数学建模大作业

1、 数学实验报告实验名称 数学建模与 MATLAB 学 院 材料学院专业班级 材料 1014姓 名 徐萌 孔德成 戴思雨 学 号 41071046 41030400 410303992012年 6月一、问题的提出。传染病是当今世界最严重的疾病之一, 2009年 4月 26日世界卫生组织以 确认, 美国和墨西哥发生了甲型 H1N1流感, 随后疫情迅速蔓延, 截止 8月中旬, 全球感染人数约 5万人。因此,运用传染病的数学模型来描述传染病甲型 H1N1流感的传播过程, 分析受感染人数的变化规律, 探索制止甲型 H1N1蔓延的手段 是值得关注的。二、模型的建立。考查中国内地疫情变化,在疾病传播期间不考

2、虑人口的出生率和死亡率, 人口总数不变, 为常量。 中国的疫情研究发现易感染人数多为 2050岁的青壮年, 故保守估计在此传染病系统的人数 N=50000人。 甲型 HINI 流感的传播途径是与病 源的直接接触, 患者与健康者接触时, 都使健康者感染病变. 故将人群分为 3类:健康者 (易感染者人群 、患者 (已被感染人群 、治愈者 (研究期间 6月 14日8 月 14日间中国内地感染病毒死亡人数为 0, 故此处不考虑死亡者 . 三者在总人数 中的比例分别为 :s(t,i(t,r(t且 s(t+i(t+r(t=1,io,So分别为患者人数, 健康人数的 比例初始值.设每个患者每日感染健康者的平

3、均人数为日感染率,记为 j ,则j=j日新增病例数 /(j-1日(累计确诊人数 -累计出院人数 ;每日被治愈的患者人数占其总数的比例为日治愈率,记为 j ,则j=j日被治愈的人数 /j日累计确诊病人数 ;定义整个传染期内每个患者有效接触的平均人数为接触数 ,由 s(t+i(t+r(t=1可知, 对于病愈免疫的治愈者而言应有 dr/dt=i, 因此考虑 SIR 传染模型,该模型的方程为2si-i;si (1三、模型的求解1、数值运算由于在方程 (1中无法求出 s(t和 i(t的解析解,故先做数值运算.据来自中国卫生部网站公布的 2009年 6月 14日8月 14日的疫情数据 (见表 1包 括日累

4、计确诊病例、 日累计治愈病例等. 其中缺失的部分数据, 将以通过给定的 数据拟合得到 .表 1疫情原始数据日期 新增病例 确诊病例累计 治愈累计 新增治愈数6月 14日 20 185 736月 15日 41 226 86 136月 16日 11 237 97 116月 17日 27 264 114 176月 18日 33 297 135 216月 19日 31 328 160 256月 20日 28 356 185 256月 21日 58 414 199 146月 22日 27 441 227 286月 23日 49 490 251 246月 24日 38 528 275 246月 25日 4

5、2 570 321 466月 26日 48 618 338 176月 27日 60 678 373 356月 28日 51 729 401 286月 29日 37 766 445 446月 30日 44 810 496 517月 1日 56 866 554 587月 2日 49 915 612 587月 3日 45 960 660 487月 4日 40 1000 704 4437月 5日 40 1040 749 45 7月 6日 57 1097 793 44 7月 7日 54 1151 870 77 7月 8日 36 1187 927 57 7月 9日 36 1223 985 58 7月 10

6、日 40 1263 1035 50 7月 11日 39 1302 1085 50 7月 12日 26 1328 1110 25 7月 13日 26 1354 1134 24 7月 14日 45 1399 1166 32 7月 15日 45 1444 1197 31 7月 16日 41 1485 1230 33 7月 17日 52 1537 1263 33 7月 18日 44 1581 1293 30 7月 19日 44 1625 1323 30 7月 20日 43 1668 1355 32 7月 21日 52 1720 1404 49 7月 22日 52 1772 1454 50 7月 23日

7、 38 1810 1529 75 7月 24日 42 1852 1604 75 7月 25日 26 1878 1663 59 7月 26日 26 1904 1722 59 7月 27日 26 1930 1781 59 7月 28日 37 1967 1817 36 7月 29日 36 2003 1853 36 7月 30日 43 2046 1883 30 7月 31日 44 2090 1912 29 8月 1日 20 2110 1937 25 8月 2日 21 2131 1962 25 8月 3日 21 2152 1988 26 8月 4日 29 2181 2031 43 8月 5日 29 22

8、10 2074 43 8月 6日 27 2237 2098 24 8月 7日 27 2264 2122 24 8月 8日 28 2292 2137 15 8月 9日 28 2320 2152 15 8月 10日 28 2348 2167 15 8月 11日 38 2386 2203 36 8月 12日 39 2425 2240 37 8月 13日 57 2482 2261 21 8月 14日 55 2537 2283 22注:2009年疫情效据见文献 84以 6月 15日为基日,当日累计确诊病例 226例,累计出院者 86例,故s(0=(50000-226+86/50000=0.9972;I(

9、0=(226-86/50000=0.0028;在研究期间,平均日感染率 和平均日治愈率 由每天相应数据平均求得. 设计程序为:新增病例 A 确诊病例累计 B 治愈累计 C 新增治愈数 DA=41 11 27 33 31 28 58 27 49 38 42 48 60 51 37 44 56 49 45 40 40 57 54 36 3640 39 26 26 45 45 41 52 44 44 43 52 52 38 42 26 26 26 37 36 43 44 20 21 21 29 29 27 27 28 28 28 38 39 57 55B=226 237 264 297 328 35

10、6 414 441 490 528 570 618 678 729 766 810 866 915 9601000 1040 1097 1151 1187 1223 1263 1302 1328 1354 1399 1444 1485 1537 1581 1625 1668 1720 1772 1810 1852 1878 1904 1930 1967 2003 2046 2090 2110 2131 2152 2181 2210 2237 2264 2292 2320 2348 2386 2425 2482 2537C=86 97 114 135 160 185 199 227 251 27

11、5 321 338 373 401 445 496 554 612 660704 749 793 870 927 985 1035 1085 1110 1134 1166 1197 1230 1263 1293 1323 1355 1404 1454 1529 1604 1663 1722 1781 1817 1853 1883 1912 1937 1962 1988 2031 2074 2098 2122 2137 2152 2167 2203 2240 2261 2283D=13 11 17 21 25 25 14 28 24 24 46 17 35 28 44 51 58 58 48 4

12、4 45 44 77 57 5850 50 25 24 32 31 33 33 30 30 32 49 50 75 75 59 59 59 36 36 30 29 25 25 26 43 43 24 24 15 15 15 36 37 21 22E=A./(B-C %日感染率e=sum(E/61 %平均日感染率F=D./(B-C %日治愈率f=sum(F/61 %平均日治愈率运行结果:A =Columns 1 through 1641 11 27 33 31 28 58 27 49 38 42 48 60 51 37 44Columns 17 through 3256 49 45 40 40

13、57 54 36 36 40 39 26 26 45 45 41552 44 44 43 52 52 38 42 26 26 26 37 36 43 44 20 Columns 49 through 6121 21 29 29 27 27 28 28 28 38 39 57 55B =Columns 1 through 8226 237 264 297 328 356 414 441Columns 9 through 16490 528 570 618 678 729 766 810 Columns 17 through 24866 915 960 1000 1040 1097 1151 11

14、87 Columns 25 through 321223 1263 1302 1328 1354 1399 1444 1485 Columns 33 through 401537 1581 1625 1668 1720 1772 1810 1852 Columns 41 through 481878 1904 1930 1967 2003 2046 2090 2110 Columns 49 through 562131 2152 2181 2210 2237 2264 2292 2320 Columns 57 through 612348 2386 2425 2482 2537C =Colum

15、ns 1 through 886 97 114 135 160 185 199 227 Columns 9 through 16251 275 321 338 373 401 445 496 Columns 17 through 24554 612 660 704 749 793 870 927 Columns 25 through 32985 1035 1085 1110 1134 1166 1197 1230 Columns 33 through 401263 1293 1323 1355 1404 1454 1529 1604 Columns 41 through 481663 1722

16、 1781 1817 1853 1883 1912 1937 Columns 49 through 561962 1988 2031 2074 2098 2122 2137 2152 Columns 57 through 612167 2203 2240 2261 2283D =Columns 1 through 1613 11 17 21 25 25 14 28 24 24 46 17 35 28 44 5158 58 48 44 45 44 77 57 58 50 50 25 24 32 31 33Columns 33 through 4833 30 30 32 49 50 75 75 5

17、9 59 59 36 36 30 29 25Columns 49 through 6125 26 43 43 24 24 15 15 15 36 37 21 22e =;然后用 Matlab 软件编程,解常微分方程做出患者人数比例 i(t-时间 t/d关图, 健康者比例 s(t-时间 t/d关系图 ,患者人数比例 i-健康者比例 s 图 。采用常微分方程数值求解的方法,预测之后的疫情,并绘制出曲线。 设计程序为:M 文件function wo=bean(t,xwo=-0.17397045*x(2 0;0.17397045*x(2 -0.16403038*x;命令:t,x=ode45(bean,

18、0,460,0.9972,0.0028t=Columns 1 through 60 5.3145 10.6290 15.9435 21.2580 32.7580 Columns 7 through 1244.2580 55.7580 67.2580 78.7580 90.2580 101.7580 Columns 13 through 18113.2580 124.7580 136.2580 147.7580 159.2580 170.7580 Columns 19 through 24182.2580 193.7580 205.2580 216.7580 228.2580 239.7580

19、Columns 25 through 30251.2580 262.7580 274.2580 285.7580 297.2580 308.7580 Columns 31 through 36320.2580 331.7580 343.2580 354.7580 366.2580 377.7580 Columns 37 through 42389.2580 400.7580 412.2580 423.7580 435.2580 441.4435 Columns 43 through 45447.6290 453.8145 460.0000x =Columns 1 through 30.9972

20、, 0.0028 0.9946, 0.0020 0.9918, 0.0031Columns 4 through 60.9889, 0.0032 0.9859, 0.0034 0.9790, 0.0036Columns 7 through 90.9717, 0.0039 0.9640, 0.0041 0.9560, 0.0042Columns 10 through 120.9479, 0.0043 0.9398, 0.0043 0.9318, 0.0042Columns 13 through 150.9240, 0.0041 0.9166, 0.0039 0.9096, 0.0037Column

21、s 16 through 180.9031, 0.0034 0.8972, 0.0032 0.8918, 0.0029Columns 17 through 210.8869, 0.0026 0.8826, 0.0023 0.8788, 0.0020Columns 22 through 240.8755, 0.0018 0.8726, 0.0015 0.8700, 0.0013Columns 25 through 270.8679, 0.0012 0.8660, 0.0010 0.8644, 0.0009Columns 28 through 300.8631, 0.0007 0.8619, 0.

22、0006 0.8609, 0.0005Columns 31 through 330.8601, 0.0004 0.8594, 0.0004 0.8588, 0.0003Columns 34 through 360.8583, 0.0003 0.8578, 0.0002 0.8575, 0.0002Columns 37 through 390.8572, 0.0002 0.8569, 0.0001 0.8567, 0.0001Columns 40 through 420.8565, 0.0001 0.8564, 0.0001 0.8563,0.0001Columns 43 through 450

23、.8562, 0.0001 0.8562, 0.0001 0.8561, 0.0001 i=x(:,2; plot(t,i,g- xlabel(时间 t/d,ylabel(患者比例 i title(i-t关系图 s=x(:,1; plot(t,s,k- xlabel(时间 t/d,ylabel(健康者比例 s title(s-t关系图 plot(s,i,r- xlabel(健康者比例 s,ylabel(患者比例 i title(i-s关系图 y=dsolve(Dy=1/x/1.06058937-1,y(0.9972=0.0028,xy=即为 i=1/*ln(s/s0-s+s0+i0=1/1.0

24、6059894*ln(s/0.9972-s+1图一 患者比例 i-时间 t 关系图 图二 健康者比例 s-时间 t 关系图 图三 i-s关系图 由以上分析可知： (1不论初始条件So 、io如何，患者人数终将消失，即i=0从相轨线图形上 看，无论从哪一点出发，i(t终将与s轴相交(t充分大. (2最终未感染者的比例是S，在式(3中令i=0，得到S是方程 (So+io一S+1/ *lnS/So=0 (4 在(0,1/ 内的根， 在图形上S是相轨线与s轴在(0,1/ 内交点的横坐标， 此 例中S约为0.85 (3若So1/ ，则i(t先增加，当S=1/ 时，i(t达到最大值 I(max=So+io-1/ (1+In So (5 然后i(t减小且趋于0，s(t则单调减小至S；若So1/ 时传染病就会蔓延而减小传染期接触数 即提高定值1/ ， 使得知So1/ ， 从式(4、 式(5可以看出， 减小时，S增加，I(max降低，也控制了蔓延的程度 另外， s= s/ 是传染期内的一个患者传染的健康者的平均数， 称为交换 数，其含义是一个患者被 s个健康者交换所以当So=1/ ，即 So=1，必有 s=