中考数学压轴题专项汇编：专题14共顶点模型

1、中考数学压轴题专项汇编：专题14共顶点模型破解策略1 .等边三角形共顶点等边ABCW等边DCE B、C E三点共线.连2BD AE交于点F, B或AC于点G AE交DC于点H,连结CR GHJ则：(1) ABCID A ACE AE= BD(3) /AFB= /DFE= 60 ;(4) FC平分/ BFE(5) BF= AF+ FC, EF= DF+ FC;(6) CGH等边三角形.证明 (1)由已知条件可得，则 BC*AACEX |(2)由(1)得 AE= BD;(3)由(1)得/ GAF= / GBC 而/ AGF= / BGC 所以/ DFE= / AFB= /ACB= 60 .(4)方

2、法一 如图1,过点C分别作BD AE的垂线，垂足分别为 M N.由(1)知 SJAACE= SA BCD 即 BD CM AE- CN 所以 CMh CN 故FC平分/ BFE 1方法二 由/CAF= /CBF可得A B、C、F四点共圆，所以/ BFG=Z BAC= 60 .同理可得/ CFE= /CDE= 60 ,所以FC平分/ BFE(5)如图2,作/ FCI = 60° ,交BD于点I ,则4CFI为等边三角形.易证ABCI二4ACF 所以 BI=AF, IF=CI=FC.从而 BF= BI + IF=AF+ CF.同理可得 EF= DF+ FC.(6)易证AC* ABC(G

3、(ASA 可得 CG= CH 而 / GCHk 600 ,所以 CGH等边三角形.2.等腰直角三角形共顶点等腰 RtABCW等腰 RtDC可，/ACB= / DCa90 .如图1,连结BD AE交于点F,连结FC AD BE,则：(1) ABCID A ACE AE= BD(3) AEL BD(4) FC平分/ BFE(5) ABa DE2= ADa BE2n>B R Vf K W> * X«1. MT "”. mr 。" Z I 。- 3* » H* *，* "" " I ' K-*- »59

4、 / 11(6) BF= AF+ FC, EF= DF+ FC;(7)如图2,若G I分别为BE AD的中点，则GCLAD ICBE (反 之亦然)；(8) SJAAC氏 SJA BCE证明(1) (2) (3) (4)证明见“等边三角形共顶点”；(5)因为AE! BD由勾股定理可得 ABaDE2= (AF2+ BF2) + ( DF2+ EF2),AD4 BE2= (AF2+ DF2 + (BF2+ EF2所以 AB2+ DE2= ADa BE2(6)如图3,过点C作CKaFC,交BD于点K,则 CFK为等腰直角三 角形.易证BCe AACIF 所以 BK= AF.从而 BF= BK KF=

5、 AF+ FC,同理可得EF= DF+ FC. 如图4,延长GC交AD延长线于点H,延长CG至点K,使得GK= GC 连结 BK易证/ KBG= /CEG BK= EG= CD由题意可得/ ACA/BCE= /CB曰/CE济 / BCE= 180 ,所以/ AC氏 / CB曰 / CEB= / CBG- / GBK= / CBK可得 AC* CBK (SAS则 / CA氏 / BCK所以/ ACI+ /CAf+ /ACF+ Z BCK= 90 ,故 GCLAD.如图5, CJ±BE,延长JC交AD于点T,分别过点A, D作IJ的垂线,垂足分别为 M N.由已知可得 AM院ACJEJ;

6、 ADNC2ACJEE,所以AM DhN= CJ,故有AMHDNI,所以AI = DI,即可证.(8)在(7)中的证明过程中可得到 SJAACD= SJABCE也可以用下面 的方法来证明如图6,过点D作DJAC于点P,过点E作EQ!BC,交BC延长线于点Q.易证DPCAEQC(AAS.所以 DEQ 故 DP AC= EQ- BQ 即 SA AC氏 SA BCE ：-3.等腰三角形共顶点等腰ACBW等月DCE, AC= BQ DG= CEE,且 / ACB= / DCE连2BQ AE交于点F,则：(1) BC* A ACE AE= BD(3) /AFB= /ACB(4) FC平分/ BFE4.相

7、似三角形共顶点n>B R Vf K W> * X *«1. MT "”. mr 。" Z I 。- 3* » H* *，* "" " I ' K-*- »61 / 11 ACBWECD, /ACB= /ECD 臼 .连2BQ AE交于点F,则：(1) ABCID A ACE /AFB= Z ACB证明(1)由已知可得 a所以 AC曰A BCD(2)由(1)可得/ CAF= /CBF设AC与BD的交点为G,则/ AGF= / BGC所以/ AFB= /ACB例题讲解例1如图1,在 ABC中，BC=

8、 4,以线段AB为边作4ABD使得AD= BD,连结 DC 再以 DC为边彳CDE 使得 DC= DE / CDE= / ADB =(1)如图2,当/CDE= 45 且=90°时，用等式表示线段 AD, DE 之间的数量关系； 将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF,连结BF, AF.若=90° ,依题意补全图3,求线段AF的长；凶n>B -JM Vf K X«1. MT "”. mr 。" Z I 。- 3* » H* *，* "" " I ' K-*- »62 / 11

9、请直接写出线段AF的长（用含的式子表示）臼解（1） AN D&4.（2）如图4,连结AE交BC于点G,设DEW BC的交点为H.由“等腰直角三角形共顶点”可得 AD国 ABDC （SAS所以 AE= BC, / EGG= / EDC=因为线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF.所以 AE>BC= FE= 4, AnEF.所以 AF= EF=.AF= 8sin .日如图5,连结AE交BC于点G.由“等腰直角三角形共顶点”可得 FE= BC= AE/ AEF= / EGC= / EDC=Jr过点E作EH1 AF于点HJ '、 则/AEH= /AEF=F所以 AF = 2

10、AH = 2AEsin =图，8sin . j62 / 11中考数学压轴题专项汇编：专题14共顶点模 型(1)若AB= AC请探究下列数量关系；在图2中，BD与CE的数量关系是；在图3中，猜想AM与AN的数量关系，/ MANW/ BAC的数量关系，丙证明你的猜想：(2)若AB= AC (K> 1),按上述操作方法，得到图4,请继续探 究：AMI AN的数量关系；/ MANf /BAC的数量关系.解(1) BD= CEAM= AN / MAN= / BAC 证明如下：由“等腰三角形共顶点”可得 CA自ABAD (SAS所以 CE= BD / ACN= / ABM所以BM= CN从而 AB阵

11、 ACN (SAS所以 AM= AN / BA阵 / CAN即 / MANk / BAC(2) AM= kAN /MANk /BAC 证明如下：由“相似三角形共顶点”可得所以，/ ACNk /ABM -CAa ABAtD所以 从而 ABMh AACN所以 AM= kAN / BAM= / CAN即 / MANk / BACvf X W> * X ，«1. MT "”. mr 。" Z I 。 I64 / 11中考数学压轴题专项汇编：专题14共顶点模型1. 在平行四边形 ABCM, / A= / DBC过点D作D& DF,且/ EDF = /ABD连结

12、EF, EQ N P分别为EC BC的中点，连接谈NP（1）如图1,若点E在DP上，EF与DC交于点M,试探索线段NP 与MN的数量关系及/ ABDW/MNP1足的等量关系；（2）如图2,若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1）中 得到的结论仍然成立？写出你确定的点 M的位置，并证明（1）中的结 论.解 （1） NP= NM / ABA /MNP= 180M是线段EF的中点.【提示】（1）证DP! BC DCL EF,根据直角三角形斜边中线定理可得 NP= NM= CEE, / ABA /MNP2/PDCH 2/DCP= 180 ;或者连结 BE, CF （如图），由“等腰三角形共顶点

13、”可证得结论.如图，连结BE, CF,取EF中点G.连名NG由“等腰三角形共顶 点”和中位线定理，即可得到点 M与点G重合时（1）中结论仍成立.2. 如图 1,在 ABC中，/ACB= 90 , AG= BC / EAC= 90 , 点M为射线AE上任意一点（不与点A重合），连结CM将线段C幡点 C按顺时针方向旋转90。得到线段CN直线NB分别交直线CM射线AE于点F、D.2.如图 1,在AABC中，/ACB= 90 , AC= BC /EAO90 ，点 M为 射线AE上任意一点(不与A重合)，连接CM将线段C幡点C按顺时 针方向旋转90°得到线段CN直线NB分别交直线CM射线AE于

14、点F、 D.(1)直接写出/ NDE勺度数；(2)如图2、图3,当/ EA3I锐角或钝角时，其他条件不变，(1)中 的结论是否发生变化？如果不变， 选取其中一种情况加以证明；如果变 化，请说明理由；(3)如图 4,若/EAC= 15 , /ACM= 60 ,直线 CM与 AB交于 G BD =,其他条件不变，求线段 AM勺长. 区I解：(1) / NDE= 90 ;(2) (1)中结论不变，证明略；(3) .【提示】(2)由“共顶点模型”可得 AC砰 BCN所以/ BNC= /AMC 从而彳#到/ MD比 / MCN= 90 .(3)由题意可得，/ BAE= 30° , /AMG= / AGM= 75° ,而又(1)可 得/NDE= 90° ,所以AB= 2BD=.如图，过点G作GKBC于点H,则 CH= GH= BH,从而 AG= BG,所以 AG+ AG=,解得 AM= AGR Vf K X«1. MT "”. mr 。" Z I 。- 3* » H* *，* "" " I ' K-*- »66 / 11=. II3.如图， ABC与 DEF都是等腰三角形， AB, EF的中点均为 O, 且顶角/ ACB= / EDF= 0c ,直线BF, CD交于