圆的知识综合分析

1、圆的知识综合分析圆的基本性质(强化)与圆的位置关系1圆的定义：(1) 线段0A绕着它的一个端点 0旋转一周，另一个端点 A所形成的封闭曲线，叫做圆. 圆是到定点的距离等于定长的点的集合.2. 判定一个点 P是否在O 0上. 设OO的半径为R, 0P= d，则有d>r壬点P在O 0夕卜；d=巴点P在O 0上；d<r二点P在O 0内.3. 与圆有关的角(1) 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质： 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等

2、圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 90。的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.弦切角(新知识)：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角. 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角.弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半.4. 圆的性质：(1) 旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对 称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等， 那么它所对应的其他各组分

3、别相等.(2) 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理及推论：(1) 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.(2) 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.(3) 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.(4) 平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.(5) 平行弦夹的弧相等.5. 三角形的内心、外心、重心、垂心(1) 三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I ”表示.(2) 三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三

4、角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用0表示.(3) 三角形的重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中 点距离的2倍，通常用G表示.(4) 三角形的垂心：是三角形三边高线的交点.6. 切线的判定、性质：（新知识）（1）切线的判定： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 到圆心的距离 d等于圆的半径的直线是圆的切线.切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径. 经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. 经过切点作切线的垂线经过圆心. 切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间

5、的线段的长度叫做切线长.切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平 分两条切线的夹角.7圆内接四边形和外切四边形（1）四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. 各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.&直线和圆的位置关系：（ 新知识）9. 圆和圆的位置关系：（ 新知识）10. 两圆的性质：（1）两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.（2）相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.11. 圆中有关计算：1 nzRA1 '圆的面积公式：£ =周长C = 2

6、nR.圆心角为n°半径为R的弧长 180 .-皿"-R圆心角为n°半径为R,弧长为I的扇形的面积 36D2.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R,母线长为I的圆柱的体积为U.：.,侧面积为2n Rl 全面积为dll I .-.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R,母线长为I，高为h的圆锥的侧面积为 n RI，全面积为 雨+圧'，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有卜卩12. 圆中常见的辅助线1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等.2）作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系

7、进行证明.3）作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算.4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角.5）作弦、直径等构造直径所对的圆周角一一直角.6）遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角.7）遇到切线，作过切点的半径，构造直角.8）欲证直线为圆的切线时，分两种情况:（1）若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；（2）不知道直线和圆有公共点时， 常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径.9）遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点.10）遇到三角形的内心，常作：（1）内心到三边的垂线；（2）连结内心和三角形的顶点.11）遇相交两圆，常作：（1）公共弦

8、；（2）连心线.12）遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线.13）求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边.13、圆中较特殊的辅助线1）过圆外一点或圆上一点作圆的切线.2）将割线、相交弦补充完整.3）作辅助圆.经典例题（备选）例1如图23-2，已知AB为OO直径，C为出上一点，CD±AB于D,Z OCD的平分线 CP交O0于P,试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？例2已知2 -'1-1 1：'-:相交于A、B两点，一 I的半径是10,二八7的半径是17,公共弦AB= 16,求两圆的圆心距.例3、如图23-13 , AB是O O的直径，PB切O O于点B, PA交O O于点C, PF分别交AB BC于E、D,交O O于F、G,且BE、BD恰好是关于x的方程二二一 -匸丨（其中 m为实数）的两根.（1）求证：BE= BD悄 23-134、如图，AB是。O的直径，PB与。O相切与点B,弦AC/ OP, PC交BA的延长线于点D,求证：PD是。O的切线,CDAOB5、如图，半圆的半径为2cm,点C D三等分半圆，求阴影部分面积6 如图，PA、PB是。O的切线，点 A、B为切点，AC是。O的直径，/ BAO20°，求/ P的度数.7:在O 0中，AB为直径，CD为弦，AB丄CD, P为圆周上与C、D不重合