中考数学经典压轴题专题

1、专题1:抛物线中的等腰三角形基本题型：已知AB ,抛物线y ax2 bx c a 。，点P在抛物线上（或坐标 轴上，或抛物线的对称轴上），若 ABP为等腰三角形，求点P坐标。分两大类进行讨论：（1） AB为底时（即PA PB）:点P在AB的垂直平分线上。利用中点公式求出AB的中点M ;利用两点的斜率公式求出kAB,因为两直线垂直斜率乘积为 1,进而 求出AB的垂直平分线的斜率k ；利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式；将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称 轴）的解析式联立即可求出点 P坐标。（2） AB为腰时，分两类讨论：以 A为顶角时（即AP AB）：点P在

2、以A为圆心以AB为半径的圆上。以B为顶角时（即BP BA）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆上。利用圆的一般方程列出6人（或68）的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物 线的对称轴）的解析式联立即可求出点 P坐标。专题2:抛物线中的直角三角形基本题型：已知AB ,抛物线y ax2 bx c a 。，点P在抛物线上（或坐标轴 上，或抛物线的对称轴上），若 ABP为直角三角形，求点P坐标。分两大类进行讨论：（1） AB为斜边时（即PA PB）:点P在以AB为直径的圆周上。利用中点公式求出AB的中点M ;利用圆的一般方程列出e M的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点 P坐

3、标。（2） AB为直角边时，分两类讨论：以A为直角时（即AP AB）：以B为直角时（即BP BA）:利用两点的斜率公式求出kAB ,因为两直线垂直斜率乘积为 1,进而求出PA（或PB）的斜率k;进而求出PA （或PB）的解析式；将PA （或PB）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析 式联立即可求出点P坐标。所需知识点：一、两点之间距离公式：已知两点 P x1, y1 ,Q x2 ,y2 ,则由勾股定理可得：PQ| x xi X2 2yi y2 2。二、圆的方程：点P x,y在。M上，OM中的圆心M为a,b ,半径为R。则 PM | x x a 2 y b 2 R,得到方程: x

4、 a 2 y b 2 R2 0.P在的图象上，即为。M的方程。3、 中点公式：4、 已知两点P xi,yi ,Q x2,y2 ,则线段PQ的中点M为色件,色式。5、 任意两点的斜率公式：已知两点P xi* ,Q X2,y2 ,则直线PQ的斜率：kpQ 、2 。Xi X2中考压轴题专题3:抛物线中的四边形基本题型：一、已知AB ,抛物线y ax2 bx c a 。，点P在抛物线上（或 坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ为平行四边形, 求点P坐标。分两大类进行讨论：（1） AB为边时（2） AB为对角线时二、已知AB ,抛物线y ax2 bx c a 。，点P在抛物线上（或坐标轴上,

5、 或抛物线的对称轴上），若四边形 ABPQ为距形，求点P坐标。在四边形ABPQ为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边互相垂直（2）对角线相等三、已知AB ,抛物线y ax2 bx c a 。，点P在抛物线上（或坐标轴上, 或抛物线的对称轴上），若四边形 ABPQ为菱形，求点P坐标。在四边形ABPQ为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边相等（2）对角线互相垂直四、已知AB ,抛物线y ax2 bx c a 。，点P在抛物线上（或坐标轴上, 或抛物线的对称轴上），若四边形 ABPQ为正方形，求点P坐标。在四边形ABPQ为矩形的基础上，运用以下两种方法进行讨论

6、：（1）邻边相等（2）对角线互相垂直在四边形ABPQ为菱形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：(1)邻边互相垂直(2)对角线相等五、已知AB ,抛物线y ax2 bx c a 。，点P在抛物线上(或坐标轴上，或抛物线的对称轴上)，若四边形 ABPQ为梯形，求点P坐标。分三大类进行讨论：(1) AB为底时(2) AB为腰时(3) AB为对角线时典型例题：典型例题：例1 (08深圳中考题)、如图9,在平面直角坐标系中，二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0),OB= OC , tan Z ACO 1 3

7、(1)求这个二次函数的表达式.(2)经过C D两点的直线，与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样 的点F,使以点A C E、F为顶点的四边形为平行四边形若存在，请 求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.(3)若平彳T于x轴的直线与该抛物线交于 M N两点，且以MN为直径的圆与 x轴相切，求该圆半径的长度.(4)如图10,若点G (2, y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛 物线上一动点，当点P运动到什么位置时， APG勺面积最大求出此时 P点的坐标和 APG的最大面积.例2 (2009年烟台市)如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于 C点，且经过点, 对称轴是直线，顶点是.(1)求抛物线

8、对应的函数表达式；(2)经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点 为顶点的四边形为平行四边形若存在，请求出点的坐标；若不存在， 请说明理由；(3)设直线与y轴的交点是，在线段上任取一点(不与重合)，经过三点 的圆交直线于点，试判断的形状，并说明理由；(4)当是直线上任意一点时，(3)中的结论是否成立(请直接写出结论)例3. (2009?临沂)如图，抛物线经过A (4, 0) , B ( 1, 0) , C (0,-2 )三点.(1)求出抛物线的解析式；(2) P是抛物线上一动点，过P作PML x轴，垂足为M,是否存 在P点，使得以A, P, M为顶点的三角形与八OAC相似若

9、存在，请 求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得 DCA的面积最大， 求出点D的坐标.思路点拨1 .已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比 较简便.2 .数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长.3 .按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程.4 .把DCAT以分割为共底的两个三角形，高的和等于 OA满分解答(1)因为抛物线与x轴交于A(4, 0)、B (1, 0)两点，设抛物线的解析式为y a(x 1)(x 4),代入点C的坐标(0, -2),解得1a 1 .所以抛物线的解析式为2y l(x

10、1)(x 4) 1x2 5x 2.2221(2)设点P的坐标为(x, -(x 1)(x 4).21如图2,当点P在x轴上万时，1x4, PM1一 (x 1)( x 4) , AM x 4 .21-(x 1)(x 4)解方程2 2,得x 5.此时点P的坐标为(5, 2).x 41-(x 1)(x 4)解方程2 1 ,得x 2不合题意.x 421如图4,当点P在点B的左侧时，x0, tan/BAC= 3,抛物线经过 A、B C三点，点P(2, m)是抛物线 与直线l : y= k(x + 1)的一个交点.(1)求抛物线的解析式；(2)对于动点Q(1, n),求Pg QB的最小值；(3)若动点M在直

11、线l上方的抛物线上运动，求 AMP勺边AP上的高h的最大 化(3)过点P作PNLx轴于点N,过点M作MKLx轴于点K, 设点M的坐标为(x, -x2+2x+3),例11.(广东省深圳市)已知：RtABC勺斜边长为5,斜边上的高为2,将这个 直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合(其中OA0, n0）,连接DP交BC于点E.当BDEg等腰三角形时，直援产事.此时点E的坐标.求出 CDP勺最又连接CD CP （如图3） , CD思否有最大面积若有, 大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由.(1)（注：只回答有最大面积，而没有说明理由的，不给分；点P的坐标, 或最大面积计算错误

12、的，扣（1分）；其他解法只要合理，酌情给分.）例12.（2008年四川省宜宾市）已知：如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点 A (-1,0)、B (0, 3)两点，其顶点为D.(1)求该抛物线的解析式;(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE勺面积;(3) AOBW BDE是否相似如果相似, 由.请予以证明;如果不相似，请说明理（注：抛物线y=ax2+bx+c（a w0）的顶点坐标为b2a4ac b2)4a解得 c=3,b=2 0c 3满分解答：1.解：（1）由已知得：1 b抛物线的线的解析式为yx2 2x 3(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)所以对

13、称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0)设对称轴与x轴的交点为F所以四边形ABDE勺面积=$ ABO S形 BOFD S DFE1 - - 1 -1=-AO BO (BO DF ) OF - EF DF2 221 11=1 1 3 1 (3 4) 1 1 2 4 =92 22(3)相似.如图，bd=/bg2 dg2 J12 12 72BE= BO2OE2、. 32323 2DE=. DF2 EF2.22 42 2、5所以 BD2BE220,DE2 20 即： BD2BE2 DE2,所以 BDE 是直角三角形所以 AOB DBE 90 ,且股 里 灭，所以AOB : DBE .BD

14、BE 2例13.( 2008年辽宁省十二市)如图16,在平面直角坐标系中，直线yV3x 近与x轴交于点A ,与y轴交于点C ,抛物线y ax2 2叵x c(a 0)经过 3A, B, C三点.(1)求过A, B, C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；(2)在抛物线上是否存在点P,使4ABP为直角三角形，若存在，直接写出 P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)试探究在直线AC上是否存在一点M ,使得4MBF的周长最小，若存在, 求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1） Q直线y底 73与X轴交于点A ,与y轴交于点C .A( 1,0), C(0, 33)Q点A, C都在抛物线上,.

15、3a 3c 、3抛物线的解析式为y x2 2 x V3 3分33顶点F 1,4.33(2)存在 5分P(0,而 7分P2(2, 73) 9 分(3)存在 10分理由：解法 延长BC到点B ,使B C BC ,连接B F交直线AC于点M ,则点M就是所求 的点.11分过点B作B H AB于点H .Q B点在抛物线3 2y 丁R3x V3 上，B(3,0) 3在 RtzXBOC 中,tanOBCOBC 30o,BC2、3在 RtzXBBH 中,2BB2.312分BH . 3B H 63,B(2.3)设直线B F的解析式为ykx2.3 3k b4.3 k b3解得363.32,33.3x 13分3x

16、 -.3、.33.3x 62解得在直线AC上存在点M ,37m371037使得AMBF的周长最小，此时10、37例14.(2008年四川省巴中市)已知：如图14,抛物线y3与x轴交于3x b相父于点B ,点C4直线y(1)写出直线BC的解析式.(2)求 ABC的面积.(3)若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动(不与A B 重合)，同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运 动.设运动时间为t秒，请写出4MNB的面积S与t的函数关系式，并求 出点M运动多少时间时，4MNB的面积最大，最大面积是多少解：(1)3中，令y 03 03 2x4y(2)由y3 x43 -x

17、4yiX2y2B(2,0)AB4,CDS*A ABC(3)过点N作NPMB于点PQ EO MBNP / EO BNPs/XbeoBNBEnpEo由直线31一可行:2在ABEO中,BO 22t-52npT，2np6t 52g5tg(4t)4)10分3(t 2)2 三 5511分12Q此抛物线开口向下， 当t 2时，S最大 一512当点M运动2秒时，AMNE的面积达到取大，取大为 5例15 （2010?内江）如图,抛物线 y=mx2-2mx-3m（m0）与x轴交于A、 与y轴交于C点.B两点,(D请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标;(2)经探究可知， BCMf4ABC的面积比不变，试求出这个比值;(3)是否存在使 BCMfc直角三角形的抛物线若存在，请求出；如果不存在, 请说明理由满分解答：（1） ；A、B两点的坐标为（-1,0）、（3, 0） . （4分）（3）存在使4 B