江苏启东中学高考数学二轮复习之考点透析9：三角函数图象与性质考点透析

1、江苏启东中学高考数学二轮复习之考点透析9:三角函数图象与性质考点透析【考点聚焦】考点1:函数y=Asin( x )(A0,0)的图象与函数y=sinx图象的关系以及根据图象写出函数的解析式考点2:三角函数的定义域和值域、最大值和最小值;考点3:三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题;【考题形式】1。由参定形，由形定参。2。对称性、周期性、奇偶性、单调性【考点小测】1.安徽卷将函数y sin x(a 0平移，平移后的图象如下列图,6，对应函数的解析式是sin(xC.ysin(2x3)解：将函数sinx(0)的图象按向量a-,0平移,6平移后的图象所对应的解析式为ysin(x6)

2、，由图象知，(寻6)，所以22，因此选Co2.四川卷以下函数中，图象的一局部如右图所示的是Aysin xBy sin 2xCy cos4xDy cos2x -6解析：从图象看出,1-T=41264，所以函数的最小正周期为n,函数应为y= sin 2x向左平移了 一个单位，即6y sin2(x -) = sin(2x -)cos( 2x )23COs(2( ?选 D.3. 2007 年广东 5.函数 f(x) sin2(x) sin2(x)是 ()44的奇函数；B.周期为 2的奇函数2的偶函数4.湖南卷设点P是函数f (x) sin x的图象C的一个对称中心，假设点P到图象C的对称轴上的距离的最

3、小值 _，那么f(x)的最小正周期是A .2nB. nC.4-D.24解析：设点P是函数f(x) sin x的图象C的一个对称中心，假设点P到图象C的对称轴上最小正周期为 n选B.5.天津卷函数yAsin(x )(0,2,x R)的局部图象如下列图，那么函数表达式为4y/Ay4sin( x8By4 si n(x )84Cy4sin( x8Dy6天津卷要得到函数cosx的图象,只需将函数 y2sin(2x 4)的图象上所有的点的(A)横坐标缩短到原来的纵坐标不变,再向左平行移动个单位长度8(B)横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度4(C)横坐标伸长到原来的纵坐标不变，再向左平行

4、移动个单位长度4(D)横坐标伸长到原来的纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度87.全国卷I设函数f xcosI f/ x是奇函数,解析：f'(x) 3sin(、3x)，那么fcos(、3x )、3si n(. 3x),3x )为奇函数，二0=.6&湖南卷假设f (x) a sin(x ) 3sin(x)是偶函数，那么a=44解析：7272J2J2冃f (x) asin(x ) 3sin(x ) a( sin xcosx) 3( sinxcosx)是442222小测题号12345678答案CDABAC"6-3【典型考例】例 1 . 2006 福建卷函数 f(x)=sin

5、2x+ x 3 sinxcosx+Zcosx R.I求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;H函数f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x R)的图象经过怎样的变换得到?三角函数的图象和性质等根本知本小题主要考查三角函数的根本公式、三角恒等变换、识,以及推理和运算能力。总分值12分。解:If(x)胄Ux2(1cos2x)割2x1 cos2x2sin(2x6)f (x)的最小正周期T由题意得2k- 2x2kZ, 即x k , k Z.36f (x)的单调增区间为3，kUI方法一先把y sin2x图象上所有点向左平移力个单位长度，得到y sin(2x 石)的图象，再把所得图象上所有的点向上平移

6、3y si n(2x )的图象。33个单位长度，就得到2方法把y sin 2x图象上所有的点按向量a(五肖平移，就得到3y si n(2x )的图象。例 22007 全国设函数 f(x) sin(2x)(0), y f (x)图像的一条对称轴是直线x 。1求8；n求函数yf (x)的单调增区间；川画出函数y f (x)在区间0,上的图像。本小题主要考查三角函数性质及图像的根本知识，考查推理和运算能力，总分值12分.解:sin (21,k-,k Z.0,3424n由I知33因此y3sin (2x).44由题意得2k2x32k,kZ.242所以函数y3sin(2x中的单调增区间为k8,kIx 8是

7、函数yf (x)的图像的对称轴,58，kZ.3川由 y sin(2x)知4x08385878y璧-101022故函数y f(x)在区间0,上图像是2n例 3. 2006 山东卷函数 f(x)=Asin (4'x I y)(a>o,3 >o,o<© < 函数，且 y=f(x)2的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2,并过点1, 21求 f(x);2计算 f(1)+f(2)+ +f(2 008).2a解: 1y A sin ( x )2A cos(22x 2).-yf (x)的最大值为2, A 0 .A2A22, A2.又.其图象相邻两对称轴间的距离

8、为2,0 ,1 21(2 ) 2,4解法二:f (x) 2sin2( x4)f(1)f(3)2si n2() 2sin42(4)2,f(2)2f(4) 2sin (二)22si n2()2,f(1)f (2)f(3)f(4)4.又yf (x)的周期为4, 20224 502 ,f(1)f(2)f (2022)4 5022022例4 2006湖北设函数f (x)a(bc),其中向量a(sin x,cosx),f(1)f(2)f (2022)4 5022022.b (sin x, 3cosx), c ( cosx,sin x),x R。2 2f(x) § 严xcos( x 2 ).2Ty

9、 f(x)过(1,2)点,cos(21.2 2k2,kZ,2k7k乙II丨解法一:cos( x )2 2sin x.2f(1)f(2)f (3)f(4)10 14.又:yf(x)的周期为4, 20224 502 ,I、求函数f (x)的最大值和最小正周期;n、将函数f(x)的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称, 求长度最小的d。【课后训练】一选择题.1.全国卷I函数f x tan x十一的单调增区间为V4丿I7Tk +1汀,k EA.5_, k斤一一Bk汀,ZI22,C 1(kr,51 -l,=zD7T,0十,kZI44丿X44 )2.全国II假设 f(sinx)= 3

10、 cos2x.那么 f(cosx)=A3 cos2xB3 sin2xC3 + cos2xD3+ sin2x3浙江卷函数y=sinx+sin 2x,x R的值域是2(A)丄,3 :(B)-,1 :(C)2 2 2 2 24.天津卷函数f(x) =asinx bcosx3冗处取得最小值，那么函数y = f( x)是4a偶函数且它的图象关于点n ,0)对称3C.奇函数且它的图象关于点 (-，0)对称1,21.21,2 1,(D),-2 2222 22_na、b为常数，a，0, x匚R丨在x=- 43冗B 偶函数且它的图象关于点(，0)对称2d奇函数且它的图象关于点 n,0)对称5 2004年广东9当

11、0 X 7时，函数f(x)2cos xcos xs in x sin2x的最小值是11A. B. C.2D.4426.北京卷对任意的锐角 a, 3,以下不等关系中正确的选项是Asin( a+ 3>sin a+sin 3 Bsin( a+®>cos a+cos 3Ccos( a+ 3<sin d- sin 3 Dcos( a+ 3)<cos 处 cos 37.全国卷n函数y =ta nx 在-,丨内是减函数，贝U22A0<< 1B-1 w< 0C> 1 Dw -1&湖北卷假设sincostan (0),那么2A 吓B (6G)C

12、(越)D (3'2)9 山东卷函数f(x)sin( xx 1),1x0假设 f(1) f(a) 2,那么a的所有可能值为e ,x02<2.2A1B1,CD1,-22210.上海卷函数f(x)si nx21 si n x |,x0,2的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，贝U k的取值范围是 。11.湖北卷函数y |sinx|cosx 1的最小正周期与最大值的和为 题号123456789101112答案CCCDDBACB1<k<32 121解答题(II)求f(X)的的最大值和最小值;3(III)假设f () ，求sin2的值.4解： f (x) sin x sin(x

13、y)sin x cosx . 2 sin(x )4I f (x)的最小正周期为Tn f (x)的最大值为,2和最小值 2 ；川因为 f()即sin3 亠cos2 sin cos47,即16sin 27162.函数f (x) 4sin2x2sin2x 2, x R。1.广东卷函数f (x) sinx sin(x -),x R.(I)求f (x)的最小正周期;1求f (x)的最小正周期、f (x)的最大值及此时 x的集合;2证明：函数f(x)的图像关于直线x n对称。8解:f (x) 4sin2x 2sin2x 2 2sin x 2(1 2sin2x)2sin 2x 2cos 2x 2、2 sin

14、(2x n)4n所以，当2x nn2k n，即 x3 n , k n时,428证明：欲证明函数f (x)的图像关于直线x(1)所以f (x)的最小正周期T n,因为x R,f(x)最大值为2.2 ；n8f(8x)f(x)成立，8因为f(冗x)2 .2sin2(nx)22sin( n2x)2 , 2 cos 2x ,8842f(冗8x)22 s in2(nn-x)-842 .2 sin( n22x)2、2 cos2x ,所以f(冗8x)f ( x)成立，从而函数8f (x)的图像关于直线nx对称。8对称，只要证明对任意x R，有3.上海春函数f (x) 2sin x2 cosx, x1假设sin

15、x -，求函数f(x)的值;52求函数f (x)的值域.解：14sin x ,5cosxf(x) 23sinx 1 cosx 2 cosx.3sin xcosx32 2552f (x)2sin xxx 51sin x16 236626x 2,5函数f(x)的值域为1, 2.4.(重庆卷)设函数 f(x)=73cos23 x+s inxcos x+a(其中> 0,a R),且f(x)的图象在y轴右x侧的第一个高点的横坐标为.I丨求3的值；n如果f(x)在区间53, 6上的最小解：( I ) f (x)三 cos 2xsin 2xsin2 x -2223依题意得2解之得16322(II)由(

16、I1 ) 知 ,f(x)=sin(x+亍2又当x,5时，x0,7 ,3636值为 3，求a的值.3_2-故 1 sin( x )1,23从而f(x)在，5 上取得最小值36因此，由题设知-上3二故 一2 2 25 函数 f(x) sin'cos*3 cos2 -333I将 f(x)写成 Asin( x)的形式，并求其图象对称中心的横坐标;n如果 ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x,试求x的范围及此时函数f(x)的值域.解:f (x) sin 警3(1cos%23231 . 2x sin -2仝cos空2sin(警-)-2332I由 sin-)=0 即 2x33(k

17、z)得x3k即对称中心的横坐标为3k 12n由 b2=aca2c2b2c2ac2acaccosx2ac2accosx 1,2ac3I3sin 3sin(空3. 3 sin()133综上所述，x (0,3f (x)值域为(.3,1说明：此题综合运用了三角函数、余弦定理、根本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。6.函数 y=cos2x+si nx cosx+1 x R,2 21当函数y取得最大值时，求自变量 x的集合;2该函数的图像可由y=sinx(x R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?解: 1y= cos2x 3 sinx cosx+1= (2cos 2x 1)+2 22sinx cosx+14cos2x+2in2x+4451=(cos2x sin +sin2x426cos)+§64=-sin(2x+ )+ 5264所以y取最大值时，只需 2x+ =+2kn , k