正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版)

1、正弦定理和余弦定理的应用举例考点梳理1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图)(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等；(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数【助学·微博】解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理

2、解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组

3、)得出所要求的解考点自测1(2012·江苏金陵中学)已知ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于_解析记三角形三边长为a4，a，a4，则(a4)2(a4)2a22a(a4)cos 120°，解得a10，故S×10×6×sin 120°15.答案152若海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，BAC60°，ABC75°，则B，C间的距离是_海里解析由正弦定理，知.解得BC5(海里)答案53(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行，上午1

4、0时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为_海里/时解析由正弦定理，得MN34(海里)，船的航行速度为(海里/时)答案4在ABC中，若2absin Ca2b2c2，则ABC的形状是_解析由2absin Ca2b2c2，a2b2c22abcos C相加，得a2b22absin.又a2b22ab，所以sin1，从而sin1，且ab，C时等号成立，所以ABC是等边三角形答案等边三角形5(2010·江苏卷)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若6cos C，则的值是_解析利用正、余弦定理将角化为边来

5、运算，因为6cos C，由余弦定理得6·，即a2b2c2.而·4.答案4考向一测量距离问题【例1】 如图所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC0.1 km.(1)求证：ABBD；(2)求BD.(1)证明在ACD中，DAC30°，ADC60°DAC30°，所以CDAC0.1.又BCD180°60°60°60°，故CB是CAD底边AD

6、的中垂线，所以BDBA.(2)解在ABC中，即AB(km)，因此，BD(km)故B、D的距离约为 km.方法总结 (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解(3)应用题要注意作答【训练1】 隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距千米的C，D两点，同时测得ACB75°，BCD45°，ADC30°，ADB45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离解如题图所示，在ACD中，ADC30°，ACD120°，CAD30&

7、#176;，ACCD(千米)在BDC中，CBD180°45°75°60°.由正弦定理，可得BC(千米)在ABC中，由余弦定理，可得AB2AC2BC22AC·BCcosBCA，即AB2()222·cos 75°5，AB(千米)所以两目标A，B间的距离为千米考向二测量高度问题【例2】 (2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.(1)该小组已测得一组、的值，算出了tan 1.24，tan 1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干

8、测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精度若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，最大？解(1)由AB，BD，AD及ABBDAD得解得H124.因此，算出的电视塔的高度H是124 m.(2)由题设知dAB，得tan .由ABADBD，得tan ，所以tan()，当且仅当d，即d55时，上式取等号所以当d55时，tan()最大因为0<<<，则0<<，所以当d55时，最大故所求的d是55 m.方法总结 (1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形应用正、余弦

9、定理(3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.解在BCD中，CBD，由正弦定理得，所以BC在RtABC中，ABBCtanACB.考向三运用正、余弦定理解决航海应用问题【例3】 我国海军在东海举行大规模演习在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(1)km的B处有一艘“敌舰”在A处北偏西75°的方向，距离A 2 km的C处的“大连号”驱逐舰奉命以10 km/h的速度追截“敌舰”此时，“敌舰”正以10 km/h的速度从B

10、处向北偏东30°方向逃窜，问“大连号”沿什么方向能最快追上“敌舰”？解设“大连号”用t h在D处追上“敌舰”，则有CD10t，BD10t，如图在ABC中，AB1，AC2，BAC120°，由余弦定理，得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC(1)2222·(1)·2·cos 120°6BC，且sinABC·sinBAC·.ABC45°，BC与正北方向垂直CBD90°30°120°，在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，BCD30°.即“大连

11、号”沿东偏北30°方向能最快追上“敌舰”方法总结 用解三角形知识解决实际问题的步骤：第一步：将实际问题转化为解三角形问题；第二步：将有关条件和求解的结论归结到某一个或两个三角形中第三步：用正弦定理和余弦定理解这个三角形第四步：将所得结果转化为实际问题的结果【训练3】 (2013·广州二测)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值解(1)依题意知，BAC120&#

12、176;，AB12(海里)，AC10×220(海里)，BCA，在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC1222022×12×20×cos 120°784.解得BC28(海里)所以渔船甲的速度为14海里/时(2)在ABC中，因为AB12(海里)，BAC120°，BC28(海里)，BCA，由正弦定理，得.即sin .高考经典题组训练1(四川卷改编)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连结EC、ED，则sinCED_.解析在RtEAD和RtEBC中，易知ED，EC，在DE

13、C中，由余弦定理得cosCED.sinCED.答案2(2011·新课标卷)在ABC中，B60°，AC，则AB2BC的最大值为_解析由正弦定理知，AB2sin C，BC2sin A.又AC120°，AB2BC2sin C4sin(120°C)2(sin C2sin 120°cos C2cos 120°sin C)2(sin Ccos Csin C)2(2sin Ccos C)2sin(C)，其中tan ，是第一象限角由于0°C120°，且是第一象限角，因此AB2BC有最大值2.答案23(湖北卷改编)若ABC的三边长为

14、连续三个正整数，且A>B>C,3b20acos A，则sin Asin Bsin C_.解析由A>B>C，得a>b>c.设ac2，bc1，则由3b20acos A，得3(c1)20(c2)·，即3(c1)2c10(c1)(c2)(c3)，解得c4，所以a6，b5.答案6544.(2·陕西卷)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/

15、时，该救援船达到D点需要多长时间？解由题意知AB5(3)海里，DBA90°60°30°，DAB90°45°45°，所以ADB180°(45°30°)105°，在ADB中，由正弦定理得，所以DB10(海里)，又DBCDBAABC30°(90°60°)60°，BC20(海里)，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BD·BC·cosDBC3001 2002×10×20×900，所以CD30(海里)，则需要

16、的时间t1(小时)所以救援船到达D点需要1小时（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=5,b=4,cos(A-B)=. () 求sin B的值;() 求cos C的值.分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1若渡轮以15 km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)_答案13.5 km/h2江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60

17、°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距_m.解析如图，OMAOtan 45°30 (m)，ONAOtan 30°×3010 (m)，由余弦定理得，MN 10 (m)答案103某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为_解析如图，在ABC中，ABx，BC3，AC，ABC30°，由余弦定理得()232x22×3x×cos 30°，即x23x60，解得x1，x22，经检测均合题意答案或24.如图所示，为了测量河对岸A，B两

18、点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CDa和ACD60°，BCD30°，BDC105°，ADC60°，则AB的长为_解析在ACD中，已知CDa，ACD60°，ADC60°，所以ACa.在BCD中，由正弦定理可得BCa.在ABC中，已经求得AC和BC，又因为ACB30°，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为ABa.答案a5(2010·新课标全国卷)在ABC中，D为边BC上一点，BDCD，ADB120°，AD2，若ADC的面积为3，则BAC_.解析由A作垂线AHBC于H.因为SADCDA

19、83;DC·sin 60°×2×DC·3，所以DC2(1)，又因为AHBC，ADH60°，所以DHADcos 60°1，HC2(1)DH23.又BDCD，BD1，BHBDDH.又AHAD·sin 60°，所以在RtABH中AHBH，BAH45°.又在RtAHC中tanHAC2，所以HAC15°.又BACBAHCAH60°，故所求角为60°.答案60°6.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60

20、6;，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得BDC45°，则塔AB的高是_米解析在BCD中，CD10(米)，BDC45°，BCD15°90°105°，DBC30°，BC10(米)在RtABC中，tan 60°，ABBCtan 60°10(米)答案10二、解答题(每小题15分，共30分)7(2011·常州七校联考)如图，在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N、M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，(1)按下列要求写出函数的关系式：设PNx，将y表示成x的函数关系式；设POB，将y表示成的函数关系式；(2)请你选