解三角形完整讲义

1、正余弦定理知识要点：1、正弦定理:或变形：.2、余弦定理： 或.3、解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C。4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形

2、式.5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S1/2 * absinC7、三角学中的射影定理：在ABC 中，8、两内角与其正弦值：在ABC 中，【例题】在锐角三角形ABC中，有（ B ） AcosA>sinB且cosB>sinA BcosA<sinB且cosB<sinA CcosA>sinB且cosB<sinA DcosA<sinB且cosB>sinA9、三角形内切圆的半径：，特别地，正弦定理专题：公式的直接应用1、已知中，那么角等于（ ）

3、ABCD2、在ABC中，a，b，B45°，则A等于（C）A30° B60° C60°或120°D 30°或150°3、的内角的对边分别为，若，则等于（ ）AB2CD4、已知ABC中，则a等于（ B ）A B. C. D.5、在ABC中，10，B=60°,C=45°,则等于 （B ）ABCD 6、已知的内角，所对的边分别为，若，则等于 （）7、ABC中，则最短边的边长等于（ A ）A . B. C . D . 8、ABC中，的平分线把三角形面积分成两部分，则（ C ）A . B . C . D .9、在AB

4、C中，证明：。证明： 由正弦定理得： 专题：两边之和1、在ABC中，A60°，B45°，则a ；b .（,）2、已知的周长为，且（1）求边的长；（2）若的面积为，求角的度数专题：三角形个数1、ABC中，A=60°, a=, b=4, 那么满足条件的ABC ( C )A.有 一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定2、ABC中,a=1,b=, A=30°,则B等于（ B ） A60° B60°或120° C30°或150° D120°3、在ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （

5、 D ）Ab = 10，A = 45°，B = 70° Ba = 60，c = 48，B = 100°Ca = 7，b = 5，A = 80° Da = 14，b = 16，A = 45°4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ D ） Aa=1,b=2 ,c=3 Ba=1,b= ,A=30° Ca=1,b=2,A=100° Cb=c=1, B=45°5、在ABC中，a12，b13，C60°，此三角形的解的情况是（ B）A无解B一解C二解D不能确定 6、满足A=45°,c= ,a=2的ABC的

6、个数记为m,则a m的值为（ A ）A4 B2 C1 D不定7、已知ABC中，121°，则此三角形解的情况是 无解8、在ABC中，已知，则边长 。或专题：等比叠加1、ABC中，若，则等于（ A ）A .2 B . C . D. 2、在ABC中，A=60°, b=1, 面积为，则= .专题：变式应用1、在ABC中，若A:B:C=1:2:3,则 2、已知ABC中，abc12，则ABC等于(A)A123B231C1：3：2 D3：1：23、在ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC4：5：6,下列结论： 其中成立的个数是 ( C )A0个B1个C2个D3个 4、

7、在ABC中，已知边, ，求边a、b 的长。解：由，,可得 ， 变形为sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B, 又ab, 2A=2B, A+B=. ABC为直角三角形. 由a2+b2=102和，解得a=6, b=8。5、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则_。6、设锐角三角形的内角的对边分别为，（1）求的大小；（2）求的取值范围专题：求取值范围1、ABC中，已知 60°，如果ABC 两组解，则x的取值范围( C)ABCD 2、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ B ）A B CD 3、在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 .

8、 2答案 ：设由正弦定理得由锐角得，又，故，所以余弦定理专题：公式应用1、在ABC中，a3，b，c2，那么B等于（C）A30°B45°C60°D120° 2、在三角形中，则的大小为（ ）ABCD3、长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( B )A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°4、在ABC中，150°，则b 75、在ABC中，若，则（ C ）A. B. C. D. 6、在中，三边长分别为,则的值为（ D ）A38 B37 C36 D357、在ABC中，已知，则

9、角A为（C）AB CD 或8、在钝角ABC中，已知，则最大边的取值范围是 。9、设a、b、c是的三边长，对任意实数x，有（ B ）A. B. C. D.9、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为（ B ）A52B C16D410、在ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线，那么BC= 911、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinBsinA)x2+(sinAsinC)x +(sinCsinB)=0有等根，那么角B（ D ） AB>60° BB60° CB<60° DB 60°(sinA-sinC)

10、²-4（sinB-sinA)(sinC-sinB) =sin²A-2sinAsinC+sin²C-4(sinBsinC-sinAsinC-sin²B+sinAsinB) =(sinA+sinC)²-4sinB(sinA+sinC)+4sin²B=(sinA+sinC-2sinB)² 专题：判断三角形1、若，则（ A ）A. 一定是锐角三角形 B. 可能是钝角三角形C. 一定是等腰三角形 D. 可能是直角三角形2、 在ABC中，角均为锐角，且则ABC的形状是（ C ）A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D.

11、等腰三角形 3、ABC中，则ABC一定是 （ D ）A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形4、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ A ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 由增加的长度决定5、ABC中，则ABC一定是 （ D ）A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形6、在ABC中，若，则ABC是（ B ）A有一内角为30°的直角三角形B等腰直角三角形C有一内角为30°的等腰三角形D等边三角形 7、 若的内角的对边分别为，且则（ ）A为等腰三角形B为直角三

12、角形C为等腰直角三角形D为等腰三角形或直角三角形8、的内角的对边分别为，根据下列条件判断三角形形状：9、若(a+b+c)(b+ca)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ABC是（ B ） A直角三角形 B等边三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形10、在ABC中，已知,那么ABC一定是 (B)A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形 11、在ABC中，若，则ABC的形状是（D）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形 12在中，分别为角，所对边，若，则此三角形一定是（ C ）A.等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形

13、13、在ABC中，若，则ABC的形状是（ B ）A. 直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 不能确定 D. 等腰三角形 14、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（B ）ABCD 15、A为ABC的一个内角,且sinA+cosA=, 则ABC是_三角形. 钝角16、在ABC中，已知，试判断ABC的形状。解：由正弦定理得：，。所以由可得：，即：。又已知，所以，所以，即，因而。故由得：，。所以，ABC为等边三角形。17、已知的三个内角A、B、C所对的边分别为,向量，且 .（1）求角A的大小；（2）若，试求当取得最大值时的形状.9.解：（1）由 又因为 解得分 （）在， ，即, 又

14、由（）知所以，为正三角形 18、在ABC中,求分别满足下列条件的三角形形状： B=60°,b2=ac；由余弦定理 ，. 由a=c及B=60°可知ABC为等边三角形. b2tanA=a2tanB；由A=B或A+B=90°，ABC为等腰或Rt. sinC=，由正弦定理：再由余弦定理：. (a2b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(AB).由条件变形为.ABC是等腰或Rt. 专题：1、在ABC中，如果，那么等于 。2、在中，已知，则_3、在ABC中，则ABC的最大内角的度数是 1204、在ABC中，cosC是方程的一个根，求ABC周长的最小值。解： 又是方程的一

15、个根 由余弦定理可得：则： 当时，c最小且 此时 ABC周长的最小值为5、在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值解 （1）因为，又由得， （2）对于，又，或，由余弦定理得， 专题：已知面积1、已知ABC的面积为，且，则A等于 （ D ）A30°B30°或150°C60°D60°或120° 2、在中，已知角、所对的边分别是、，边，且，又的面积为，则_3、已知中，则（ ） A. B C D 或4、若ABC的周长等于20，面积是，A60°，则BC边的长是（ C ）A5 B6C7D8 5、在ABC中，

16、若SABC= (a2+b2c2),那么角C=_.6、在ABC中，BCa，ACb，a，b是方程的两个根，且。求：(1)角C的度数； (2)AB的长度。解：（1） C120° （2）由题设： 7、在中，内角A、B、C的对边长分别为、，已知，且 求b 解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,.所以又，即由正弦定理得，故 由，解得.专题：求三角形面积1、在ABC中，,A30°，则ABC面积为 （ B ）A BC或D或 2、已知ABC的三边长，则ABC的面积为 （ B ）ABCD 3、三角形的一边长为14，这条边所对的角为

17、，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为 。4、在ABC中，°，°，C70°，那么ABC的面积为（ C ）A BCD 5、 ABC中，则等于 （ C ）A B C 或 D 或6、在ABC中，, sinB=.（I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积.7、为的三内角，对边分别为、，若 （）求； （）若，求的面积解：（） 又， ， （）由余弦定理得 即：， 8、在锐角三角形中，边a、b是方程x22x+2=0的两根，角A、B满足：2sin(A+B)=0，求角C的度数，边c的长度及ABC的面积。解：由2sin(A+B)=0，得sin(A+B)=, ABC为

18、锐角三角形 A+B=120°, C=60°, 又a、b是方程x22x+2=0的两根，a+b=2,c=, =×2×= 。 a·b=2, c2=a2+b22a·bcosC=(a+b)23ab=126=6, c=, =×2×= 。9、已知的内角的对边分别为，其中，又向量m，n，m·n=1（1）若，求的值；（2）若，求的面积解：（1）mn 由正弦定理得， ， （2）， ， 又， 10、在中，. （）求的值； （）设，求的面积10.解：（）由，得-2分，-4分-6分（）由，得，-8分由正弦定理得-10分所以的面积-

19、12分11、在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值解（） 又，而，所以，所以的面积为：（）由（）知，而，所以所以定理应用1、在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（    ）A. 米 B. 米 C. 200米 D. 200米2 、海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 (  C  ) A.10 海里    B.5海里     C. 5 海里      D.5 海里3、某市在“旧城改造”中计划内一块