教案讲稿洛必达法则

1、0型未定式一、0型未定式二、三、其他未定式目录上页下页返回结束：第二节洛必达法则函数的性态微分中值定理导数的性态本节研究:函数之商的极限(型)或转化导数之商的极限洛必达目录上页下页返回结束洛必达法则0 型未定式一、0定理 1.o2)f (x)与F (x) 在U (a)内可导,f ¢(x)3)lim(或为)x®a F ¢(x)f (x) = lim f ¢(x)lim(洛必达法则)x®a F¢(x)x®a F (x)目录上页下页返回结束定理条件:o2)3)f (x)与F (x) 在U (a)内可导,f ¢(x)lim

2、(或为)x®a F ¢(x)无妨假设 f (a) = F (a) = 0, 在指出的邻域内任取证:则西定理条件,在以 x, a 为端点的区间上满足柯故f (x) - f (a) =f ¢(x )F ¢(x )f (x) =( x 在 x , a 之间)F (x) - F (a)F (x)f ¢(x ) 3) = limx®a F ¢(x )目录上页下页返回结束洛必达法则推论1. 定理 1 中x ® a 换为下列过程之一:x ® a- ,x ® +¥,条件 2) 作相应的修改, 定理 1

3、 仍然成立.推论 2. 若lim f ¢(x)F ¢(x)理1条件, 则定理1目录上页下页返回结束例1. 求3x2 - 33x2 - 2x -1洛= limx®1解:原式6x= 32洛= limx®1 6x - 2¹ lim 6 = 1lim 6xx®1 6x - 2x®1 6目录上页下页返回结束例2. 求1-1 + x2洛=limx®+ ¥解: 原式1-x21= 1=limx®+ ¥=+11x2 - arctan n2思考: 如何求 limn®¥( n 为正整数)

4、 ?1n目录上页下页返回结束二、¥ 型未定式¥定理 2.o2)f (x)与F (x) 在U (a)内可导,f ¢(x)3)lim(或为)x®a F ¢(x)f ¢(x)f (x)= limlim(洛必达法则)x®a F ¢(x)x®a F (x)f (x)证: 仅就极限lim的情形加以证明 .x®a F (x)目录上页下页返回结束f (x) ¹ 0的情形lim1)x®a F (x)-1¢F (x)f (x)2F(x)-1=lim= limx®ax®

5、;a F (x)f ¢(x)f 2 (x)é æ f (x) ö2 F¢(x) ùæ f (x) ö2F¢(x)f ¢(x)= lim ê ç÷ú = limç÷limx®a¢x®aë è F (x) øf (x) ûx®aè F (x) øf (x) × lim F¢(x)1 = limx®a F (x)

6、x®a f ¢(x)f (x) = lim f ¢(x)lim从而x®a F¢(x)x®a F (x)目录上页下页返回结束lim f (x) = 0 的情形.2)取常数 k ¹ 0 ,x®a F (x)f (x) + k F (x)limæf (x) + k ö = limç÷x®aèøF (x)F (x)x®af (x) + k F (x) = k ¹ 0, 可用 1) 中结论limx®aF (x)f ¢

7、(x) + k F ¢(x) = lim é f ¢(x) + k ù= limx®ax®aêëF ¢(x)úûF ¢(x)f (x) = lim f ¢(x)limx®a F¢(x)x®a F (x)目录上页下页返回结束f (x) = ¥ 时, 结论仍然成立.3)lim( 证明略 )x®a F (x)说明: 定理中 x ® a 换为x ® a+ ,x ® +¥,x ®

8、; a-,x ® -¥x ® ¥,条件 2) 作相应的修改, 定理仍然成立.之一,定理2目录上页下页返回结束例3. 求1 xnxn-11= 0= limx®+¥原式limx®+¥xn解:nxn(n> 0 , l > 0).例4. 求 liml xx®+¥ e解: (1) n 为正整数的情形.nxn-1n (n -1)xn-2洛= limx®+¥洛= L洛=limx®+¥原式l x2l xl el en!ln el x= 0limx®+

9、¥目录上页下页返回结束xn(n> 0 , l > 0).例4. 求 liml xx®+¥ e(2)n 不为正整数的情形.正整数 k , 使当 x > 1 时,xn < xk +1xk<xk +1xnxk<<从而l xl xl xeeexk +1xk= limx®+¥= 0lim由(1)l xl xx®+¥ eexn= 0liml xx®+¥ e目录上页下页返回结束说明:1) 例3 , 例4 表明 x ® +¥时,ln x ,后者比前者趋于+ &

10、#165;更快 .el x(l > 0)2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决. 例如,计算用洛必达法则事实上目录上页下页返回结束3) 若 lim f ¢(x) 不(¹ ¥)时, 不能用洛必达法则 !F ¢(x)lim f ¢(x) .lim f (x)¹即F ¢(x)F (x)x + sin x1+ cos x¹例如,limx®+¥limx®+¥x1(1+ sin x) = 1limxx®+¥目录上页下页返回结束三、其他未定式:通分解决

11、 取对数取倒数1¥xn ln x(n > 0).limx®0+例5. 求1ln x x-n洛=x=lim解: 原式limx®0+x®0+ - n x-n-1xn=lim (-x®0+) = 0n目录上页下页返回结束 通分取对数取倒数1¥例6. 求 lim (sec x - tan x).x®2- sin x ) = lim 1- sin x1= lim (解:原式cos xcos xcos xx®x®22洛= lim - cos x- sin xx®2目录上页下页返回结束 通分取对数取倒数

12、1¥xx .limx®0+例7. 求xxlim ex ln x x®0+=解:limx®0+ 利用 例5 = e0 = 1例5目录上页下页返回结束lim tan x - x .例8. 求x2 sin xx®0解: 注意到sec2 x -1原式 = lim tan x - x洛=limx®032x®0x3xtan2 x= limx®023x= 13目录上页下页返回结束n ( n n -1).limn®¥例9. 求法1. 直接用洛必达法则.1-1xx原式limx®+¥法2. 利用

13、例3结果.计算很繁 !- 1x211=-1)lim n2 (nn原式n®¥1 ln n-1en=limn®¥- 1n21 ln nln n 例3 n= limn®¥= limn®¥= 0- 11n2n2例3目录上页下页返回结束洛必达法则g= eg ln ff1 - 1ff - g = gf f × g =1g1 × 1gf目录上页下页返回结束f ¢(x)极限不1. 设lim f (x) 是未定式极限 , 如果,g¢(x)g(x)f (x)g(x) 的极限也不? 举例说明 .

14、说明3) 是否3 2原式= 1 lim 3sin= 1 (3 + 0)分析:2 x®0x2说明3) 目录上页下页返回结束1 6)3.原式 = lim cosx®0分析:x sin2 x= limx®0x3洛= lim 1- cos x3x2x®01 x2= 1= lim 226x®0 3x目录上页下页返回结束im cos x = 1 ®04. 求t = 1 , 则解: 令x1+ 2t - 21+ t +1原式= limt®0t 2- 1- 1(1+ 2t) 2 - (1+ t)2=洛limt®02t3232- (1

15、+ 2t)+(1+ t)1412洛= limt®0= -2目录上页下页返回结束作业P1381*4(6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16),第三节 目录上页下页返回结束备用题求下列极限 :1-e x2 ;12) lim1)lim x®¥x®0 x1002 )ln(1+ x +sec x - cos x3)limx®0.(令t = 1)1)lim x®¥= lim 解:x1 ln(1+ t) - 1 = lim ln(1+ t) - tt 2t 212tt®0t®01-1- t洛= lim 1+t= lim= -t®0 2 t (1+ t)2tt®0目录上页下页返回结束- 11x22)limex®0 x1001解: 令t =, 则x2t50t50 e-t =50t 49limlim原式=(用洛必达法则)tet ® +¥t®+¥= lim(继续用洛必达法则)tt ® +¥e50! = 0= L=limt ® +¥et目录上页下页返回结束ln