学的一个重要内容。第三环节 巩固练习活动内容：解决本章伊始，提出的“橙子树问题”（1.验证猜测；2.进一步分析）1本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的函数关系是：二次函数表达式y(600-5x)(100+x)-5x2+100x+60000。当时曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在可以验证当初

7、的猜测是否正确？你是怎么做的？与同伴进行交流。实际教学效果：大多数学生可以利用二次函数的顶点式解决问题。y-5x2+100x+60000-5(x2-20x+100-100)+60000-5(x-10)2+60500。当x=10时，y最大=60500。2议一议：（要求学生画出二次函数的图象，并根据图象回答问题）(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系。(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？实际教学效果：学生可以顺利解决这个问题，答案如下(1)当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x>10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而

8、减小。(2)由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60400个以上。第四环节 实践应用活动内容：某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？解：设销售单价为；元，销售利润为y元，则y=(x-20)400-20(x-30)-20x2+1400x-20000-20(x-35)2+4500。所以当x=35元，即销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元第五环节 课堂小结本节课经历了探索商品销售中最大利润等问题的过程，体会了二次函数是一类最优化问题