重视数学思想方法,深化数学教材改革

1、重视数学思想方法，深化数学教材改革: 数学思想方法是数学的灵魂和精髓 , 如何在中学数学 教材中体现数学思想方法 , 不失时机的向学生渗透数学思想 方法是一个十分重要的问题。本文着重探讨高中数学内容中 所蕴含的数学思想方法 , 并对实验教材与普通教材在数学思 想方法处理方面进行比较。通过比较我们看到 , 中学数学 实验教材中更突出了数学思想和数学方法, 体现了知识教学和能力培养的统一。并且我们必须重视数学思想方法, 深化数学教材改革 , 让学生学会用数学思想方法分析问题、解 决问题 , 切实实现素质教育的要求。: 数学思想方法 , 数学教材一、问题提出 数学思想方法是以具体数学内容为载体 ,

2、又高于具体数学内 容的一种指导思想和普遍适用的方法。它能使人领悟到数学 的真谛 ,学会数学的思考和解决问题 , 并对人们学习和应用 数学知识解决问题的思维活动起着指导和调控的作用。日本 数学教育家米山国藏认为 ,学生在进入社会以后 , 如果没有 什么机会应用数学 , 那么作为知识的数学 ,通常在出校门后 不到一两年就会忘掉 , 然而不管他们从事什么业务工作 , 那 种铭刻在人脑中的数学精神和数学思想方法, 会长期地在他们的生活和工作中发挥重要作用。所以突出数学思想方法教 学, 是当代数学教育的必然要求 ,也是数学素质教育的重要 体现 , 如何在中学数学教材中体现数学思想方法也是一个十 分重要的

3、问题 .2019 年我国新一轮基础教育课程改革已正式启动 , 此次基础 教育数学课程改革的特点之一就是把数学思想方法作为课 程体系的一条主线。已经有不少文章探讨初中数学教材中的 数学思想方法 , 但对高中数学教材中蕴含的数学思想方法探 讨较少。事实上 ,高中数学教材的改革也已经开始酝酿 , 目前 高中普遍使用的数学教材是人教社 2019 年版的全日制普 通高级中学教科书 （试验修定本 ）?数学 （下称普通教材 ）, 也 有部分高中根据学生的情况选用了原国家教委的中学数学 实验教材 （试验本 ?必修?数学） （下称实验教材 ） 。可以说在 素质教育推动下 , 与旧数学教材相比这两套新教材在内容、

4、 结构编排上都有了很大变化 , 都体现了新的数学教育观念 , 而在原国家教委的中学数学实验教材中尤其突出了数学 思想和数学方法 , 体现了知识教学和能力培养的统一。本文 就着重探讨高中数学内容中所蕴含的数学思想方法 , 并对实 验教材与普通教材在数学思想方法处理方面进行比较。二、高中数学应该渗透的主要数学思想方法1、 数学思想与数学方法 数学思想与数学方法目前尚没有确切的定义, 我们通常认为数学思想就是“人对数学知识的本质认识 , 是从某些具体的 数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点 , 它在 认识活动中被反复运用 ,带有普遍的指导意义 , 是建立数学 和用数学解决问题的指导思想”。

5、就中学数学知识体系而言 中学数学思想往往是数学思想中最常见、最基本、比较浅显 的内容 ,例如: 模型思想、极限思想、统计思想、化归思想、 分类思想等。数学思想的高层次的理解 , 还应包括关于数学 概念、理论、方法以及形态的产生与发展规律的认识 , 任何 一个数学分支理论的建立 , 都是数学思想的应用与体现。 所谓数学方法 , 是指人们从事数学活动的程序、途径 ,是实施 数学思想的技术手段 , 也是数学思想的具体化反映。所以说 , 数学思想是内隐的 , 而数学方法是外显的 ,数学思想比数学 方法更深刻 , 更抽象地反映了数学对象间的内在联系。由于 数学是逐层抽象的 , 数学方法在实际运用中往往具

6、有过程性 和层次性特点 , 层次越低操作性越强。如变换方法包括恒等 变换 , 恒等变换中又分换元法、配方法、待定系数法等等。 总之 , 数学思想和数学方法有区别也有联系 , 在解决数学问 题时, 总的指导思想是把问题化归为能解决的问题 , 而为实 现化归 , 常用如一般化、特殊化、类比、归纳、恒等变形等 方法 , 这时又常称用化归方法。一般来说 , 强调指导思想时称 数学思想 , 强调操作过程时称数学方法。2、 高中数学应该渗透的主要数学思想方法 中学数学教育大纲中明确指出数学基础知识是指 : 数学中的 的概念、性质、法则、公式、公理、定理及由数学基础内容 反映出来的数学思想方法。可见数学思想

7、方法是数学基础知 识的内容 , 而这些数学思想方法是融合在数学概念、定理、 公式、法则、定义之中的。在初中数学中 , 主要数学思想有分类思想、集合对应思想、 等量思想、 函数思想、 数形结合思想、 统计思想和转化思想。 与之对应的数学方法有理论形成的方法 , 如观察、类比、实 验、归纳、一般化、抽象化等方法 , 还有解决问题的具体方 法 , 如代入、消元、换元、降次、配方、待定系数、分析、 综合等方法。这些数学思想与方法 , 在义务教材的编写中被 突出的显现出来。在高中数学教材中 , 一方面以抽象性更强的高中数学知识为 载体, 从更高层次延续初中涉及的那些数学思想方法的学习 应用, 如函数与映

8、射思想、分类思想、集合对应思想、数形 结合思想、统计思想和化归思想等。另一方面 , 结合高中数 学知识 ,介绍了一些新的数学思想方法 , 如向量思想、极限思 想, 微积分方法等。 因为其中一些数学思想方法都介绍很多了 , 这里只谈一下初 等微积分的基本思想方法。无穷的方法 , 即极限思想方法是 初等微积分的基本思想方法 , 所谓极限思想 （方法）是用联系 变动的观点 , 把考察的对象 （ 例如圆面积、变速运动物体的瞬 时速度、曲边梯形面积等 ）看作是某对象 （内接正 n 边形的面 积、匀速运动的物体的速度 , 小矩形面积之和 ） 在无限变化过程中变化结果的思想 （ 方法）, 它出发于对过程无限

9、变化的考 察, 而这种考察总是与过程的某一特定的、有限的、暂时的 结果有关 , 因此它体现了“从在限中找到无限 , 从暂时中找 到永久 , 并且使之确定起来” （恩格斯语 ）的一种运动辨证思 想, 它不仅包括极限过程 , 而且又完成了极限过程。纵观微积 分的全部内容 , 极限思想方法及其理论贯穿始终 , 是微积分 的基础。三、普通教材与实验教材在数学思想方法处理方面的比较 普通高中教育是与九年义务教育相衔接的高一层次基础教 育, 在数学教材的编写上 , 必须要注意培养学生的创新精神、 实践能力和终身学习的能力。与旧教材相比 , 新的数学教材 开始重视渗透数学思想方法 , 那么高中现行使用的普通

10、教材 与实验教材在数学思想方法处理方面有何异同呢?因为内容太多 , 下面只能粗略的作一比较。1、相同之处在于 普通教材与实验教材都多将数学思想方法的展示 , 融合在数 学的定义、定理、例题中。例如集合的思想 , 就是通过集合 的定义“把某些指定的对象集在一起就成为一个集合” , 及 通过用集合语言来表述问题 , 体现了集合思想方法来处理数 学问题的直观性 ,深刻性 , 简洁性。对非常重要的数学思想方 法也采用单独介绍的方式 , 如普通教材与实验教材都将归纳 法列为一节 , 详细学习。2、 不同之处在于(1) 有些在普通教材中隐含方式出现的数学思想方法 , 在实 验教材中被明确的指出来 , 并用

11、以指导相关数学知识的展 开。关于数学方法 我们举不等式证明方法的例子。实验教材在不等式一章第三 节“证明不等式”中详细讲述了不等式证明的方法 , 比较 法、综合法、分析法、反证法。普通教材中虽然也在不等式 一章, 列出第三节“不等式的证明”介绍比较法、综合法、 分析法 ,但对方法的分析不够透彻 , 更象是为了解释例题。比 如在综合法的介绍中 , 普通教材只讲 : “有时我们可以用某 些已经证明过的不等式 ( 例如算术平均数与几何平均数的定 理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立, 这种证明方法通常叫做综合法。”而在实验教材更准确更详细的介 绍: “依据不等式的基本性质和已知的不等式, 正

12、确运用逻辑推理规律 , 逐步推导出所要证明的不等式的方法 , 称为综 合法。综合法实质上是“由因导果”的直接论证 ,其要点是 : 四已知性质、定理、出发 , 逐步导出其“必要条件” , 直到最 后的“必要条件”是所证的不等式为止”。分析法的介绍也 是这样 , 在实验教材中给出了分析法实质是“执果索因”的 说明, 这样学生能清楚的领会综合法、分析法的要义,会证不等式的同时学会了综合法和分析法 , 而不仅是能证明几个不关于数学思想在实验教材第一册 （ 下）研究性课题“函数学思想及其应 用”中 ,明确提出“把一个看上去不是明显的函数问题, 通过、或者构造一个新函数 , 利用研究函数的性质和图象 ,

13、解决 给出的问题 , 就是函数思想” ,并举例用函数思想解决最值 问题、方程、不等式问题 , 及一些实际应用的问题。其实普 通教材在讲函数时也在用运动、变化的观点, 分析研究具体问题中的数量关系 , 通过函数形式把这种数量关系进行刻划 并加以研究 , 但从未提函数思想方法。虽然实验教材中只是 以研究性课题的形式 , 对函数思想作以介绍和应用探讨 , 可 这已经是一种重视数学思想方法的信号 , 随着今后素质教育 的推进 ,和实践经验的积累 , 我想数学思想方法在数学教材 中会有更明确的介绍。我们举向量的例子。（2） 实验教材中还增加了一些数学思想方法的介绍。 关于数学方法 普通教材在第一册第三章

14、“数列”中只介绍了数列的概念、 等差等比数列及其求和 , 而在实验教材第二册 （下）的第十章 “数列”中增加了第四节“数列应用举例”介绍了作差 , 将 某些复杂数列转化为等差等比数列的方法。这在潜移默化中 也渗透了转化的思想。又如在第一册 （上）中, 增加了研究性 课题“待定系数法的原理、方法及初步应用” , 阅读材料“插值公式与实验公式” ,虽然不是作为正式章节 , 但也体 现了对数学思想方法的重视。再如数学归纳法普通教材介绍 的相当简略 , 而实验教材详细介绍了什么是归纳法 , 归纳法 的结论是否一定正确 , 什么是数学归纳法归纳起始命题等问 题, 还举了大量例子 , 切实注重让学生真正理

15、解方法。 关于数学思想实验教材中对向量 , 解析几何的处理体现了将向量思想 , 几 何代数化思想的引入 , 并用这些数学思想方法来统领相关数 学知识的介绍。实验教材在第六章“平面向量”开首就 讲: “代数学的基本思想方法是运用运算律去系统地解答各 种类型的代数问题 ; 几何学研究探索的内容是空间图形的性 质。 在这一章中，我们首先要把表达“一点相对另一点 的位置”的量定义为一种新型的基本几何量我们称之 为向量，这样，我们就可以用代数的方法研究平面图形 性质 , 把各种各样的几何问题用向量运算的方法来解答。再 看普通教材第五章“平面向量”的前提介绍 :“ , 位移 是一个既有大小又有方向的量 ,

16、 这种量就是我们本章报要研 究的向量。向量是数学中的重要概念之一。向量和数一样也 能进行运算 , 而且用向量的有关知识更新还能有效地解决数 学、物理、等学科中的很多问题。这一章里 , 我们将学习向 量的概念、运算及其简单的应用。”显然实验教材是从数学 思想方法的高度来引入向量 , 这也使后面内容的学习可以以此为线索 , 体现了知识的内在统一。实验教材在第六章“平 面向量”之后 , 紧接着设置了第七章“直线和圆” ,从第七 章的内容提要中我们看出这样设计是有良苦用心的。内容提 要如下: “人们对于事物的认识和理解 , 总是要经过逐步深 化的过程和不断推进的阶段。对于空间的认识和理解 , 就是 先

17、有实验几何 , 然后推进到推理几何 , 理推进到解析几何。在 第六章 ,我们引进了平面向量 , 并且建立了向量的基本运算 结构, 把平面图形的基本性质转化为得量的运算和运算律 , 从而奠定了空间结构代数化的基础 ; 再通过向量及其运算的 坐标表示 , 实现了从推理几何到解析几何的转折。解析几何 是用坐标方法研究图形 , 基本思想是通过坐标系 , 把点与坐 标、曲线与方程等联系起来 , 从而达到形与数的结合 , 把几何 问题转化为代数问题进行研究和解决。”并且在后面直线的 方程、直线的位置关系点到直线的距离几节中都自然而然的 延续了向量的思想和方法 , 使直线的学习连惯、完整、深刻。 而普通教材

18、将第一册 （下）的第五章设为“平面向量” , 在第 二册 （上）的第七章才设置“直线和圆的方程” , 中间隔了不 等式一章 , 并且在内容上 , 也没有将向量与直线方程联系起 来, 关于法向量、点直线点法式方程都没有讲, 只是随后设置了“向量与直线”的阅读材料简单介绍法向量、直线间的位 置关系。四、重视数学思想方法 , 深化数学教材改革1、在知识发生过程中渗透数学思想方法 这主要是指定义、定理公式的教学。一是不简单下定义。数 学的概念既是数学思维基础 , 又是数学思维的结果。概念教 学不应简单地给出定义 , 而是应引导学生感受或领悟隐含于 概念形成之中的数学思想方法。二是定理公式介绍中不过早 下结论 ,可能的话展示定理公式的形成过程 , 给教师、学生留 有参与结论的探索、发现和推导过程的机会。 2、在解决问题方法的探索中激活数学思想方法 注重解题思路的数学思想方法分析。在例题、定理证明活 动中, 揭示其中隐含的数学思维过程 , 才能有效地培养和发 展学生的数学思想方法。