圆锥曲线中的范围问题

1、解析几何中的参数取值范围问题例1:选题意图：利用三角形中的公理构建不等式22得 y2 =.因为y2 >0，但注意b2 + 2c2丸,所以 2c2 - b2> 0，即即 3c2 a2> 0 1 百即e2 > 3 故v e v 1 扩当b2 - 2c2 = 0时，y = 0，此时kQF2不存在，此时F2为中点，c-c = 2c，得 e = J综上得，彳wev 1 解法二：设准线与 x轴的交点为Q，连结PF2,PF1的中垂线过点F2,|FiF2|=|PF2|,可得 |PF2|=2c ,且 |PF2|>|QF2|,例2 :选题意图：利用椭圆自身范围构建不等式2 2设Fi,

2、 F2分别是椭圆 笃爲 1a b 0的左、右焦点，P是椭圆上的点，且 P到右a b准线的距离为d，若 PF22d PFi ，求椭圆离心率b、r1点C(0,kc),再由已知椭圆：2 2:2 ：2 1a b 0的两个焦点分别为已、斜率为k的直线l过左焦点例3 :选题意图：利用函数关系构建不等式Fi且与椭圆的交点为 A、B，与y轴交点为C，若B为线段CFi的中点，若|k椭圆离心率e的取值范围.解：,焦点 F1(-c,0). 直线 L: y=k(x+c).中点公式得 B(-c/2,kc/2).又因点B在椭圆上，.c2/(4a 2)+k 2 c2/(4b 2)=1.整理可得：k2=(a 2-c 2)(4

3、a 2-c 2)/(a 2c2) >7/2.=>(a2-2c 2)(8a 2-c2)>0.=>a2 丝c2.=>0 v e <(V2)/2.2 2例4、已知椭圆 冷笃 1a b 0的左右焦点分别为 Fi c,0,F2C,0，若椭圆上存a b在点P使sinaPF”，求该椭圆的离心率的取值范围sin PF2F1要求离心率的取值范围，要求我们能找到一个关于离心率或口二恥的不等关系，我们从唯一ac1跌1_隅1的已知等式泗"杞 曲"空入手，在申V：中有|血丄昭£ 血三巧PF-. P%因此有戊心，1阳丹J是椭圆上的点到焦点的距离，于是想到焦

4、半径公式，设尸厲则旳5抵严2-咲，从而有卫ac a工=根据题意,a c aa << £7因此不等关系就是血十工 0，即1十哲，解得O“忑7，又椭圆中，故忑-luxl2 2x V例5、椭圆一21 a b 0与直线x v 1交于P, Q两点，且OP 0Q ,其中0为a b坐标原点.1 1（1）求r的值；a b（2 ）若椭圆的离心率e满足3二，求椭圆长轴的取值范围2解析：（i）设巩5次西小）31宀奔+厂T，故。 12宀于切亠。由韦达定理得1+ X2 = XlX2 =_L_12b2opnQ =巒2 + ”儿2xx?-（尢十 x2h亍丿=码卷 + （1 乂） （1 一尤？）2）+1

5、F+1=2=>戻e2 =1-又° 12<e<722；12分例6、设A、xB是椭圆一42J 1上的不同两点，点 D 4,0，且满足DA33,丄，求直线AB的斜率的取值范围8 2（1 ）由已知得&三羽工八，所以椭圆的方程为山彳4分（2-,J三点共线，而 _，且直线上匸的斜率一定存在，所以设"+於 1AB的方程为円，与椭圆的方程小3联立得+36jt* =0由 A = 144(1-4) >0 得 K 4_ 24_光存设心小）* 片），歸+力二齐研2二齐下又由鬲=価得.（咼-电肌）二臥乞+ 4:. ”二XV.将式代入式得163+4_224k3 + 4t

6、:3就消去得:3十4亡 24，解得例7、已知等腰形 ABCD中，|ab| 2CD，点E在有向量 AC上，且AE EC双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当-时，求双曲线的离心率的取值范围34如图建系：设双曲线方程为贝U B(c,O), C(-,A(-c,O)A-22(1，代入双曲线方程得|4( + X)X 丄卫例8、已知圆C : x 3 2 y2 16,点A. 3,0 , Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程； 过点P 1,0的直线I交轨迹E于两个不同的点 B、D , BOD O是坐标原点 的面积3 4S 3,4 若弦BD的中点为R，求直线

7、OR斜率的取值范围5 5解：（ 1 小题意'"- -|所以轨迹E是以A , C为焦点，长轴长为 4的椭圆，（ 2分）即轨迹E的方程为(4分)(2)解：记 A (X1, y1), B (X2, y2),由题意，直线AB的斜率不可能为0 ,故可设 AB : x=my+1 ,由以，消x 得:所以=42(4 + /rr->2(4+«12)2m十y 1 yi2(44-m2)4+pj-(4+m 2) y2+2my-3=0(7 分)p = -iomij- -2'aw+4cb = 4 韶猖眾曰CIe 1urriW"（ 9 分）直堀由忙+y小，解得m2=1，即

8、m= ±1 .（10分）即 x+y-1=0或 x_y_1=0故直线AB的方程为x= ±y+1 ,2例10、已知椭圆y2 1的左顶点和上顶点分别为A B，设C、D是椭圆上的两个4不同点，CD/AB ,直线CD与x轴、y轴分别交于M、N两点，且MC CN,MD DN ,求的取值范围取值范围问题的求解策略：1、总方针：充分利用已知条件构建不等式2、具体方法： 利用三角形中的公理构建不等式 利用圆锥曲线自身范围构建不等式 利用函数关系构建不等式 利用 构建不等式PF1F2的周长为4 2.2 .2. (2012湖北七市联考)已知椭圆2X2ab21 a b 0长轴上有一顶点到两个焦点之

9、解析几何中的定值问题21.已知椭圆C :爲a2爲1(a b 0)的焦点为F1, F2, P是椭圆上任意一点，若以坐标原b点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，且(I )求椭圆C的方程；(n )设直线I的方程是圆O： x2 y2 4上动点P(Xo,yo)(Xo y 0)处的切线，I与椭圆C 3交于不同的两点 Q , R，证明： QOR的大小为定值间的距离分别为：3 2. 2,3 2、2.(1)求椭圆的方程；(2 )如果直线x t t R与椭圆相交于 A,B，若C 3,0 , D 3,0，证明直线CA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上;(3 )过点Q 1,0作直线1(与x轴不垂直)与

10、椭圆交于 M,N两点，与y轴交于点R,若RM MQ, RN NQ，求证：为定值.3.椭圆的中心为原点0，离心率ex 2 2.(I)求该椭圆的标准方程ULWUUUU(n)设动点P满足OP OM 2ON，其中M , N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之1积为2 .问：是否存在两个定点F° F2，使得IPF|PF2为定值若存在，求Fi、F2的坐标；若不存在，说明理由24.在平面直角坐标系 xoy中，过定点C 0, p作直线与抛物线x 2py p 0相交于A, B两点.是否存在垂直于 y轴的定直线I，使得I被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出I的方程；若不存在，说明理由5.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，长轴长为2、3，离心率为 ，经过其3左焦点Fi的直线I交椭圆C于P、Q两点。（1）求椭圆C的方徎；（2）在x轴上是否存ULUV UUUV在一点M，使得MP MQ恒为常数？若存在，求出 M点的坐标和这个常数；若不存在， 说明理由。