分析成果流体力学chap

1、第10章边界层理论本章内容： 1.边界层基本概念2.边界层基本微分方程3.边界层动量方程4.边界层排挤厚度和动量损失厚度5.平板层流边界层6.平板湍流边界层7.平板混合边界层8. 船体摩擦阻力9. 曲面边界层分离现象形状阻力10. 绕流物体的阻力11.减少粘性阻力的N-S方程理论上完备但求解。解决(求解)。工程实际大多局限于小雷诺数高Re时(量级在1010的范围),粘性力与惯性力相比是很小的。1904年，L.Prandtl指出，对于粘性很小的流体(如空气、水），粘性对的影响仅限于贴近固体表面的一个薄层内，这一薄层以外，粘性可以忽略。§10-1边界层的概念在固体壁面附近，显著地受到粘性

2、影响的这一薄层。从边界层厚度很小这个前提出发，Prandtl率先建立了边界层内粘性流体运动的简化方程，开创 了近代流体力学的一个分支边界层理论。均匀来流绕一薄平板，微型毕托管测得沿平板垂直方向的速度分布如下图：边界层： 均 匀 来 流 速 度 这一薄层内速度¶vx平板上u=0梯度很大¶y边界层内粘性力不可忽略与来流速度相同的量级,U99边界层外边界U99外边界上流速达到U99的边界层名义厚度点到物面的法向距离。有多厚？根据速度分布的特点，可将流场分为两个区域：这一薄层内速度梯度 ¶vx 很大。¶y= 1 (¶vy- ¶vx ) = -

3、 1 ¶vxw边界层内的是有旋z2¶x¶y2 ¶y边界层外部粘性影响很小，可以忽略不计，可认为边界层外部的是理想流体无旋势流。二、边界层外部区域一、边界层重要推论： （1）边界层内同一截面上相等：即：P1=P2=P P P1 P2 x （2）势流的近似计算中，可略去边界层的厚度，解出沿物体表面的流速和是边界层边界上的速度和算边界层。分布，并认为就分布，据此来计（3）根据边界层厚度极薄的基本假设，可将N-S方程化简，获得边界层方程。边界层内的状态： 层流边界层，湍流边界层均粘性底层（层流底层），其厚度与Re有关。层流边界层转变为湍流边界层的判别准则： Re

4、 = Ux雷诺数 为离平板前缘点的距离n对于平板，层流转变为湍流的临界雷诺数为：= Uxkp= (Ux )= 5´105Rennkpkp层流边界层转为湍流边界层转捩点的位置坐标nU= 5´105x（10-1）kp粘性不可压缩流体,不计质量力，定常流过小曲率物体，物体表面可近似当作平面。取物面法线为轴。在大Re数情况下的边界有下面两个主要性质：层1)边界层厚度较物体特征长度小得多，即d ¢ = d << 1L2)边界层内粘性力和惯性力具有相同的数量级§10-2 边界层方程以此作为基本假定，将N-S方程（二维）化简：¶v¶2v

5、2+xv)r1rx¶xy¶y¶x¶p¶x2¶y2¶v¶v¶2v¶2v+n (yyyy+ v= -+v)xy¶x¶y¶y¶x2¶y2+ ¶vy¶vx= 0连续性方程¶x¶y引进特征长度、特征速度，将方程中的各物理量无量纲化：= vyv¢ = vx ,x ,Ly ,LprU 2x¢ =y¢ =v¢p¢ =,xyUU将其代入N-S方程，整理后得：¶2v&

6、#162;¶v2+v x )(a)¶x¢¶y¢¶x¢¶x¢21¶y¢2xyRe1d '1d '2d 'd '21×1×()¶v¢¶v¢¶2v¢¶2v¢¶p¢¶y¢1v¢+ v¢yy= -+y+y()(b)¶x¢¶y¢1¶x¢2¶

7、y¢2xyRe1 )1×d 'd 'd '2 (d '×d '+ ¶v¢y¶v¢x¶x¢= 0(c)¶y¢11= d 1d'所以1/Re 因为,2LRex因为0xL，所以x=1L yLdL,0y= 因为y=，所以yV因为0v U，所以v =1XxxU¶v¢y¶y¢¶v¢x¶x¢¶v¢x¶x¢因为, 1,¶v&#

8、162; d ¢v¢y所以 1,¶y¢¶v¶x¢y¶2v¢21d ¢1d ¢2,x¶y¢2¶x¢2¶y¢¶v¢¶2v¢¶v¢¶2v¢1d ¢ d ¢, d ¢,yyyy 1,¶x¢¶x¢2¶y¢¶y¢2化简后为¶v2vx¶

9、;x= 0y¶yr¶x¶y 2¶p¶y+ ¶vy¶vx= 0¶x¶y边界条件：，VV；，V（）。上式为边界层基本微分方程（Prandtl方程）。讨论： Prandtl边界层方程中第二个方程：说明了什么？¶p= 0¶yp0 p1 p1= p2 = p3 = p0p2p3Prandtl边界层方程的求解 Blasius解顺流放置无限长平板上的层流边界层。均匀来流平行于平板，轴平行于板面，原点在平板前缘，平板极薄且无曲度，边界层外缘处速度为来流速度。沿边界层外缘上各点上相同，即dp = 0dx

10、上述边界层方程简化为：¶v2vxy¶x¶y¶y 2+ ¶vy¶vx= 0¶x¶y边界条件：，V，Vy；，V。严格上，速度从零增至须经过无限远距离，近似认为，VU。Blasius相似解:vx' (h) = df/ dh=fUUn xh = y¶v2vxy¶x¶y= 0¶y 2+ ¶vy¶vx¶x¶y将上式代入水平方向边界层方程，有+= 0''2 ffff满足的是三阶非线性常微分方程边界条件为：f， ff1，非线性的

11、微分方程，得不到解。由于f和均为无量纲量，且在方程及边界条件中不显含及.解是通用的。无表。解，直接进行数值，修斯解列例10.1本例说明数值列表的用法。欲求边界层内点（x,y）的速度Vx（x,y）(1)Uh = y中得出可将及的值代入值，由n x' (h)f此值从上表中找出相应的h)v (x, y) = U × f ('则xU=25 km/h，=0.15cm2/s,设x=3m,=5mm，求：Vx？解：U=25×1000/3600=6.95m/s,=0.0015m2/s,x=3m,y=0.005m,代入中得：6.95h = 5´10-3 ´=

12、1.9650.15´10-4 ´3从表12-1中，用内插法，查得vxf ' (h) = 0.619=U所以Vx0.6194.3/（2）按上例条件，求处的边界层厚度解:按定义边界层外边界上速度Vx=99vx= 99%时，查表，找出5,UUn xh = y由可得n x =0.15´10-4 ´ 3 =d = 50.127m = 1.27cm5U6.95板面上的切应力t0由内摩擦定律= m ¶vxUn xt= mUf '' (0)y=00¶y查表，f（0）=0.332,rU 2t 0= 0.332于是:Rex上式可看

13、出平板层流边界层局部摩擦切应力与坐标的平方根成反比的规律随着的增加而减小。现计算整个平板上总摩擦阻力。设板长为，板宽为，则平板单面总摩擦阻力是：mrU 3r LU 2LLòòt bdx = bRf=dx = 0.6640.332b0xRe00L总摩擦阻力系数由下式确定：Rf= 1.328=C（10-21)rU 2bLf12ReL式中ReL为按平板板长计算的雷诺数。算出摩擦阻力系数后，可确定平板层流边界层情况下的摩擦阻力为：R= C × 1 rU 2bL（10-22)ff2虽然边界层基本微分方程比N-S方程要简单得多，但求解难度更大。仍比较复杂，如果是任意边界，因此

14、,发展求解边界层大的理论与实际意义。的近似便具有很冯边界层动量的方程方程，就是一种近似求解。应用动量定理来研究边界层内沿方向的动量变化和外力之间的时间内。设定常体边界ABCD§10-3边界层动量方程 时间内经过面流入的质量和带入的动量分别为：ddò0ò0ruru dy=2mdyKABxABx时间内流出面的质量和动量分别为：¶(rvx )d= ò0 rvx +mCDdxdy¶x¶dd= ò0rv xdy + (¶x ò0rv xdy)dx22KCD对不可压缩流体必然有质量：= ( ¶d&

15、#182;x ò0rv dy)dx- mmCDABx从边界层外边界面流入，并带入动量：= ( ¶d¶x ò0rvKdydx)UACx时间内体内沿方向动量变化：- KAB- KAC =KCD作用在该体上沿方向外力：= pdPABAB面:= ( p + ¶p dx)(d + dd )PCD面:CD¶x= ( p + 1 ¶p dx)ddPAC面:AC2 ¶xA,C两点的平均面上作用在流体上的总切应力为：FBD0dx该体上沿方向诸外力之和为：pd + ( p + 12» -d ¶p dx -tdx0&

16、#182;x式中略去了小量可得到定常条件下动量方程式：¶¶¶p -tdd20¶在边界层内：=(x)，= (x)方程两个都只是的函数，则有dddy = -d dp -tdrv2drvòòdy -U（10-23）xx0dxdxdx00这就是边界层动量边界层都能适用。方程，对层流和湍流式中未知数有，0和三个。求解方程要补充式：(1)边界层内的速度分布VV(y）一般由经验确定，与实际符合越好，计算结果就越精确,这是求解边界层的关键。（2）切应力与边界层厚度的即00（）动量损失厚度q，排挤厚度d *两个厚度:式求导：dpdU= -rUdxdxd

17、p dx d dxdUdxdUdxddòòd= -rdy = -rd所以UUdy00ddUddòrvUdy0将这些结果代入（10-23）式得：dddUdy = r dUd Udy -td rv2ddòò0dxdx00或ddUdvdòr)dy = t0dx可写成vddò0ò0r)dy = tU 20dxUUdxU即dv(1- vx )dy + rU dU(1- vx )dy = tdddx ò0 UòrU 20UdxUUdxU00两边除以，稍加整理后得t 0rU 2dv(1- vx )dy +dv

18、(1-x )dy =ddx ò0 UòUUdxUUU00（10-24）动量损失厚度q排挤厚度d *动量方程为dq +dxt0rU 21dU (2q + d * ) =（10-25）Udx§10-4边界层排挤厚度和动量损失厚度一、 排挤厚度 d *的物理意义中理想处的流线应平行于平板宽度、厚度为d因边界层的，通过的截面上的质量流量亏损为：òr(U - v)dyx0dò0r(U - v )dy为补偿这一流量亏损，使得流线向外排挤一个距离 d *以获得补偿流量x连续方程：dò0rUd *r(U - v=)dyx(1 - vx )dydd&#

19、242;*=U0代表理想流体的流线在边界层外边界上由于粘性的作用向外偏移的距离二、动量损失厚度 的物理意义、两截面的质量流量保持连续，但是粘性的作用，通过这一动量损失为：22ddòòrU dy - (rU d+2*rvxdy)K - K=III00vx22ddddòòòrU dy -rUrv=(1-)dy +2)dyU000可用理想流体的速度流过某层厚度为的截面dò0rqU 2rv=(U - v)dyxx1rU 2vx(1- vx )dydd或ò0ò0q =rv(U - v )dy =（10-26）xxUUvd ,

20、¥òd *=(1-(10 - 27)x)dyU0v(1- vx )dyd ,¥òq =(10 - 28)xUU0边界层的三个厚度：, 排挤厚度 d *名义厚度,动量损失厚度三个厚度具有相同量阶.§10-5平板层流边界层当平板长度Xkp5×10Vx/，则整个平板边界层状态为层流。平板很薄，不影响边界层外部的,则边dU= 0界层外边界上速度处处为，故dx则边界层动量方程简化为：t orU 2dq dx=（10-29）不可压缩流体平板边界层动量湍流边界层均适用。方程，层流、假设平板层流边界层内速度分布为：uxN= å( y )na

21、(10-30)dux=0nUn=0y=满足边界条件时和时ux=U，并且取N=31 y32 d 3u3 y2 d=- x U代入动量损失厚度得:33 y - 1 y3- 3 y - 1 yux- uxddò0ò0q =(1U)dyU(2 d2 d 3 )(12 d 3 )dy2 d39qd=（10-31）280而排挤厚度得：u38dòd *d=(1-)dy =x（10-32）U0= m ¶vx= 3m Ut（10-33）y=002d¶y将（10-31）和（10-33）代入（10-29）：39 dd3m2rUd=280 dxn xd= 4.64所以

22、（10-34）U与的平方根成正比板面上局部摩擦切应力为:t= 0.323mU= 0.323rU 2Re （10-35）/Un x0x与的平方根成反比，随增加而减小。因增加，则d增加，所以d速度梯度减小，从而减小。平板总阻力：U bdx = 0.646rU 2bL /LLòòt bdx =rR=0.323URen xf0x00式中b为平板宽度，L为平板长度。平板的摩擦阻力系数为:Rf= 1.292=C（10-36）1 rU 2bLfReL2平板末端雷诺数随Re得增加而减小= 1.328与Blasius精确解接近ReL >> x= 5´105nU当时，层流

23、段比湍流段kp小的多，可假设整个边界层都是湍流，称为湍流边界层。求湍流边界层，需补充两个条件：1）湍流边界层内速度分布：它取决于Re,现采用1/n次方定律：ux= ( y )1/ n（10-37)dU§10-6平板湍流边界层由实验结果得出，对于不同Re，取值如下：Re102×10Re=3×10×108 Re=2×1081010（10-38)2）壁面摩擦切应力：根据实验可用下式来表示：rUUdn2t= z- m()02与Re有常数，由实验来测定。Re=1062×107，=0.045，=0.039，m=1/4=2/9Re=3×1

24、073×108,（10-40)Re=3×1081010，=0.032=1/5假设前端层流部分可以略去不计，而R2×107，则湍流边界层有：uxyd（10-40）= (1/ 7)Urn 1/ 4U 7/ 4t= 0.0225（10-41）d 1/ 40从而动量损失厚度：uxu y yddòòq=(1-=1- ()1/ n1/ nx)dy()dyddUU00n7qd=（10-42）(1+ n)(2 + n)72u y=1d = 1 dddòò排挤厚度d *=(1-)dy =1- ()dy1/ nxd(1+ n)U800将和代入平

25、板边界层动量方程，即：dq dx7t 0rU 2=d 1 / 4 dd = 0.0225(n )1/ 4 dx得：72U()154d= 0.37nUx5所以（10-44）比较（10-34）和（10-44在层流中1/2在湍流中4/5在湍流中的扩展大得多()15（10-45）t= 0.0289r2nUxU0比较层流与湍流两式：层流中湍流中x1/2x1/5，平板上的摩擦阻力：Lnt bdx =0.0289rU 2 ()1/5bdx = 0.036bLrU 2 ( nLòò0R=)1/ 5f0UxUL0= 0.072阻力系数：Cf1Re5如将系数0.072为0.074，则计算结果将

26、和实测数据符合得更好。适用范围为Re=5×105 107当Re107时,常用廷(H.schlichting)(L.Prandtl)和施0.455=C（10-48)f(lg Re)2.58适用范围为Re=107109因此湍流中流体的混合能力使得边界层的影响扩展得较快的缘故。边界层内两种流态的比较§10-7平板混合边界层当时，前端为层流边界层，L > x= 5´105nUkp后部为湍流边界层，两者都不占绝对优势,称为混和边界层。两者间的过渡区范围很窄为计算混合边界层，引入两个假设：（1）层流转变为湍流是在xkp处瞬时发生，没有过渡区；(2)混合边界层湍流区可看作

27、自点开始的湍流 边界层的一部分。整个平板的摩擦阻力由两部分所组成，即段：层流边界层的摩擦阻力段：湍流边界层的摩擦阻力= RfAB+ R'''fOA= (RfOB''- RfOA ) + R'''fOARf= RfOB''- (RfOA''- RfOA )'Rf所以两撇：湍流边界层，一撇：为层流边界层。将对应的摩擦阻力系数代入上式，并化简得：1212) × 1 rU 2 xrr¢¢- C¢C×U L = C×U L - (C22ffO

28、BfOAfOAkp2) xkp- (C ¢= C ¢- C¢CffOBfOAfOAL将式（10-47）和（10-39）代入上式，得平板混合边界层的摩擦阻力系数：= 0.074 - ( 0.074 - 1.328 ) Rekp(10 - 49)Cf1/5L1/5kp1/2kpReReReReL= 0.074 -AC或写成：fReReLL式中A=0.074 Rekp-1.328Re4/ 51/ 2若用对数公式代替指数公式，则有相应的混合边界层公式：0.455AC=-f(lg Re)2.58Re例10.2一平板长5m，水流以速度0.19ms流过平板，试分别求离前端1m及

29、4.5m处边界层最大厚度，并求在该两点垂直距板面5mm处的速度。解:先判别状态。算出临界长度为：´ n= 5´105= 3mxkpU在1m处为层流，4.5m处为湍流。在1m处层流边界层公式得出:n x =1.145´10-6 ´1 =d = 4.644.641.13cm19´10-2U再由（10-）式u = U ( 3 y - 1x2 d2 d在4.5处需用有关湍流边界层的公式，由（10-）式n )15Ud = 0.374xyu= U (d )17= 19x例10.3一平板宽为2m，长5m，在空气中运动的速度为2.42m/s。试分别求沿宽度方向

30、及沿长度方向运动时的摩擦阻力。解:先判别边界层的状态´ nU= 5´105= 3mxkp即沿宽度方向运动时为层流边界层，沿长度方沿宽度方向运动时的摩擦阻力：C= 1.328 = 2.298´10-3Re = Ux = 3.34´105fnReR= C× 1 rU 2S = 0.165Nff2沿平板长度方向：Re = Ux = 8.35´105C= 0.074 = 2.81´10-3nfRe1/ 5R= C × 1 rU 2S = 0.202Nff2§10-8船体摩擦阻力的计算船舶阻力： 摩擦阻力，形状阻力

31、（涡流阻力），兴波阻力。为计算方便，设船体和“相当平板”的摩擦阻力相同，再用经验系数来。相当平板:长度和船长相同，面积和船体浸湿面积 相同的平板。相当平板的摩擦阻力系数:船体K平板为系数。对于舰船，值与船体的长宽比（L/B）有关。× 1 rU 2WR= kC阻力ff 平板2§10-9边界层分离与形状阻力实实，在同种流体中相同来流速度流过相同迎流截面物体受到的阻力并不相同。容易误认为B物体的阻力大,但事实正好相反。为什么？A粘性流体流过物体时，物体受到的阻力由两部分组成：摩擦阻力和形状阻力。迎流截面相等VB形状阻力的产生与边界层分离现象有密切一、曲面边界层分离现象 1.沿曲面

32、变化对边界层内的影响¶p相同，即= 0同一法线上边界层内各点的¶y物面法线翼面上最凸点x外部速，递减从到：梯度小于，称为顺压梯度边界层内部流体减压为动能，顺压梯度对。部分起助推作用。能转变假定点： 势流速度为Umax，降到pmin翼面上最凸点x升压点向下游：¶p递增即，称为逆压梯度¶x部分动能转变为用继续消耗动能。能，粘性的阻滞作流体受到逆压梯度与粘滞阻力的双重阻碍，使动能损耗，流速不断减小。.边界层内速度剖面形状dp = 0(1)点，最小，dxy=0，u=0；y=物面上:，uU(x)；0y，uUmaxU(x)边界层外边界yCBA¶ux

33、2;yx> 0y=0Umax边界层外边界U(x)yFBCDEAx(2)点近壁处的流体动能消耗殆尽，¶ux有u= 0y =0¶y= m ¶ux速度曲线在点与轴相切，t= 0y=00¶y(3)点:逆压梯度的反推作用形成倒流，而靠近边界层外边界的流体仍流向下游。3.曲面边界层分离Umax边界层外边界U(x)yFBCDEAxdp = 0dp <0点:点上游:dxdxdp >0dx¶ux下游点:D点:=0y=0¶y¶ux¶ux> 0< 0点上游:点下游:y=0y=0¶y¶yU

34、max边界层外边界U(x)yFBCDEAx分离点：u=0点的连线，速度间断面。边界层分离：间断面的不引起波动，发展并破裂成明显的大旋涡，象楔子一样将边界层和物体表面。边界层分离的两个条件：1.壁面通过粘性对于的阻粘作用2.逆压梯度的二者。但也必须指出，这两个条件仅是产生分离的必要条件而非充分条件。绕物体的不一定都发生分离绕流线型体的不一定都不发生分离流线型体：小攻角下无分离，大攻角下会分离§10-10绕物体的阻力粘性流体绕流物体的合力分为：阻力 ：与来流方向平行升力 ：垂直于来流方向绕流物体的粘性阻力分为：摩擦阻力：物面上摩擦切应力在来流方向投影的总和，是粘性的直接作用结果。形状阻力

35、（压差阻力）：物面上在来流方 向投影的总和，粘性间接作用的结果。绕流物体后部逆压梯度区内边界层分离产生旋涡，下降，小于理想流体绕流时的，物体前后形成压差便是压差阻力。物体的阻力目前多用实验测得。一、钝体的压差阻力流线型体绕流物体的形状可分为：钝体 圆柱体的阻力系数阻力的：Re增大导致湍流边界层的转捩点移到分离点之前。因湍流边界层中流体动能较大，使分离点后移，尾涡区变窄，从而使阻力系数显著降低。层流边界层湍流边界层理想流体绕流流线型物体时，尾端速度为零，压力达极大值，和前面的最大阻力为零。相互平衡，因此，产生压差阻力。 平衡不了前部的最大= pB边界层外边界pB¢BUVB¢ ¹ 0pB¢ ¹ 极大值流