高中数学：柯西不等式

1、类型一：利用柯西不等式求最值例1求函数的最大值解：且， 函数的定义域为，且，即时函数取最大值，最大值为法二：且， 函数的定义域为由，得即，解得时函数取最大值，最大值为.当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解【变式1】设且，求的最大值及最小值。利用柯西不等式得,故最大值为10，最小值为-10【变式2】已知，求的最值.法一：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.法二：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值根据柯西不等式 ，故。当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，变式4：设= (1，0，- 2)，= (x，y，z)，若x2

2、 + y2 + z2 = 16，则的最大值为。【解】= (1，0，- 2)，= (x，y，z)= x - 2z由柯西不等式12 + 0 + (- 2)2(x2 + y2 + z2) (x + 0 - 2z)25 16 (x - 2z)2- 4 x 4- 4 4，故的最大值为4:变式5：设x，y，z R，若x2 + y2 + z2 = 4，则x - 2y + 2z之最小值为时，(x，y，z) = 解(x - 2y + 2z)2 (x2 + y2 + z2)12 + ( - 2) 2 + 22 = 49 = 36x - 2y + 2z最小值为 - 6，公式法求 (x，y，z) 此时 ，变式6：设x

3、, y, zR，若，则之最小值为_，又此时_。解析：最小值变式7：设a，b，c均为正数且a + b + c = 9，则之最小值为解： ()(a + b + c)()9 (2 + 3 + 4)2 = 81 = 9变式8：设a, b, c均为正数，且，则之最小值为_解：: ，最小值为18变式9：设x，y，z R且，求x + y + z之最大、小值:【解】由柯西不等式知42+（)2 + 22 25 1 (x + y + z - 2)25 |x + y + z - 2| - 5 x + y + z - 2 5- 3 x + y + z 7故x + y + z之最大值为7，最小值为 - 3类型二：利用柯

4、西不等式证明不等式基本方法：（1）巧拆常数 （例1） （2）重新安排某些项的次序（例2）（3）改变结构 （例3） （4）添项（例4）例1设、为正数且各不相等，求证：又、各不相等，故等号不能成立。例2、为非负数，+=1，求证：即例3若，求证：解：，所证结论改为证 例4，求证：左端变形，只需证此式即可。【变式1】设a,b,c为正数，求证：，即。同理，将上面三个同向不等式相加得，【变式2】设a,b,c为正数，求证：于是即【变式3】已知正数满足 证明。解： 又因为在此不等式两边同乘以2，再加上得：，故。类型三：柯西不等式在几何上的应用6ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证： 证明：由三角

5、形中的正弦定理得，所以，同理，于是左边=。【变式】ABC之三边长为4，5，6，P为三角形内部一点，P到三边的距离分別为x，y，z，求的最小值。且4x+5y+6z=由柯西不等式(4x+5y+6z)2(x2+y2+z2)(42+52+62)(x2+y2+z2)77x2+y2+z2。柯西不等式 等号当且仅当或时成立（k为常数，）利用柯西不等式可处理以下问题：1） 证明不等式例2:已知正数满足 证明 证明： 又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上得：故2） 解三角形的相关问题例3 设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明证明： 记为的面积，则3） 求最值例4已知实数满足， 试求的最值解： 即由条件可得， 解得，当且仅当