质点运动学(2)

1、6第二章质点运动学运动学的任务是描述随时间的推移物体位置变化(运动)的规律，不涉及物体间相互作用与运动的关系。§ 2.1质点的运动学方程一、质点的位置矢量和运动学方程o - xyz，从坐标原点向该P(x,y,z)要描述某质点在空间的位置，可以在参考系上先建立一个空间直角坐标系 质点引一条有向线段 op，用r表示。1、位置矢量定义：自参考点(原点 o)引向质点P所在位置的矢量。质点位矢在直角坐标系中的表示：r = xP yF zk?, j, k分别为沿x轴，y轴，z轴正方向的单位矢量，x, y,z称为质点的位置坐标，质点的一组位置坐标就对应于一个位置矢量，也就对应质点 一空间位置。位矢

2、的大小： r = r = Jx2 + y2 +z2位矢的方向(用方向余弦表示)：x R y v zcos , cos , cos rrrcos2 二 cos : cos2 = 1:,-,分别为位矢与x轴，y轴，z轴正方向的夹角。2、质点的运动学方程由于质点的运动的不同时刻，位矢不同，则有：r =r(t)即为质点的运动学方程，它给出了任意时刻质点的位置。方程在直角坐标系中的正交分解式：r (t x(t)i y(t) j z(t)k质点运动学方程的标量形式为：x = x(t), y = y(t),z = z(t)3、质点的运动轨迹质点运动时位矢端点描出的曲线，称质点运动轨迹。由运动学方程消去t得：

3、f (x, y, z) = 0例一质点的运动学方程为：r =Rcosti rsintj，求其轨迹。x2 y2 R2，圆心在原点。x = Rcost解：由已知，厂只师，则轨迹方程:、质点的位移和路程-r表示。1、位移：描述质点在一定时间间隔内位置变动的物理量，用.：r =r(t .t) r(t)位移在直角坐标中的正交分解式： x = r (t ： =t) _ r (t) = ux(t)i ： =y(t) j ： =z(t)k注意：质点的位移是矢量，其大小 卜r| -匚r =2-2、路程：描述质点在一定时间间隔内在其轨迹上经过路径的 长度，用-1表示。注意：质点的路程是标量，一般情况下，同一时间间

4、隔内的 路程和位移的大小并不相等。无限小位移时：dF=dl§ 2.2瞬时速度矢量和瞬时加速度矢量一、平均速度与瞬时速度1、平均速度-&(t+At)-(t)v =盘At定义：质点的位移与发生这段位移的时间间隔之比，即位矢对时间的平均变化率。注：平均速度仅能提供一段时间内位置变动的方向和平均快慢，却不能精细地描述质点在每一时刻 的运动及快慢。2、瞬时速度t > 0时，将平均速度取极限即可:其大小:lim卫tdrdt八啊v，称为瞬时速率，表示质点在该瞬时运动的快慢;7瞬时速度在直角坐标系中的正交分解式:其方向：沿轨迹质点所在处的切线并指向质点前进的方向。 瞬时速度简称速度。v

5、 =Vxi Vy j Vzkdr dx 丄 dy -丄 dz/ Viikdt dt dt dt则：Vxdx dt，VyJdtdzdt若已知Vx, Vy ,Vz的大小则瞬时速度的大小和方向可表示如下:大小：V 二Vx2Vy2 Vz2方向：COSV = ,cos : VV#3、平均速率- Jv =At注意：平均速率并不是平均速度的大小，仅当质点在直线上沿固定方向运动时，平均速率才等于平均速 度的大小。二、平均加速度与瞬时加速度1、平均加速度va 二 At定义：质点的速度增量与发生这 时间的平均变化率。注：平均加速度仅能提供一段时间内速度变动的方向和平均快慢，其方向沿速度增量的方向。2、瞬时加速度氏

6、 0时，将平均加速度取极限即可：v(t Lt) v(t)，即速度矢量对V(t)其大小:V(t+ t )V(t)a =丨 i ma = l i = dv W务_p加dtd2rdt表示速率在该瞬时变化的快慢;其方向：沿速度矢端曲线的切线并指向与 瞬时加速度简称加速度。加速度在直角坐标系中的正交分解式：t增加相应的方向。一 一. a 二 axi ay j azkdvdtdVxdvdtdtdvzdt则：axdVxdtd2xdt2dVydtd2x.dtdt吐k2八dt22 2d ydvz d zdt2dt dt2大小：2丄2丄2a 二axay az若已知ax,ay,az的大小则瞬时速度的大小和方向可表示

7、如下:a xa ya z方向：COSa ,COS - a , cos aaaa§ 2.3质点的直线运动-从坐标到速度加速度、运动学方程1、坐标系的选择：研究直线运动，最好选择只含一个坐标轴的坐标系。比如: 于参考系的参考点上，坐标系与质点轨迹重合。2、运动学方程：设坐标系为 OxOx、Oy、Oz,其原点位r =r (t) = x(t)i9由于坐标系与质点轨迹重合，位矢的矢端与坐标对应，则将方程写成:10#X = x(t)比如：x =t _5t +2, x =x0e ,x = sint +5cost3、位移：r = xi , x = x2 -Xjx的大小反映了位置变动的多少。 、速度和

8、加速度1、速度:drdtdt= Vxi#讨论：当Vx 0,质点运动方向与x轴正向相同;当Vx : 0,质点运动方向与x轴正向相反;d2x-dt22、加速度dvdtdVx .i = axi ,ax dt讨论：ax的正负不能决定质点是加速还是减速运动;当ax与Vx同号时，质点做加速运动;当ax与Vx反号时，质点做减速运动。三、匀速直线运动和变速直线运动1、匀速直线运动： vx =c （ c为恒量）；x =Xo Vxt质点在任意相等的时间内通过的位移相等2、匀变速直线运动：ax = c （c为恒量）Vx 二 Vox axt例如竖直上抛、自由落体运动等例题：将真空长直管沿铅直方向放置。自其中0点向上抛

9、小球又落至原处所用的时间为t2。在小球运动过程中经过比 O点高H处。小球离开H处至又回到H处所用时间为。现测得T,、T2和H，试决 定重力加速度go解：将小球视为质点，建立以O为原点铅直向上的坐标系 O-y，如图，测T2时，质点初始坐标为y° - 0，设其初速度为v°y = V2。因小球O时终坐标亦为y = 0，有1 20 = 0 v2T2gT22同理，设测时小球经H向上的速度为V0y，又有1 2 H = H v1T1gT(2小球自H高处落至0,有 v22 _v,2 =2gH从上面三式消掉 v1和v2，即得8H11#§ 2.4质点的直线运动-从加速度到速度和坐标、

10、从速度到运动学方程和位移dx由Vx1、，则X是Vx的一个原函数，若已知速度Vx(t)，可通过不定积分求的与之对应的愿函数:dtdxvx(t)dtdt = x(t) c， c 为任意常数' dt2、如再给出t 时，X=X° 的条件，则 X =X(t°) * C, ： C=X°-X(to)t3、 由定积分知识：x(t) -x(to)Vx (t)dt±0txVx(t)dtt0只要给定位置坐标的初始条件，便可根据质点的速度唯一地确定质点的运动学方程。t4、 位移：厶x=xx0vx(t)dt，与初始条件无关。巳0二、从加速度到速度和运动学方程dv1、由 a

11、x，vx = ax (t)d vx (t) c， c 为任意常数dt给定：t 时，Vx =v°x 的条件，则=c=v°x -Vx(t°) tVx =V°X Vx(t) -Vx(t。) =V°X* ax(t)dt2、只要给出位置坐标的初始条件，即可求出运动学方程。例题：已知质点做直线运动，其加速度随时间的变化规律为：a(t) =1 O04t2(m/s2)初始条件：t =0时，v0x =O,x0 =0解：建坐标O-x沿质点运动方向，圆点在质点初始时所在的点,则，Vxtt24 3= v°x + j ax(t)dt =0 + 0(1004t

12、)dt =100t t03tt4 321 4x =x0* vx(t)dt =0 o(100t t3 )dt = 50t2t4§ 2.5平面直角坐标系？抛体运动、平面直角坐标系质点的平面运动是指质点在平面上的曲线运动(包括直线运动)1运动方程：作平面运动的质点的运动学方程在平面直角坐标系中的表示为:r 訂(t) =x(t)i y(t)j13#由上式可知：平面运动状况需要由两个独立标量函数x(t)和y(t)决定。#2速度：vi屯jdt dt dt即：Vx二出Vy二鱼dt dt若已知Vx,Vy的大小则瞬时速度的大小和方向可表示如下:大小:vVx2Vy2方向:COS _：lvVx ,COS

13、二VVy# V为速度矢量的方向角。3加速度:dv dvx . dvy aidtdt dt.2 . 2d x.d y .j 2 i 2 jdt2 dt2则：axdvxd 2x2dt dtaydVyd y2dt dt#若已知ax,ay的大小，则瞬时速度的大小和方向可表示如下:大小：aW方向:COS： a 二Mcos : a 二aay4若给出质点平面运动的速度和质点位置的初始条件:t=to 时 x = Xo,y=y°Vx =Vox, Vy = Voy#tVx = Vox axdt*otVy =Voy + j aydt叱0tx 二 Xo 亠 I Vxdtty = y。 t Vydtto例题：

14、已知质点作平面运动的加速度:ax 二-Acostay =BsintA B hO,A式0初始条件：t 二 to 时Xo 二 A, yo 二 0 V0x 二 °,V0y 二 Btt= v0xax(t)dt - - A costdt - -Asint解：吒0uttVy 二Voy 亠 I ay(t)dt 二 B - B °sintdt =Bcostttx =冷十 J vx(t)dt = A A (sintd t= Bcosttty 二 y0vy(t)dt 二 B costdt二 BsintutoL0得到： x= Acosty = Bsin t#抛体运动将质点以和水平面成某一角度的初

15、速度抛出去，若不考虑空气阻力，质点作抛体运动。1、建坐标：以抛出点为原点，建0-xy坐标系初速度为Vo，与x轴之间的夹角为a。选择抛出时为计时起点，则X = Vo cos ： t1 2y =VoSin ： t gt2_ 1位矢：r =xi yj 二 Vo cos： ti(Vo s in： t gt2)2轨迹方程：g 2y 二 xtg 2x2v0 cos «此方程代表抛物线。2、“矢量法”讨论：a将抛体运动视为沿初速度方向的匀速直线运动和自由落体运动的合运动：1 2 r =r- r2 = v0tgt2dr -vVo gtdt15#§ 2.6自然坐标？切向和法向加速度、自然坐标

16、O'为“原点”，用由原点 O'叫做平面自然坐标。1、如图所示，沿质点运动轨迹建立一弯曲的坐标轴，选择轨迹上一点 至质点所在位置的弧长 S作为质点位置坐标，若轨迹限于平面内，弧长S的正方向：沿坐标增加的方向(人为规定)，S可正可#负。2、质点的运动学方程：S二S(t)3、利用自然坐标对矢量进行正交分解:沿切线方向:切向单位矢量：沿曲线切线且指向自然坐标 S增加的方向为单位矢量，通常用 表示。沿法线方向:法向单位矢量：沿曲线切向且指向曲线凹侧的单位矢量，用n表示。A点的和n如图所示。注意：任何矢量都可向和n方向作正交分解。另外，和n不是恒矢量,虽然大小时时刻刻都是但它们的方向通常随

17、质点位置的改变而变化。二、速度法向和切向加速度1、速度：应的弧长* r由速度的定义：V = 胆 才，当 t T 0时，也r的方向趋于位移起点处的切线，Ar的大小趋于对。如图所示：-t 0时，=rr工s ，二s可正可负，-r的大小趋于对应的弧长。rsdsv = lim lim心t 心tdtds为速度在切向单位矢量方向的投影,V =V.,可见，速度只有切向投影，不存在法向分量。注意：V不同于速率 】：v可正可负，而速率仅大于零。16由dt 0, S增加的方向与.方向一致，若ds . 0, v 0，即质点沿.方向运动;2、自然坐标中的加速度(1)对圆周运动的讨论-V = V2 - Vi BC在AC上

18、截取 AD=AB，所以 lv = BC = BD DC - y _v2若速度只有方向改变而大小不变，V = BD，所以"'：V1是由速度的方向改变而引起的变化量。若速度只有大小改变而方向不变，n二DC若ds ： 0，v 0，即质点逆.方向运动。，即 v2是由速度的大小改变而引起的变化量;根据定义:V- Via = limlim口 At0 AtlimV20 t1 ）由lvj = BD, V）= v2 = v,OA = OB = R,NBAC =NAOB =aVi v故AB RVi V AB V2=11 m =则 an _ 妁0 ，tR ：r ：0 ,-.：tR式中v是质点在A处

19、的速率。结论：作变速圆周运动的质点具有沿法向单位矢量方向的加速度为法向加速度，是由于质点速度的方向 变化而产生的。质点沿圆弧自A运动至B的快慢有时用角速率表示:rA6口.v = limR ,则：an2VRR18#2 ）由v1 二 w , v2 二 v2 , t ； 0时，：一结论：作变速圆周运动的质点有一个沿切向单位矢量方向的加速度为切向加速度，是由于质点速度的大小变化而产生的。匹与dvdt dt的意义不同，后者反映速率的变化率，前者因 dt总为正，a.与 山.符号一致。a .与 v .符号相同时，加速运动；符号相反，减速运动。- 一 v2 _ dv _a 二 a“n an总加速度:nR dt

20、2 2（2）对一般平面曲线运动的讨论曲率圆和曲率半径： 在曲线轨迹上任取三点， 这三点可以决定一个圆， 若两侧的点无限靠近中间的 A 点，则他们所决定的圆讲无限接近于一个极限圆，叫做曲线在A点的曲率圆。曲率圆的半径 p叫做曲线在该点的曲率半径。质点作一般平面曲线运动时，质点的轨迹可以看作由无穷多个圆的局部组合而成。于是，把圆周运 动加速度公式中的 R换成曲率半径p，就可以适用于一般曲线运动。2 2 . 2-v dv v dsa 二 an n ann 2 . dt dt2讨论：a是由速度大小变化而产生的，若a畀=0，则做匀速率运动。-是由速度方向变化而产生的，若去=&，则做直线运动。19

21、#a与厂同方向。 小时，a 0, a与 同向； 、口时，a ： 0 , a与 反向。例题1 :汽车在半径为200米圆弧形公路上刹车，刹车开始阶段的运动学方程为s = 20t - 0.2t3 （长度:m,时间：s）,求t=1s时的加速度。解:-,- v2dva = a n n anRdtds2d严-0.6t (rn/s)t=1s 时an(20-0.6)2200m/ s2= 1.88m/s2普22 2 2a = aan2.23m / santg n = -1.5667a例题2：低速迫击炮弹以发射角45。发射，起初速率V。=90m/s。在于发射点同一水平面上落地。不计空气阻力，求炮弹在最高点和落地点

22、其运动轨迹的曲率。解：将炮弹时为质点，不计空气阻力，它做抛体运动，其运动的速度和加速度为：v =v0 cos i (v0 sin ： - gt) ja 二 g _ _gj1)在最高点： vy =v0sin： -gt =0二 v =v0cos：i以抛出点为坐标原点，沿抛物线建自然坐标，以质点运动方向为正方向，在最高点，切向单位矢.与i2同向，法向单位矢n与j反向。由an = v gp20#2 2v (vcos：)(90 )229.8m = 413.3m#2)在落地点:an= gcos(-45 )m =1169m9.8 22§ 2.8伽利略变换同一运动，对于不同的参考系，可以得到不同的结

23、论。不同的参考系中对运动描述不同，研究各描 述之间的关系是这节的主要内容。、伽利略变换如图所示，建立直角坐标 O系和O'系，O系相对于O系作匀速直线 运动。p为被研究的运动质点。两参考系的坐标轴始终保持平行。ro表示O在O系中的位矢；r表示质点p在O'系中的位矢;r表示质点p在O系中的位矢。21则：r =ro ,贝 U r 丄 r 一 r°在直角坐标系中的分量形式：（设0'系以v0沿x轴方向运动）X = X _v0t y = yZ = zt =t称这种自0系到0系的时空变换关系即为 伽利略变换。X 二 X - v0t其逆变换为自O系到O系的时空变换。仃仃、伽利略变换所蕴含的时空观 1、关于同时性设在0系中观测得二事件均于 t时刻发生，两者可在同一地点或不同地点。FF在O系中观测该二事件发生的时刻分别是t,和t2，由伽利略变换可知:t1 =tt2 = t2 即：t