2019年全国高考文科数学分类汇编---概率统计

1、2019年全国高考文科数学分类汇编一概率统计1 （2019北京文科）.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A, B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了 100人，发现样本中 A, B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用 A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人（I ）估计该校学生中上个月A , B两种支付方式都使用的人数；（II）从样本仅使用 B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率

2、；（出）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于 2000元.结合（n ）的结果，能否认为样本仅使用 B的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由.【答案】（I） 400人；（出）见解析.【解析】【分析】（I ）由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数；（n）利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率；（出）结合概率统计相关定义给出结论即可.【详解】（I）由图表可知仅使用 A的人数有30人，仅使用B的人数有25人,由题意知A,B两种支付方式都不使用的有 5人，所以样本中两种支付方式都使用的有10

3、0-30-25-5 = 40一40所以全校学生中两种支付方式都使用的有父1000 = 400 （人）.100（II）因为样本中仅使用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为2.25（出）由（n）知支付金额大于 2000元的概率为1-,25因为从仅使用B的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解

4、能力.2. （2019全国1卷文科）某学校为了解 1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1, 2,，1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若 46号学生被抽到，则下面 4名学生中被抽到的是A. 8号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生【答案】C【解析】【分析】等差数列的性质.渗透了数据分析素养.使用统计思想，逐个选项判断得出答案.【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列an,公差d =10,所以 an=6+10n（nw n &

5、quot;）,1若8=6+10n ,则n =-，不合题意；若200 = 6+10n,则n = 19.4,不合题意； 5若616=6+10n,则n=61 ,符合题意；若815=6 + 10n,则n=80.9,不合题意.故选 C.【点睛】本题主要考查系统抽样 .3. （2019全国1卷文科）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?附:n(ad -bc)2(a '

6、 b)(c d)(a c)(b d)2 .P (K /)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K24 3【答案】(1) 4,3；5 5(2)能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异【解析】【分析】(1)从题中所给的2父2列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率,即估计得出的概率值；(2)利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异【详解】(1)由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人,404所以男顾客对商场服务满意率估计为P = 40 = 4,50550名女顾客对商场

7、满意的有 30人，30 3所以女顾客对商场服务满意率估计为P2 = 30 = 3,50 5(2)由列联表可知2100(40 20 -30 10)270 30 50 50100一定 4.762 >3.841 ，21所以能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异【点睛】该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利用列联表计算K2的值，独立性检验，属于简单题目.4. （2019全国2卷文科）生物实验室有 5只兔子，其中只有 3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标概率为3 B.51D. 一52A.一32C.一5【答案】B【

8、解析】【分析】4j【详解】设其中做过测试的3只兔子为a,b,c,余的2只为唯，贝5只中任取的所有取法有a,b,c, a,b,A, a,b,B, a,c, A, a,c,B, |a,B , b,c./ BjA,B,c, .B共 10种.其 中恰有 2 只做过测试的取法有a,b,A, a, b, BHa,c, A, a, cK, b,c, A,lk 8共，63所以恰有2只做过测试的概率为=3 5 BHa n c 10 5II错.10个车次5. （2019全国2卷文科）我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,次的平均正点率的估

9、计值为 .有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车【答案】0. 98.本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法,利用概率思想解题.【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为10Mo.97 +20父 0.98 + 100.99= 39.2 ,其中高铁个数为10+20+10=40 ,所以该站所有高铁平均正点率约为39工=0.98 .40【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养.侧重统计数据的概率估算,难度不大.易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据， 估算出正点列车数量与列车总数的比值.6. （2019全国2卷文科）某行业主管部门为了解

10、本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.y的分组-0.20,0)0,0.20)0.20,0.40)0.40,0.60)0.60,0.80)企业数22453147(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)(精确到0.01)附：、74 ： 8.602.【答案】(1)增长率超过40%的企业比例为 益，产值负增长的企业比例为100 =50 ； (2)平均数0.3;标准差0.17.【解析】【分析】(1

11、)本题首先可以通过题意确定100个企业中增长率超过 40%的企业以及产值负增长的企业的个数，然后通过增长率超过 40% 的企业以及产值负增长的企业的个数除随机调查的企业总数即可得出结果；(2)可通过平均值以及标准差的计算公式得出结果。【详解】(1)由题意可知，随机调查的100个企业中增长率超过 40% 的企业有14+7 =21个，产值负增长的企业有 2个，所以增长率超过40勿 的企业比例为 奇，产值负增长的企业比例为襦二专。i" | 1I W /I V J2?( 0.1)+24?0.1 53?0.3 14?0.5 7?0.7(2)由题意可知，平均值 y = -(-)而= 0.3,2

12、t转八 一2 一 - 一.s2=f?( 0.1-0.3) +24? (0.1标准差的平方:22220.3) +53? (0.3 0.3) +14? (0.5 0.3) +7? (0.7 0.3)=焉0.32 + 0.96+0.56+1.12 = 0.0296,所以标准差 s = J0.0296 = J0.0004椿74 0.02楮8.602 0.17。【点睛】本题考查平均值以及标准差的计算，主要考查平均值以及标准差的计算公式，考查学生从信息题中获取所需信息的能力，考查学生的计算能力，是简单题。7. (2019全国3卷文科)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A. 1

13、B. 1C. 1D. 16432【答案】D【解析】【分析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种 1 一，数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是一故选D.2【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养.采取等同法，利用等价转化 的思想解题.8. （2019全国3卷文科）西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国 古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90位，阅读过

14、红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8【答案】C【解析】 【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解【详解】由题意得，阅读过西游记的学生人数为90-80+60=70 ,则其与该校学生人数之比为70+100=0.7 .故选C.【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养.采取去重法，利用转化与化归思想 解题.9. （2019全国3卷文科）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A,B两组，每组100

15、只，其中A组小鼠给服甲离子溶液， B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的 溶液体积相同、摩尔浓度相同 .经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到 P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)【答案】(1) a =0.35, b=0.10; (2) 4.05, 6.【解析】【分析】(1)由P(C) =0.70及频率和为1可解得a和b的值；(2)根据公式求平均数.【详

16、解】(1)由题得 a+0.20 + 0.15 = 0.70,解得 a = 0.35,由 0.05+b+0.15 =1 R C) =1 -0.70 ,解得 b =0.10.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为0.15父2+0.20父3十0.30父4十0.20父5 + 0.10父6十0.05父7 = 4.05,乙离子残留百分比的平均值为0.05 3 0.10 4 0.15 5 0.35 6 0.20 7 0.15 8 = 6【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题10 (2019天津卷文科).2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病

17、医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(I)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(n)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为 A,B,C,D,E,F .享受情况如右表，其中“”表示享受，“X”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目ABCDEF子女教育OOXOXO继续教育XXOXOO大病医疗XXXOXX住房贷款利息OOXXOO住房租金XXOXXX赡养老人OOXXXO(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

18、(ii )设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 M发生的概率. 【答案】(I) 6人，9人，10人；(II) (i)见解析；(ii) 11.15【解析】【分析】(I)根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等 的，结合样本容量求得结果；(II) (I)根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；(ii)根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率【详解】(I)由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10 ,由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.(II) (i

19、)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为。b；：a,c；：a,dHa,e)：a,f Hb,c：/b,d；：b,e)，b,f)：c,d-Ce；：c,f),d,eJd,fJe,f,共 15 种；(ii)由表格知，符合题意的所有可能结果为a,b,a, d,a,e,a,f,b,d,b,e,b, F,c,e,c,f,d,fJe,F±共 11 种， 11所以，时间M发生的概率P(M)=.15【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力11. (2019浙江)设0 <a父1,则随机变量 X

20、的分布列是:工0a1P£ 3721则当a在(0,1 )内增大时()B. D（X ）减小A. D（X）增大C. D (X )先增大后减小D. D (X )先减小后增大【答案】D【解析】【分析】研究方差随a变化 增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.【详解】方法1：由分布列得 E(X) =1a 2 11a La 2,212 1（01）D（X）= |L_a_0 I xl + iL_a . 1+ 1-a-1 =2laI +L

21、则当 a 在（0,1）内增大时, 333 7 333 9 j 6d（x）先减小后增大.,r±d2 Oo2 _ oo ,a i （ a 1） 2 a 2 a2 2a 9|_12； 4_方法 2：则 D（X） = E（X ）H（X） = 0 +一=-F =_M3r 993 99 故选D.ri、II差，不能正确得到二次函数表达;I '12. （2019江苏）已知一组数据6, 7, 8, 8, 9, 10,则该，歌的方差是 .【答案】【解析】【分析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.【详解】由题意，该组数据的平均数为6+7+8+8+9+10 =8,6所以该组数据的方差是 1(6

22、 -8)2 (7 -8)2 (8 -8)2 (8-8)2 (9-8)2 (10-8)2 =5 .63【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题13. (2019江苏)从3名男同学和2名女同学中任选 2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.【答案】.10【解析】【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得 出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有 C： =10种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有C；C；=6种情况,2若选出的2名学生都是女生，有 C2 =1种情况,L L6

23、 17所以所求的概率为二一1010是独立考查，二是与古典概型结合考查,【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种,由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中,应注意审清题意，明确 分类“分步”，根据顺序有无，明确 排列”组合”.14. (2019江苏)在平面直角坐标系xOy中，设点集An =(0,0),(1,0),(2,0，(n,0),&=(0,1),(n,1),Cn =(0,2),(1 ,2),(2,2), |,(n,2), Z N*.令 M n = A U BnUg.从集合 Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们

24、之间的距离.(1)当n=1时，求X的概率分布；(2)对给定的正整数 n (n>3,求概率P (X切)(用n表示).【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】【分析】(1)由题意首先确定 X可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列；(2)将原问题转化为对立事件的问题求解P (X A n)的值，据此分类讨论.b = d ,.b=0,d=1,.b = 0,d =2 ,.b =1,d =2四种情况确定 X满足X >n的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定P(X w n)的直.【详解】(1)当n=1时，X的所有可能取值是1,72,2,757744X的概率分

25、布为 P(X=；7, P(X =<2)=群 =77，Ce15C 6 15P(X =2)=马=-,P(X =局=马=-.C615C615(2)设A(a,b)和B(c, d)是从Mn中取出的两个点.因为P(X <n) =1 P(X >n),所以仅需考虑 X >n的情况.若b =d ,则AB Wn ,不存在X >n的取法；若 b = 0 , d =1，则 ab = J(a -c)2 +1 < Jn2 +1，所以 X > n 当且仅当 ab = x/n2 +1，此时a=0, c = n或a=n, c = 0,有 2种取法；若 b = 0 , d =2 ,则 ab = J(a -c)2 +4 < Jn2 +4，因为当 n 2 3时，J(n -1)2 +4 < n，所以 X a n当且仅当AB = Jn2 +4，此时a=°，c = n或a = n, c = °,有2种取法；若 b=1,d =2,则 AB = J(a_c)2+1MVn7i，