高数下册总复习知识点归纳

1、高数下册总复习知识点归纳第八、九章向量代数与空间解析几何总结向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向.记作a或"a = axi + arj + azk = (ax ,av,az) a* = prj“ciy = prjyayaz = prjsi模向量“的模记作问H=7<+v2+2和差bc =a+bc =abC =a+b=ax ±bx.ay 土b、a： ±bj单位向量“HO,则 =告(y,y,a.)陽L_-r方向余弦设"与x,y,z轴的夹角分别为 a，0，八则方向余弦分别为 cosa, cos/?, cos/cos a =

2、ea =(cocos2 a+«%a aya-aaasa, cos/A cos/)os2/7 + cos2/ = 1点乘（数 量积）“ "= ”|”|cos&, &为向量 Q 与 的夹角ab = axbx+ayby+azbz叉乘（向 量积） c =axb|c| = ”脚 sin &&为向量Q与b的夹角 向量c与a,方都垂直a xb =(i J kS «v b, bz定理与公式垂直a丄b O“= 0a ±b <axbx 七u、b、+“0 = 0平行a/b <=>axb = 0a/o"x 一你一叫 W

3、 by交角余弦两向量夹角余弦cos"幣nb“a投影向量“在非零向量上的投影 prjba = acos（aAb） = -«a+«A+«AW = J ；rJb；+b；+b：平面直线-2- / 10高数下册总复习知识点归纳法向量h = A,B,C）点册0（勺,儿,）方向向量 T = m,ntp点 Mo(Xo，yo，s)方程名 称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式Ax+ By+Czt + £) = 0一般式Ax+ By + Cz + Dx = 0A2x+ B2y + C2z + D2 = 0点法式A(x-Jo) + B(y-yo) + C(z-

4、zo) = O点向式x-儿 _ y-儿 _ z s mnp三点式x“ y-y zZi 兀2 一眄 J2-Ji z2-z 心一卩儿一X Z3-Z=0参数式<x = x0 + mt y =儿+川 Z = Zo + pt截距式£+Z+£=ia b c两点式x-x。_ y - Jo _ z-z° “X。 Ji-Jo Z|Z()面面垂 直AA2 + BQ +CG = 0线线垂直fnni2 + WS + Pi Pi = 0面面平 行Al _B1 _ C1 A, B. C?厶£线线平行叫 _ 9 _ Pi m2 n2 p2线面垂直ABC m n p线面平行Am

5、+ Bn + Cp = 0点面距离刈人弘儿心）Ax+By + Cz + D = O面面距离Ax + By + Cz + Dl=0Ax + By + Cz + D2 =0昇 _+ B.v0 + Cz0 + DVa2 + b2+c2yjA2 +B2+C2面面夹角线线夹角线面夹角nx=n2= A2,B2,C2S =",/ s2 =m2,n29p2S =” = A,3.C2一1仏讪屈+CQcos。：”側2 + W + PlPlsine = -Am + Bn + CpjAj + Bj+Cj.jAj+Bj+C?'J A- +B- +C-+n + p'空 间 曲 线 r<(兀

6、=0(" y = X z = e(» a<t<p)切向量亍=（0（/（）,0'（G ）,（/（）切“线”方程：嬴;盂;法平“面”方程：0（G（X - 兀）+ 肖仏）（y -儿）+ 0认）（Z - Z。）= 0y =(pMZ =屮(x)切向量切“线”方程：X-X。_ ），-儿 _ Z-Zo10（儿）0g）-3- / 10髙数下册总复习知识点归纳亍=(1,0(x) , f(x)法平“面”方程：（人一 心）+（pf（xQ） （y - 儿）+ V '（儿 X z - z°） = 0空 间 曲 面Fg y, z) = 0法向量"=（无&

7、#39;X），乙0），Fa，%，%），J（X©,）切平“面”方程：耳（ 儿，z°）（x -兀）+ 巴（,儿,Zo）（y-儿） +耳（，儿,2。）（2-） = 0 法“线“方程：x-心_y-儿_z-勺Fx (x° 9)b, Zq )F、(Xq , y0, Zq)Fz (x0 , yQ, z0)Z = f(x,y)n = （-fx（xO9y0）9一人（不”九），1）或斤=（£（如，儿），人（心,儿），-1）切平“面”方程：fx （兀 o,儿）a - 心）+ 厶（心，儿）（y -儿）- （z - Z。）= o法“线“方程：兀一兀0 _ y-y0 _z-Zo A

8、CvoOo）厶（“，儿） 一1第十章总结重积分积分类型计算方法典型例题二重积分/=JJ7（x,y 加D平面薄片 的质量质量=面 密 度(1)利用直角坐标系X型| /(x, y)dxdy = £ 代 J f(x,y)dyDaX产一型JJ f(x, y)dxcly =心J： J f(x, y)clxP141 一例1、例3（2）利用极坐标系使用原则（1）积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示 （含圆弧，直线段）；（2）被积函数用极坐标变量表示较简单（含 （F + b）a,。为实数）0 x 0 XP147 例5-4- / 10髙数下册总复习知识点归纳JJ/(QCOS&,psnO)pd

9、 pclOi)e <M&)d0J©(&f (p cos O.psn0)pd pO<0<2tt0<0<tt7C<6<27t(3)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性P141 一例2应用该性质 更方便当D关于y轴对称时，(关于x轴对称时, 有类似结论)0/(x, y)对于X是奇函数，即/(一匕 y) = -f(x, y)I = < 2 Jj* f (x,刃dxdy f (x, y )对于x是偶函数，BP/(-x, y) = /(x, y) 卩是。的右半部分计算步骤及注意事项1. 画出积分区域2. 选择坐标系标准：域边界应尽

10、量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离 h确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次 积分好算为妙农确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域5计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性投影n打(5)df时;：旬；加 m反P159 例1P160 一例如M篇-5- / 10髙数下册总复习知识点归纳利用柱面坐标x = rcos< y = rsin三重积 分/ =f(x,y,z)dvQ相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围:积分区域表面用柱面坐标表示时方程筒单；如旋转体P161 例3空间立体 物的质量被积函数用柱面坐标表示时变量易分离如f(x2 + y2)f(x2+z2)出 /(x,

11、y,z)dV =£dzJ：d&J'：/(pcos &,psin&,z)pdQ质量=密 度X面积(3)利用球面坐标x = pcosO = rsincos y = psin& = /sin0sin& z = rcos(pdv =广 sin (pdrdcpdO适用范围:积分域表面用球面坐标表示时方程筒单;如，球 体，锥体.辺被积函数用球面坐标表示时变量易分离.如,f(x2 + y2 + z2)I = | 曲初 & /(psin (pcos0. psin sin 0. pcos(p)p' sin (pdp利用积分区域的对称性与被

12、积函数的奇偶性-6- / 10P16510-(1)积分类型第一类曲线 积分曲形构件的 质量质量=线密 度X弧长平面第二类 曲线积分/ = J Pclx+ Qdy变力沿曲线 所做的功髙数下册总复习知识点归纳第十一章总结曲线积分与曲面积分计算方法参数法(转化为定积分)( 1 )I =/(©(/)，0()妒(/) + 0门山( 2 )I = f TV，)Jl + )"(X)厶(3) r = r(0) (a<x =(p(t)x = r(6>) cos(9 y = “)sin&典型例题L:y =卩(x)P189-例 1P190-3"/(r(&)c

13、os&,厂(&)sin(&) + 尸d8(1) 参数法(转化为定积分)x= _ a单调地从到0)y =如)J Pch+(2dy=He ¥(/W(j)+ae a)* a)“'a)dr(2) 利用格林公式(转化为二重积分)条件：L封闭，分段光滑，有向(左手法则围 成平面区域D)P, Q具有一阶连续偏导数艸+如q(譽一即嘶满足条件直接应用<有瑕点，挖洞不是封闭曲线，添加轴助线结论:应用:(3)利用路径无关定理(特殊路径法)等价条件：越=竺 Pdx+ Qdy = 0dx dy>iL£ Pdx+ Qdy与路径无关，与起点、终点有关-7- /

14、 10P196-例1、例 2、例3、例4P205 一 例4P214-5(l) P211-例5、例 6、 例7高数下册总复习知识点归纳Pdx+ Qdy具有原函数"(X, y)(特殊路径法，偏积分法，凑微分法)(4)两类曲线积分的联系/ = ( Pdx+Qdy = j (Pcos& + Qcos0)ds空间第二类 曲线积分/ = Pdx+Qdy+Rd变力沿曲线 所做的功(1) 参数法(转化为定积分)£ Pdx + Qdy + Rdz = f ©(/), ), 6X/) 0(f) + Q X),肖(/),就)+ &卩(/)¥(/),0(/)必)

15、/(2) 利用斯托克斯公式(转化第二类曲面积分) :条件：L封闭，分段光滑，有向P, Q, R具有一阶连续偏导数J Pdx+ Qdy+Rdz结论：rf a/? dQx1 t BP dR t ; dQ=| (k/yZ + (_)dzdx + ( - )dxdy ¥ dy dzdz. dxdx dy府用.j满足条件直接应用 应用：i不是封闭曲线，添加糊力线P240-例 1第一类曲面 积分/=j7(x，y，讷曲面薄片的 质量 质量=面密 度X面积投影法E： Z = Z(x,y)投影到砂面/ = j| /(x J Z)dv= | /(x, y, Z(X, y) Jl + Z； + Zdxdy

16、类似的还有投影到面和“X面的公式P217-例1、例2-8- / 10髙数下册总复习知识点归纳(1)投影法(I)jf Pdydz=±卩(心川现妙 £ -第二类曲面 积分E :乙=乙(儿)'), 了为工的法向量与x轴的夹角 前侧取“+”， cos/>0 ； 后侧取cos/ <0 (2) jj Qdzdx = ±Jj /心Q(x, z),P226-例 2z入工：y =)a z), 0为为的法向量与y轴的夹角右侧取"+”，cos0>O；左侧取"-”，cos0vOI = Pdydz+QdzcL z(3)Jj Qdx(ly = ±jj0(x,y,z(xyy)lxilyZD、z+ 嗖？ x = x(y,z), &为工的法向量与x轴的夹角上侧取“+”， costz>0 ； 下侧取8SX0流体流向曲 面一侧的流 量(2)高斯公式右手法则取定刀的侧条件：工封闭，分片光滑，是所围空间闭区域。的外侧P, Q, R具有一阶连续偏导数结论：$卩小山 + Qdzdz + Rdxdy 呗弊詈唱 府用.j满足条件直接应用以用：不是封闭曲面，添加硼面P231-