解圆锥曲线大题的精髓——设而不求

1、此片论文先获华南师范大学数学科学学院20142015年度课程论文比赛一等奖 后发于数学学习与研究期刊 2016年01期 所属栏目：解题技巧与方法解圆锥曲线大题的精髓设而不求侯胜哲（华南师范大学数学科学学学院，广州）摘 要： 主要针对高中成绩在中等的学生，让他们对解圆锥曲线大题有一定方向性的认识，理清解题思路.对成绩较好的学生有解题思路的补充参考价值，对老师有教学参考价值，希望老师先将复杂问题简化，先解决主要矛盾，使题有一定的规律感，最后再使之丰满，提升.这对学生的理解有好处.关键词：圆锥曲线大题 韦达定理 设而不求 Abstract This paper helps the high scho

2、ol students understanding how to solve conic curve questions who are in the middle. And it is supplementary reference value for good students. Teachers are benefited from this paper in teaching .Keywords: conic question Vieta theorem is not seeking 很多高中学生觉得求解圆锥曲线大题很困难,这让我们陷入

3、思考：求解圆锥曲线大题难在哪？它和初中的几何题有什么不同呢？很多同学可能和我有同感:对圆锥曲线题的思路大体都知道,可就是解不出.现阶段的解题方法与初中几何的解题不同，需要优化思路,可试着用“设而不求”的思想.如果真正理解其含义,就会自信的说:“不建立坐标系,我也能把答案写出了”.一、回顾韦达定理 “设而不求”的方法的依据是韦达定理,很多老师对韦达定理的理解只是形式上的理解.没有让学生明确韦达定理最主要也是最重要的用途是什么，遇到何种情况适用.首先,让我们欣赏一下韦达定理的美丽：任给一个一元二次方程,设它的两根为.则根和系数的关系表达式为： 根据观察,如果已知,我们通过应用韦达定理，可以不用知道

4、的具体值，就能求出,的值.二、深入探索(结合圆锥曲线) 设直线,圆锥曲线，直线与曲线相交于两交点.联立方程：可求出交点横坐标所满足的一元二次方程： 根据题设条件，经过计算，得到此方程的判别式为： , 经过观察思考，发现有两个字母系统： 系统：交点坐标系统：(注：知等同知). 系统：方程系数系统：. 假若我们知道和中任意四个量，就能根据韦达定理解出其它两个量. 但实际解题中，题设往往没给出那么多量,所给条件比较苛刻.一般只给出中的部分未知量,不给出中的量.那怎么办？我们便尽可能简化,即用韦达定理表示出和 ,代入等量关系式中，以解决问题. 分析至此,我们试想：什么样的等量关系式中会出现表达式，？我

5、们可以联系到弦长公式,中点公式(对称问题),重心公式，以及斜率,. 结合高考题目,大部分圆锥曲线题都不会让你直接求解,而是替换和，化简等量关系式，然后解出所求. 体会到这一点时,相信学生找到新的解题方向,明白出题老师的一贯手法,解题压力轻松了许多. 三、实战训练 (涉及：抛物线,向量,求轨迹问题)例11：已知抛物线,为坐标原点,动直线与交于、两个不同的点(1)求的取值范围；(2)求满足的点的轨迹方程解：(1)易得.（2）要求点的轨迹方程,就得求点中坐标与的关系.设和，根据，有 要想得到, 表达式,得先处理和.一见到这种形式,就让我们想到韦达定理.联立方程求解： 消去可得.又由，且，经计算，得出

6、.继而，点的轨迹方程为. 从上题解题过程看出：我们并没有解出,而是将整体解出，整体解题思路不变.是不是其它题也可这样解题呢？ (涉及：椭圆,弦长,两点间距离公式,斜率) 例22：已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1 (1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆相交于,两点(,不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点求证：直线过定点,并求出该定点的坐标 解： (1)易得椭圆的标准方程为. (2)要想证明直线过定点，求出定点,则要得到的方程.而现在中有两个参变量，我们只要一个参数,所以要找到与的关系,消去一个参数.方案一：利用已知条件，列等量关系

7、：.弦长： . (3-1)圆心：,椭圆右顶点. (3-2) 结合(3-1)、(3-2),利用两点间距离公式得到： . 我们发现：在上式中又见到,了！同样，我们又可应用韦达定理加以代换,做到简化运算. (注：)但就算是理论上此种方法可行，我们依然觉得计算量大。如果想锻炼一下计算能力，可以一试.下面本文提供更为简便的方法. 方案二：思路同样是先建立等量关系,寻找与的关系.不过这次我们利用圆的性质.因为圆心角为直角，所以,即. 整理得 (3-3) 上式中又出现表达式：,下面替换掉它们.(已验证) (3-4)而 (3-5)将(3-4)、(3-5)代入(3-3)中，化简得到：.把看作未知数(把看作未知数

8、也可)解得 当时,与直线过椭圆右顶点相矛盾. 当时,直线方程为，过定点. 综上可知,所求定点坐标为. 总结：这道题依然符合上题的解题规律,而且将设而不求的思想结合圆的知识，应用到椭圆领域.学会替换,是设而不求思想的关键.若掌握了以上方法,利用条件的转化,以利于解决问题.下面是两道分别来自广东和江西的高考题,让我们体会一下设而不求在求解高考题中的应用. 例33：(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足(如图1所示). ()求的重心(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程； ()的面积是否存在最小值？若存在,请求出最小值；若不存在,请说明理由. 图1 解：(I)设

9、,的重心为.则 (3-6) 我们只需要求出,即可. 设直线的方程为.由已知条件得到：(已验证)所以 .现在要消去一个参数.由已知条件,知，即. (3-7) . 将和代入(3-7)式，得.经整理得： (3-8)根据(3-6)，计算得.消去参数,得重心的轨迹方程为.(II) . 注意和，代入上式，得 .将(3-8)中相关表达式代入上式，得.而，所以的面积存在最小值.存在最小值时，求得面积最小值是1. 有了前面的训练，这道题的难度降低很多.值得注意的是,在处理时，将和整体代入,这也是“设而不求”的一部分. 例44：(本小题满分13分)是双曲线：上一点,分别是双曲线的左、右顶点,直线的斜率之积为.（1

10、）求双曲线的离心率；（2）过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于两点,为坐标原点,为双曲线上的一点,满足,求的值.解：(1)已知双曲线：,在双曲线上.、分别为双曲线的左右顶点,所以,直线斜率之积为.而,比较得 . (2)要求的值,先考察已知条件,看看与哪些量相关.设过双曲线右焦点且斜率为的直线：,交双曲线于,两点,则不妨设,又，所以 因点在双曲线上,即. . （3-9)（注意和的出现,利用韦达定理代换,另外注意和.）联立直线和双曲线方程消去得：.由韦达定理得： 利用直线的方程可计算得出：. 由此，利用（3-9）式，计算可得：. 这道题和例3有相似之处,处理下式时，将和整体代入,这也是“设而不求”的一部分. 总结：设而不求，实际上是利用韦达定理和整体代换,简化运算步骤,而我们基本的解题思路不变.一般我们在出