人教版必修一：函数的概念及表示方法

1、函数及其表示方法函数及其表示方法数学C1版课件CONTENTS函数基本概念01函数表示方法02函数与映射03目录函数解析式求法04知识知识结构结构概念概念三要素三要素图象图象性质性质指数函数指数函数应用应用大小比较大小比较方程解的个数方程解的个数不等式的解不等式的解实际应用实际应用对数函数对数函数函函数数3下面我们用集合与对应的观点来研究函数，先阅读教材P1516，再回答问题设A、B是，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为集合A到集合B的一个函数记作，其中x叫做 ， 叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合叫

2、做函数的值域非空数集任意一个数x唯一yf(x)自变量A函数值y|yf(x)，xA3下列各图中，不可能表示函数yf(x)的图象的是()答案B解析B图中，作垂直于x轴的直线，与图形可以有两个交点，故存在x，有两个y值与之对应，故B图y不是x的函数4函数的定义域是使函数有意义的自变量x的取值集合，值域是函数值的集合(1)一次函数ykxb(k0)的定义域为；值域为.RR6阅读教材P17填表.区间不等式数轴表示a，baxb(a，b) .a，b)axbaxb区间不等式数轴表示 .axb(，b) . .xa .x数轴上的所有点(a，bxb(a，)(，)(一)对函数yf(x)涵义的理解，应明确以下几点：“A，

3、B是非空数集是非空数集”，若求得自变量取值范围为 ，则此函数不存在定义域、对应法则和值域定义域、对应法则和值域是函数的三要素，实际上，值域是由定义域和对应法则决定的，所以看两个函数是否相等，只要看这两个函数的定义域与对应法则是否相同(二)复合函数定义域的求法已知f(x)定义域为A，求f(x)定义域，应使(x)A；已知f(x)定义域为A，求f(x)定义域，即求当xA时，(x)的值域分析(1)据函数的定义：“对于集合A中的任意一个元素，在集合B中有唯一确定的元素与之对应”进行判断(2)给定函数的解析式，也就给定了由定义域到值域的对应法则，只要将自变量允许值代入，就可以求得对应的函数值 分析确定两个

4、函数是否相等，要紧紧抓住函数的定义域和对应法则根据函数的定义可知，定义域中的每一个x都有唯一的y与它对应，所以值域实际上是由定义域和对应法则确定，因此，两个函数只要定义域和对应法则分别只要定义域和对应法则分别相同，它们就是相等函数相同，它们就是相等函数解析中f(x)x1，xR，而yxx0中x0，它们的定义域不相同，所以不是相等函数中两个函数的定义域都是R，并且f(x) |2x1|，所以它们是相等函数中f(n)2n1(nZ)与g(n)2n1(nZ)的定义域都是Z，值域也相同(都是奇数集)，但对应法则不同，所以不是相等函数中f(x)3x2与g(t)3t2的定义域都是R，尽管它们表示自变量的字母不同

5、，但是，对应法则都是“乘3加2”，是相同的对应法则，所以是相等函数故填.例1(1)如图所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一动点M，沿折线BCD由点B向点D移动，设点M移动的路程为x，ABM的周长为y，求函数yf(x)的表达式为 (2)某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位：百公斤)如表所示.则零售量是否为月份的函数？为什么？(3)下列图形能否确定y是x的函数？月份t123456789101112零售量y81 84 45 4595615 94161144123解析(1)据三角形的周长公式得(2)是函数，因为对于集合1,2，12中任一个值，由表可知y都有惟一确定的值与它对应，所以由它可确定为

6、y是t的函数(3)不能确定为y是x的函数因为当x0时，由上图可知，y有两个值1与它对应能确定y是x的函数因为当x在x|x1或x1中任取一个值时，由上图可确定惟一的y值与它对应能确定y是x的函数因为当x在3，2，1，0,1,2,3,4中任取一个值时，由图可确定y有惟一的值与它对应总结评述：(1)对于有些函数，它的对应关系是客观存在的，但却不能用解析法来表示如本例(2)中的函数，表中所给出的就是一个对应关系，但却无法用解析法来表示(2)判断一个在直角坐标系下的图形能否确定y是x的函数的方法是：任作垂直于x轴的直线，当直线与图形至多只有一个交点时，则该图形能确定y是x的函数；否则就不能确定y是x的函

7、数.分析依据画函数图象的步骤求解先找出函数的定义域，然后列表，描点、连线(注意区分直线、光滑曲线)解析列表略，图形如下总结评述：1.函数的图象可以是一些线段，一段曲线，甚至是一些点表示函数的式子也可以不止一个，这类用几个式子表示的函数叫做分段函数分段函数是一个函数，而不是几个函数，必须分段画出函数图象，尤其需注意特殊点 二次函数f(x)ax2bxc的图象如图，则a_，b_，c_.答案1,2,0求解析式这类问题抽象性较强，解题关键在于抓住函数对应法则f的本质由函数f(x)的含义可知，在函数的定义域和对应法则f不变的条件下，自变量换字母，甚至变换为其它字母的代数式，对函数本身并无影响，利用这一特征

8、便可解决此类相关问题，常用的方法有(1)代入法：如已知f(x)x21，求f(xx2)；(2)待定系数法：已知f(x)的函数类型，要求f(x)的解析式时，可根据函数类型设其解析式，从而确定其系数即可：例4已知f(x)是一次函数，且ff(x)4x3，求f(x)解析可设f(x)axb，(a0)则ff(x)f(axb)a(axb)ba2xabb4x3，故所求的函数为f(x)2x1或f(x)2x3.已知二次函数f(x)的图象过点A(0，5)，B(5,0)，其对称轴为x2，求其解析式解析因为抛物线的对称轴为x2，所以设抛物线的解析式为ya(x2)2k(a0)把(0，5)、(5,0)分别代入上式得所以解析式

9、为y(x2)29.点评1.用待定系数法求解析式的步骤为：设出所求函数的解析式；根据已知条件，列出方程组；解方程组，求出待定系数；得出结论2求二次函数解析式时，(1)若已知对称轴或顶点坐标；常设配方式f(x)a(xm)2n(a0)；(2)若已知f(x)过三点，常设一般式f(x)ax2bxc(a0)；(3)若已知f(x)与x轴两交点横坐标为x1、x2，常设分解式，f(x)a(xx1)(xx2)(a0)分析我们前面指出，对应法则“f”实际上是对“x”计算的一种“程序”或“方法”因此要把“2x1”及“ 1”看成一个整体来求解总结评述：可以看出换元法的基本思路是将函数符号内的式子用一个字母代换，解出自变

10、量x，将x的表达式又代入原方程，从而得出f(x)的表达式；拼凑法主要是将函数方程中的解析式，凑成函数符号下的式子关系，然后将此式子用自变量x代换解此类题要特别注意自变量的取值范围1当自变量x在不同的取值区间(范围)内取值时，函数的对应法则也不同的函数为分段函数是一个函数，不是几个函数，只是在定义域的不同范围上取值时对应法则不同，分段函数是普遍存在又比较重要的一种函数2(1)设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的 一个元素，在集合B中有 确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括A、B以及对应关系f)叫做集合A到B的映射，记作.分段函数唯一任何f：AB分段函数分段函数(2)给定

11、一个集合A到集合B的映射时，aA，bB如果b和a对应，那么我们把元素b叫做，元素a叫做b的象原象分析图象法是表示函数的方法之一，画函数的图象时，以定义域、对应法则为依据，采用列表、描点法作图 总结评述：函数的图象可以是一些线段，一段曲线，甚至是一些点表示函数的式子也可以不止一个，这类用几个式子表示的函数叫做分段函数分段函数是一个函数，而不是几个函数，必须分段画出函数图象，尤其需注意特殊点 答案B 分析这是已知分段函数的函数值求相应自变量的值的问题一般从两个角度思考：一是先求各段上函数值的取值范围，再结合所给函数值的大小，确定在哪段上求解；二是逐段令其值为已知函数值解出x的值，看是否满足其取值范围的要求做出取舍答案A 如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，APB的面积为y.(1)求y关于x的函数关系式yf(x)；(2)