专题六：导数与函数高考大题类型(自己的总结)

1、实用标准文案导数高考大题(教师版)类型一：对单调区间的分类讨论 x1、已知函数 f(x)=e ax, aw R .(i)求函数f(x)的单调区间；(n)当xw0, +8)时，都有f(x)>0成立，求实数a的取值范围.解：(I) f(x)的定义域是(°°,七 ), f r(x) = ex a . 2 分(1)当a<0时，f(x)0成立，f(x)的单调增区间为(,)；3分(2)当 a >0时，令f (x) >0 ,得x >ln a ,则f (x)的单调增区间是(Ina,代卜 4分令f (x) <0,得x<lna,则f(x)的单调减区间是

2、(*,lna). 5分综上所述，当a<0时，f(x)的单调增区间为(m，+力)；当a A0时，f(x)的单调减区间是(_g,ina),f(x)的单调增区间是(in a,十无). 6分(n)当 x=0 时，f(x)=1)0 成立，aw R . 7 分当 x w (0,)时，f (x) =ex-ax>0 成立，x即x w (0, f )时，a &'成立.x_x_x _xx、几 exe -e (x -1)e仅 g(x)=一， 所以 g (x) =2- =2一xx x当xW(0, 1)时，g'(x)M0,函数g(x)在(0, 1)上为减函数； 11分xw (1,&q

3、uot; 时，g(x) >0,函数g(x)在xW(1,十比)上为增函数. 12分则g(x)在x=1处取得最小值，g(1) = e.则a<e.综上所述，xw0,十无)时，f (x)> 0成立的a的范围是 e. 13分类型二：给出单调递增递减区间等价于恒成立问题2、已知函数 f (x) =x2+2aln x.(I)若函数f (x)的图象在(2, f (2)处的切线斜率为1 ,求实数a的值;(n)求函数f(x)的单调区间；2(出)若函数g(x)=+ f(x)在1,2上是减函数，求实数 a的取值范围x 22a 2 x , 2a 斛：(I)f'(x)=2x+= 1 分x x由已

4、知f '(2) =1,解得a = 3. 3分(II )函数f(x)的定义域为(0, f(1)当a之。时，f '(x) >0 , f(x)的单调递增区间为(0,+*);5分(2)当 a<0时 f,(x) = 2(x + G(x.£). x当x变化时，f '(x), f (x)的变化情况如下：x(0, T-a)(J-a, +*)f'(x)-0+f(x)X极小值Z由上表可知，函数 f (x)的单调递减区间是(0,13);单调递增区间是(C,g). 8分2 o2 2a(II )由 g(x) =_ +x +2aln x得 g '(x) =+2

5、x + , 9分xx x由已知函数g(x)为1,2上的单调减函数，则g'(x) <0在1,2上恒成立，22a即一二+2x +E0在1,2上恒成立. xx12 .即a -x在1,2上恒成立.11分x人12_1_1_令 h(x) =-x2,在1,2上 h '(x)=下2x = -( + 2x) <0,xxx所以 h(x)在1,2为减函数.h(x) min=h(2)=7,所以 aw7.22类型三：零点个数问题3、已知函数f (x) =4ln x +ax2 6x +b ( a , b为常数)，且x = 2为f (x)的一个极值点.(i )求a的值；(n )精彩文档实用标准文

6、案求函数f(x)的单调区间;(m)若函数y = f (x)有3个不同的零点，求实数 b的取值范围.解：(I )函数f (x)的定义域为(0, +8)1分，4 cc.1 f x( = +2ax -6 xf (2)=2+4a 6 =0 ,则 a = 1 . 4分2(n )由(i )知 f (x) =4ln x + x 6x+b2x -622x2 -6x 4x2(x-2)(x-1)x由 f ' x) > 0 可得 x >2 或 x <1,由 f'x) < 0 可得 1< x <2 .函数f ( x )的单调递增区间为(0 , 1)和(2, + 8

7、)单调递减区间为 (1 , 2 ).9分(m)由(n)可知函数f (x)在(0, 1)单调递增，在(1, 2)单调递减，在(2, +8弹调递增.且当 x =1 或 x =2 时，f ' x) = 0.10 分f (x)的极大值为f(1) =4ln1 +1 -6 +b =b511 分f (x)的极小值为 f(2) =4ln2+4 12 + b = 4ln 2 8+b 12分由题意可知f(1) =b -5 0f (2) =4ln2-8 b ： 0则 5<b<84ln214 分类型四：一般的恒成立问题4. 已知 f(x) = xlnx ax, g(x) = x22,(I )对一切

8、xC (0, + °°) , f(x) > g(x)恒成立，求实数 a的取值范围；(n )当a= 1时，求函数f(x)在m, m+3(m>0)上的最值；21 .解：(I)对一切x= (0,依)，f (x)之g(x)恒成立，即xlnxaxAx -2恒成立.,、一2 ,，”也就是a Mln x+x+上在x=(0, +*)恒成立.1分x人2令 F(x)=lnx+x 十一, x(x 2)(x-1)2，x1 ,2 x x-2贝U F (x) = . 1 -2 =2x x x在(0,1)上 F *(x) <0,在(1,十8)上 F ' (x) A 0 ,因此，

9、F(x)在x = 1处取极小值，也是最小值, 精彩文档实用标准文案Fmin(x) =F(1) =3,所以 a <3.4 分(n)当a = 1时,f(x)=xlnx+x,1(x) =ln x + 2 ,由 f (x) =0得 x = 2 . e1 一.1 ,一 .一,1,一 . 一当 0<m< 二时，在 xwm, 2)上 f (x)<0,在 xw(2,m+3上 f (x) > 0 eee1.1因此，f(x)在x处取得极小值，也是最小值.fmin (x)=-.ee由于 f (m)：二 0, f (m 3) = (m 3)ln( m 3) 1 0因此，fmax (x)

10、= f (m 3) = (m 3)ln(m 3) 1一. 1 4一，一当m2 2时，f'(x) >0 ,因此f(x)在m,m+3上单倜递增, efmin(x) = f (m) =m(lnm+1) fmax (x) = f (m + 3) =(m +3)ln(m +3) +1 -类型五：用构造法证明不等式问题5、已知函数f(x)=an2+b,曲线y= f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为x + 2y-3 = 0. x 1 x(I)求a , b的值；1n x(II)证明：当 x A0,且 x#1 时，f (x) >x -1:(D f '(x)=一x 1 .、:一1

11、n x) b(x 1)2由于直线x+2y3 = 0的斜率为12,且过点(1,1),故jb =1，a1b -22解得 a =1, b =1。(n)由(I),lnx f(x)"f (x)=ln x1所以 xx2 -1x -11 -x2(2lnx+)考虑函数 h(x) = 2ln x +xx2 -1(x>0),则x精彩文档2,2.、h(x)=2 2x -(x 一1)(x -1)2一一 一(十所以当x#1时，h (x) <0,而h(1) = 0,故 x1、一当 xw(0,1) h(x) >0,可得rh(x) >0；1 -x21，、一当 x w (1, +=c)时，h(

12、x) <0,可得2-h(x) >0；1 - x._ln x _ In x从而当 x A 0,且 x #1, f (x) :>0,即 f(x)>.x -1x 1类型六：最值问题6、设函数f(x)=e ,其中e为自然对数的底数.(I)求函数g(x) = f (x) -ex的单调区间；(n)记曲线y = f(x)在点P(x0,f (x0)(其中x0 <0)处的切线为l, l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值.解：(I)由已知 g(x)=exex, 所以 g'(x) =ex e , 2 分由 g'(x)=exe=0 得 x=1 , 3 分所以

13、，在区间(口上，g(x)<0, 函数g(x)在区间(-00,1)上单调递减；4分在区间(1,+QO)上,g(x)>0, 函数g(x)在区间。,七:与上单调递增；5分即函数g(x)的单调递减区间为(-口,1),单调递增区间为(1,+*).(n)因为 f (x) =ex,x0x0 / V _ V、所以曲线y_f(x)在点p处切线为l： y e e(x x0).7分切线l与x轴的交点为(x0 -1,0),与y轴的交点为(0,ex -XoeD , 9分1x 12 xcS =-(1-Xo)(1-xO)e = (1-2x0 x0)e10分因为 M0 ,所以 2212分x 1 .，lnx) b2

14、(x 1)由于直线x+2y3=0的斜率为f (1)=1,且过点(1,1),故1即b =1,2-b12,解得 a =1 , b =1。(n)由(i)知 f(x)=ln x1,+ 一,所以 f (x)-( x!nzx-1 x(k -1)(x2 - 1)考虑函数 h(x) =2ln x (k 1)(x一1 x2，则 h,(x)=34&。x(i)设 k W0,由 h'(x)=22k(x2 1)-(x-1)2知，当 x"1时，h'(x) <0。而 h(1) = 0 ,故实用标准文案在区间(g, D上，函数S(xo)单调递增，在区间(1,0)上，函数鼠单调递减.S

15、J2所以，当x0=-1时，S有最大值，此时 e ,所以，S的最大值为e .近三年新课标导数高考试题20111、(2)下列函数中，既是偶函数又在(0,+笛)单调递增的函数是 B32,x(A) y=x (B) y=x+1(C) y = x 十 1 (D) y = 22、(9)由曲线y = Jx,直线y = x-2及y轴所围成的图形的面积为C1016(A) (B) 4(C) (D) 633一 一 13、(12)函数y =的图像与函数 y =2sinnx(-2 Ex W4)的图像所有交点的横坐标之和等于D1 -x(A) 2(B) 4(C) 6(D)84、(21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=a

16、lLx+b,曲线y = f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x+2y 3 = 0。 x 1 x(i)求a、b的值；(n)如果当x >0 ,且x #1时,f(x)>-ln+-,求k的取值范围。x -1 x:(21)解：(I ) f '(x) = 精彩文档1当 xu (0,1)时，h(x) >0 ,可得2h(x) >0 ;1 - x实用标准文案当 xw (1, +笛)时，h (x) <0,可彳导 一1一 h (x) >01 -x2从而当 x>0,且 x#1 时，f (x) - ( -ln-x- + k ) >0,即 f (x) >n

17、_x + k.x -1 xx -1 x12(ii )设 0<k<1.由于当 x= (1,)时，(k-1) (x +1) +2x>0,故 h (x ) >0,1 -k一一，.1 一， 1而h (1) =0,故当xw (1,)时，h (x) >0,可得 h (x) <0,与题设矛盾。1 -k1 -x21(川)设 k 之 1.此日h (x) >0,而 h (1) =0,故当 xw (1, +8)时，h (x) >0,可得7 h (x) <0,与题1 - x2设矛盾。综合得，k的取值范围为(-笛，020125、(12)设点P在曲线y=1ex上，点Q

18、在曲线y=ln(2x)上，则|pQ|最小彳1为B 2(A) 1-ln2(B) 72(1ln2) (C) 1+ln2(D) V2(1+ln2)6、(21)(本小题满分12分)1 o已知函数 f (x)潴足 f(x) = f (1)e -f(0)x+ x22(1)求f (x)的解析式及单调区问；(2)若 f (x)之 1x2+ax+b求(a+1) b 的最大值。2【解析】(1) f (x) = f'(1)ex， f(0)x+1x2= f'(x) = f'(1)ex, f(0)十 x2令 x=1 得：f(0)=11 9.f (x) V f (1)ex x x2= f(0) V

19、 f (1)e =1= f(1)=e2得：f(x);ex - x 1x2 = g(x)= f (x)二 ex T x2g'(x) =ex+1 a0= y = g(x)在 x r上单调递增 f (x) 0 = f (0)= x 0, f (x)：二 0 = f (0)= x :二 0.1c得：f (x)的解析式为f(x)=e -x+ x 2且单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(-8,0)(2) f (x)上 x2+ax+bu h(x) =ex _(a+1)x b 上0得 h'(x) = ex _(a + 1) 2当a+1 E0时，h'(x)>0= y = h(x

20、)在xR上单调递增XT g 时，h(x)T -co 与 h(x) >0 矛盾当 a+1>0 时，h'(x)>0= x > ln(a+1),h'(x) < 0= x<ln(a+1)得：当 x = ln(a+1)时，h(x)min =(a+1)(a+1)ln(a + 1) b20(a 1)b <(a 1)2 - (a 1)2ln(a 1)(a 10)令 F (x) =x2 -x2 In x(x >0)；则 F '(x) = x(1 -2ln x)F (x) 0 = 0 ： x e, F (x)：二 0 二 x e当 x=Je

21、时，F(x)max=；2当2 = Je1,b = Je时，(a+1)b的最大值为|【2013年】7、16、若函数f(x)=(1 x2)(x2 + ax+b)的图像关于直线x= 2对称，则f(x)的最大值是【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题 .【解析】由f(x)图像关于直线x=-2对称，则0= f(-1)=f(-3) = 1-(-3)2( -3)2-3a+b,0= f (1) = f (-5) = 1 -(-5)2( -5)2 -5a +b,解得 a=8 , b=15,一一 2 一 2_. - f (x) = (1 -x )(x +8x+15), 22、32.f (

22、x)= -2x(x2 8x 15) (1 -x2)(2x 8) = -4(x3 6x2 7x-2)=-4(x 2)(x 25)(x 2- .5)当 xe ( 8,-2-T5)U( 2, -2+75)时，f'(x)>0,当 xe (2 75, 2) U( 2+万,+ oo)时，f'(x)<0,f(x)在( 8, -2-75)单调递增，在(-2-75, -2)单调递减，在(一2, -W5)单 调递增，在(-2+而，+ oo)单调递减，故当x=-2 - 75和x=-2+V5时取极大值， f (-2 - . 5) = f(-2 .5)=16.8、(21)(本小题满分共12分)已知函数 f(x) = x2+ax + b , g(x) = ex(cx + d),若曲线 y = f(x)和曲线 y = g(x)都过点 P(0 , 2),且在点P处有相同的切线y = 4x+2(I )求 a, b, c, d 的值(H )若x> 2时，f (x) M kg(x),求k的取值范围。【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识，是中档题.【解析】