向量的加法与减法

1、相等向量与相等向量与相反向量相反向量复习回顾：复习回顾：单位向量单位向量与零向量与零向量向向 量量向量的大小向量的大小( (长度、模长度、模) )向量的方向向量的方向有向线段有向线段平行向量平行向量( (共线向量共线向量) )既有大小又有方向的量叫向量；既有大小又有方向的量叫向量；向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. .向量的表示向量的表示: :aAB或台北台北香港香港上海上海 向量的加法向量的加法F1F2F向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法 EOOE例如例如:橡皮条在力橡皮条在力F1与与F2的作用下的作用下,从从E点伸长到了点伸长到了O

2、点点.同时橡皮条在力同时橡皮条在力F的作用下也从的作用下也从E点伸长到了点伸长到了O点点.问问:合力合力F与力与力F1、F2有怎样的关系？有怎样的关系？F1+F2=F力力F对橡皮条产生的效果，与力对橡皮条产生的效果，与力F1和和F2共同作用产共同作用产生的效果相同，物理学中把力生的效果相同，物理学中把力F叫做叫做F1和和F2的合力的合力.F1F2F1F2F FEOOE例如例如:橡皮条在力橡皮条在力F1与与F2的作用下的作用下,从从E点伸长到了点伸长到了O点点.同时橡皮条在力同时橡皮条在力F的作用下也从的作用下也从E点伸长到了点伸长到了O点点.问问:合力合力F与力与力F1、F2有怎样的关系？有怎

3、样的关系？F1+F2=FF是以是以F1与与F2为邻边所形成的为邻边所形成的平行四边形的对角线平行四边形的对角线上述事例表明，两个向量可以相加，上述事例表明，两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量并且两个向量的和还是一个向量. .一般地，求两个向量和的运算，叫做一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量的加法. .向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法AC2.它们之们有联系吗它们之们有联系吗? 1.两种方法做出的结果一样吗两种方法做出的结果一样吗?向量加法的定义向量加法的定义任意给出两个向量任意给出两个向量a与与b.如何求如何求a+

4、b.ababBa + babBOACa + bACBCABbbaba向向 量量 加加 法法 向向 量量 加加 法法三三 角角 形形 法法 则则:平行四边形法则平行四边形法则:AC2.它们之们有联系吗它们之们有联系吗? 1.两种方法做出的结果一样吗两种方法做出的结果一样吗?向量加法的定义向量加法的定义任意给出两个向量任意给出两个向量a与与b.如何求如何求a+ b.ababBa + babBOACa + bb位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.

5、向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则:1.将向量平移使得它们将向量平移使得它们首尾相连首尾相连方法巩固方法巩固:2.和向量即是第一个向量的和向量即是第一个向量的首首指向第二个向量的指向第二个向量的尾尾向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则:1.将向量平移到将向量平移到同一起点同一起点2.和向量即以它们作为邻边和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线平行四边形的共起点的对角线ababa + bbaa + b,00aaaa对于零向量与任一向量我们规定特例：共线向量abABC方向相同abCAB方向相反baACbaAC_,abab (,

6、 ,)请选用合适符号连接：请选用合适符号连接：, a b 非零向量处于什么位置时？(1)(2)(3)(4)abababababababbaab， 不共线或共线反向ab ， 共线且同向abab ， 反向且abab ， 反向且探究探究例例1 在小船过河时在小船过河时,小船沿垂直河岸方向行驶的小船沿垂直河岸方向行驶的速度为速度为v1=3.46km/h，河水流动的速度，河水流动的速度v2=2.0km/h，试求小船过河实际航行速度的，试求小船过河实际航行速度的大小和方向大小和方向.。就是船实际航行的速度，则为邻边作平行四边形、表示水流的速度，以驶的速度表示船向垂直于对岸行解：如图，设OCAOBCOBOA

7、OBOA6073. 1tan)/( 0 . 4246. 3|/0 . 2| ,/46. 3|21222221CABvvBOChkmBCOBOChkmvOBhkmvBCOBCRt中在OBAC C练习：77页31.两个向量的和仍然是向量。 向量加法的三角形法则 以第一个向量的终点作为第二个向量的起点，则从第一个向量的起点到第二个向量的终点的向量就表示和向量.向量加法平行四边形法则以两个同一起点的向量为邻边作平行四边形, 以这两个向量的起点为起点的对角线所对应的向量就表示和向量.小结:尾首顺次相接尾首顺次相接首指向尾为和首指向尾为和起点相同，两边平行起点相同，两边平行同一起点，对角为和同一起点，对角

8、为和2.向量加法法则:练习练习（1）一架飞机向西飞行）一架飞机向西飞行 然后改变方向向南飞行然后改变方向向南飞行 , ,则飞机两次位移的和为则飞机两次位移的和为 km100km100（2） 一定成立吗？一定成立吗？baba 不一定不一定（3）在四边形中）在四边形中 ， ABCD_ BAADCBCD向量的加法向量的加法向西南方向飞行向西南方向飞行 km2100问题探究问题探究实数的加法运算满足交换律，即对任意实数的加法运算满足交换律，即对任意a，bR，都有，都有ab=ba.那么向量的那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？加法也满足交换律吗？如何检验？ba + babaabcabcABCDABC

9、D向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法a + b(a + b) + ca + (b + c)b + c实数的加法运算满足结合律，即对任实数的加法运算满足结合律，即对任意意a，b，cR，都有（，都有（ab）c=a（bc）.那么向量的加法也那么向量的加法也满足结合律吗？如何检验？满足结合律吗？如何检验？问题探究问题探究abba()a bcabc ( + )+向量加法满足交换律和结合律向量加法满足交换律和结合律(1)向量加法交换律：向量加法交换律：(2)向量加法结合律：向量加法结合律：以上两个运算律可以以上两个运算律可以推广推广到任意多个到任意多个向量向量.向向 量量 加加 法法向向 量量

10、加加 法法例例.化简化简_) 1 (BCCDAB _)2(CBACBNMA(3)_ABBDCADC 学以致用学以致用ADMN0已知已知D,E,F分别是三角形分别是三角形ABC三边三边BC,CA,AB的中点。的中点。AFCEBD) 1 ( 求证：CFBEAD)2(00例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船

11、速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；2 3ADBC,ADABADABABCDAC 图， 、为邻边则实际.解解：（1 1）如如所所示示表表示示船船速速表表示示水水速速以以作作表表示示 船船航航行行的的速速度度例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度

12、；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。角来表示）。2 3(2)| 2,| 2 3RtABCABBC 解： 在中，2222|2(23)4 ACABBC 2 3tan32CAB60 .CAB答：船实际航行速度为答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为方向与水的流速间的夹角为60。ADBC向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法若水流速度和船速的大小保持不变若水流速度和船速的大小保持不变,最后要能使渡船垂直过江最后要能使渡船垂直过江,则船的则船的航向

13、应该如何航向应该如何?并作图探究并作图探究.探究探究DC2BA3210103akmbkmab1.若 表 示 “ 向 南 走” ，表 示 “ 向 西 走” ，则表 示 _.练习题练习题2.35ababababab 若 ， 满足，求的最大值，并指出 ， 满足什么条件时?取到最大值.向向 量量 加加 法法 向向 量量 加加 法法课堂小结：课堂小结：向量加法的物理背景向量加法的物理背景向量的加法运算向量的加法运算向量加法的运算律向量加法的运算律平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则向向 量量 加加 法法 向量加法实际应用向量加法实际应用向量加法的向量加法的三角形法则三角形法则baOa a a

14、 a a a a abbbbbbbBbaA注意：注意：a+b各向量各向量“首尾相连首尾相连”，和向量由第一个向，和向量由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点量的起点指向最后一个向量的终点. .复习：baAa a a a a a a abbbBbaDaCba+b作法作法:(1)在平面内任取一点在平面内任取一点A； (2)以以点点A为起点为起点以向量以向量a、b为邻边作平行为邻边作平行 四边形四边形ABCD.即即ADBCa,AB=DC=b ； （3）则以）则以点点A为起点为起点的对角线的对角线ACa+b.向量加法的向量加法的平行四边形法则平行四边形法则复习：2.2.2 向量减法运算及其几何意义回

15、忆：相反数是怎样定义的？若两个实数a和b，满足b=-a我们说b就是a的相反数。. aaa的相反向量，记作的向量叫做的大小相等，方向相反规定：与?)(a思考：问：0有相反数吗？规定：零向量的相反向量是零向量。?)(aa思考： a bab求两个向量差的运算叫做向量的减法表示为+(- )呢？作出根据减法的定义，如何已知baba,abOAabBbCDba.a bbaab方法：平移向量 、，使它们起点相同，那么 的终点指向 的终点的向量就是特殊情况特殊情况1.共线同向共线同向2.共线反向共线反向aBACaABCbbCBab ab思考例：例：如图，已知向量如图，已知向量a, b, c, d, 求作向量求作向量a-b, c-d.ababcdabcdOABCDcdABab例2：如图，平行四边形ABCD，AB=a，AD=b，1）用a、b表示向量AC、DB。 2） DC呢？结论？若互相垂直有怎样