大学物理振动

1、113.2简谐振动的能量简谐振动的能量一、简谐振动的动力学特征一、简谐振动的动力学特征二、简谐振动的运动学方程二、简谐振动的运动学方程(用余弦函数表示用余弦函数表示)四、简谐振振动的矢量表示法四、简谐振振动的矢量表示法一、简谐振动的能量一、简谐振动的能量13.1 简谐振动的描述简谐振动的描述三、简谐振振动的三、简谐振振动的 x-t 图和相轨迹图和相轨迹第十三章振动学基础（第一讲）第十三章振动学基础（第一讲）大学物理（二）大学物理（二）主讲：陈秀洪主讲：陈秀洪2一、简谐振动的动力学特征一、简谐振动的动力学特征 振动振动:物体在平衡位置附近往返运动称为振动物体在平衡位置附近往返运动称为振动,或或机

2、械振动机械振动.广义地说广义地说,物理量随时间作周期性变化都物理量随时间作周期性变化都可以视为振动可以视为振动.以弹簧振子为例引出以弹簧振子为例引出:mk0 x以平衡位置为原点以平衡位置为原点,建立图示坐标建立图示坐标质点在线性回复力的作用下质点在线性回复力的作用下,做简谐振动做简谐振动.22dtxdmkx mk 20 令令02022 xdtxd 称为简谐振动的动力学特征方程称为简谐振动的动力学特征方程 由胡克定律由胡克定律:kxf fx13.1 简谐振动的描述简谐振动的描述3 gmT例题例题1.单摆单摆,摆长摆长 ,质量质量 lm22sin:dtdmlmg 切向切向 sin,5 的情况的情况

3、在在22:dtdmlmg 则则 lgdtd 22 mgf 线性回复力线性回复力lg 20 令令02022 dtd为简谐振动的动力学特征方程为简谐振动的动力学特征方程4co h例题例题2.复摆复摆 如图如图,质量为质量为 的刚体绕的刚体绕o轴自由转动轴自由转动,其对其对o轴的转动惯量为轴的转动惯量为 证明在证明在 刚体的运动为简谐振动刚体的运动为简谐振动. mI 5 证明证明:gm由定轴转动定律由定轴转动定律:22sindtdImgh 5 sin22dtdImgh Imgh 20 令令02022 dtd满足谐振动特征方程满足谐振动特征方程总之总之: 物体在线性回复力的作用下物体在线性回复力的作用

4、下,做简谐振动做简谐振动.动力学特征方程动力学特征方程:02022 xdtxd 0 :由系统由系统自身决定自身决定5谐振子谐振子振动的起因：振动的起因：力学系统具有恢复力力学系统具有恢复力（矩）和惯性的联合（矩）和惯性的联合作用。作用。外界的扰动。外界的扰动。振动持续的原因：振动持续的原因：0 固有角固有角(圆圆)频率频率 任何一个只是稍微偏离平衡状态的稳定任何一个只是稍微偏离平衡状态的稳定系统称之为系统称之为谐振子。谐振子。 对于自由振动的谐振子系统的总机械能对于自由振动的谐振子系统的总机械能是守恒的。是守恒的。6二、简谐振动的运动学方程二、简谐振动的运动学方程(用余弦函数表示用余弦函数表示

5、)02022 xdtxd 由简谐振动的动力学特征方程由简谐振动的动力学特征方程 解得解得:(1)运动方程运动方程:)cos(0 tAx(2)速度速度:)sin(00 tAvxtAa20020)cos( (3)加速度加速度:式中式中:A由振动系统的能量决定由振动系统的能量决定, 由系统自身由系统自身决定决定, 由初始由初始(计时开始时刻计时开始时刻)决定决定.0 注意注意:简谐振动也可以用正弦函数表示简谐振动也可以用正弦函数表示,今后在讨今后在讨论简谐振动的问题时论简谐振动的问题时,我们均我们均采用余弦函数采用余弦函数.1.运动方程运动方程;速度速度;加速度加速度.7它给出了简谐振动的振动范围。

6、它给出了简谐振动的振动范围。(2).(2).周期周期: :T表示表示作一次完全振动所需的时间作一次完全振动所需的时间. 单位单位(SI):S(3)频率频率:表示单位时间内物体完成全振动的次表示单位时间内物体完成全振动的次数。它是周期的倒数数。它是周期的倒数.单位单位(SI):Hz2.描述简谐振动的物理量描述简谐振动的物理量A表示表示物理量离开平衡位置的最大距物理量离开平衡位置的最大距离离。单位单位(SI)(SI)(1).(1).振幅振幅: :m,1T T 220 它们给出了简谐振动往复的它们给出了简谐振动往复的快慢程度。快慢程度。是频率是频率 的的2 倍。倍。(4)圆频率圆频率:0 振子振子:

7、kmT 2 单摆单摆:glT 2 83. 3. 相位和初相位（相位和初相位（位相、周相位相、周相） 确定振动系统在任意瞬时运动状态的物理确定振动系统在任意瞬时运动状态的物理量（任意瞬时的位移和速度）。以量（任意瞬时的位移和速度）。以 表示。表示。dtdxv )sin(00 tA22dtxda )cos(020 tAx20 )cos(0 tAx tt0 00t初相位初相位9注意：注意：相位是相对的；相位是相对的；同相、反相；同相、反相； 超前、落后。超前、落后。例如例如,二同频率不同振幅的谐振动二同频率不同振幅的谐振动:)cos(1011 tAx)cos(2022 tAx101 t202 t相位

8、相位)2(0)1(12 k 或或称二振动为同相称二振动为同相:时刻的相位差时刻的相位差t(初相差初相差)12()2(12 k或或称二振动为反相称二振动为反相0)3(12 称称 振动超前于振动超前于 振动振动;或称或称 振动落后于振动落后于 振动振动.1x2x2x1x21002121() ()tt 10,:202020 vxA 振振幅幅4.振幅和初相的确定振幅和初相的确定 cos0Ax sin00Av :0时刻时刻 t称为初始条件称为初始条件000cossintanxv !: 角角的的正正确确取取值值注注意意 11.)1(图线也称振动曲线图线也称振动曲线tx )cos(0 tAxo)(mx)(s

9、tA0 x0vT.)()2(图线图线相图相图相轨迹相轨迹vx )sin(00 tAv)cos(0 tAx由由得得:22022Avx xvo演示演示三、简谐振振动的三、简谐振振动的 x-t 图和相轨迹图和相轨迹12AA )(tA)0( tAxxo t00 四、四、简谐振振动的矢量表示法简谐振振动的矢量表示法如图如图:振幅矢量振幅矢量 以圆频以圆频率率 绕平衡点绕平衡点 逆时针逆时针方向转动方向转动.A0 oAvm0 20 Aan .,表示一特定的简谐振动表示一特定的简谐振动轴上的投影点运动轴上的投影点运动在在xA)cos(0 tAx 事实上事实上, 和和 同同样可由矢量投影得到样可由矢量投影得到

10、. va)sin()cos(00200 tAtAv)cos()cos(020020 tAtAa0 v0 v1310.2简谐振动的能量简谐振动的能量一、简谐振动的能量一、简谐振动的能量简谐振动系统在振动过程中总机械能是守恒的简谐振动系统在振动过程中总机械能是守恒的.以弹簧振子为例以弹簧振子为例:振子质量为振子质量为 ,劲度系数为劲度系数为 mk)cos(0 tAxmk 0 )sin(00 tAv:时刻时刻t(1)动能动能:)(sin2121022022 tmAmvEk)(sin21022 tkA(2)势能势能:)(cos21210222 tkAkxEp)(cos2102202 tmA(3)总能总

11、能:22022121AmkAEEEpk kEA2 mE210 (4)22011124TPEkx dtkAT 22011124TkEmv dtkAT 14例题例题1.设一物体沿设一物体沿x轴做简谐振动，振幅为轴做简谐振动，振幅为12cm，周期为周期为2.0s；在；在t=0时的位移为时的位移为6.0cm，且这时物，且这时物体向体向x正向正向运动。试求运动。试求：(1) 初相位初相位、振动方程、振动方程;(2) t =0.5s时物体的位置、速度和加速度；时物体的位置、速度和加速度；(3) 在在 x=-6.0cm处，且处，且向向x负向运动时，物体的速负向运动时，物体的速度和加速度，以及它从这个位置到达

12、平衡位置所度和加速度，以及它从这个位置到达平衡位置所用的时间。用的时间。)cos(12. 0 tx cos12. 006. 0:0 时刻时刻则则t3 , 0sin12. 0 v而而3 故故解解据题意设物体的运动方程为据题意设物体的运动方程为 TmA20,12. 0 A0A 02Ax35 或或15(2) t=0.5s时该物体的位置、速度和加速度分别为：时该物体的位置、速度和加速度分别为：mx104. 0)35 . 0cos(12. 0 smv188. 0)35 . 0sin(12. 0 2203. 1)35 . 0cos(12. 0sma (3) 在在x=-6.0cm处，且处，且向向x负向运动时

13、，有负向运动时，有)3cos(12. 006. 0 t34323 或或 t0)3sin(12. 0 tv而而(1) 初相位为：初相位为：3 mtx)3cos(12. 0 323 tt故故16所以物体在该时刻的速度为：所以物体在该时刻的速度为：物体的加速度为：物体的加速度为：323 ttsmtv326. 0)3sin(12. 0 22259. 0)3cos(12. 0smta 物体从这个位置到达平衡位置所用时间为：物体从这个位置到达平衡位置所用时间为：322333 ttstt83. 0 所以所以因平衡位置的相位为：因平衡位置的相位为：233 tA0A 02A t xtt )(0 t17 例题例题

14、2.如图所示，弹簧振子水平放置，弹如图所示，弹簧振子水平放置，弹簧的劲度系数为簧的劲度系数为k，振子的质量为，振子的质量为m 。 假定从假定从弹簧的原长处开始对振子施加一恒力弹簧的原长处开始对振子施加一恒力 f ，经过，经过一段距离一段距离 后撤去外力。试问在外力撤去后，后撤去外力。试问在外力撤去后，振子将作何运动？试求系统的总能量，并写出振子将作何运动？试求系统的总能量，并写出振子位移函数的表达式振子位移函数的表达式 。假定我们从。假定我们从 处开处开始计时。始计时。0 x0 x0 xfoxkm解解 外力撤去后，振子将作外力撤去后，振子将作简谐振动。简谐振动。18系统的总能量为：系统的总能量

15、为：常量常量 0222212121xfxmxkkAE设振子的位移函数为设振子的位移函数为 tmkkxfxcos20从外力撤去时开始计时，振子继续向右运动，从外力撤去时开始计时，振子继续向右运动，fxk2cos01 则则 cos200kxfx 因因0sin200 mxfv此时此时 fxktmkkxfx2coscos2010于是振子的位移函数为：于是振子的位移函数为：kfxkEA022 mk 19例题例题3. 3. 如图为用余弦函数表示的一质点作谐振如图为用余弦函数表示的一质点作谐振动曲线动曲线, , 振动圆频率为振动圆频率为 , ,从初始状态到从初始状态到达状态达状态a a所需时间为所需时间为

16、)(mx)(st033 66 1a 67 st2 解解:对应的旋转矢量图对应的旋转矢量图,3 23 232 2331 t3: 初初相相 67 3232 tst2 xo00 t36st11 ta3 20例题例题4. 质量为质量为0.1kg的小球与轻弹簧组成的弹簧的小球与轻弹簧组成的弹簧振子振子, 按按X=0.1 COS(8t2/3)的规律作谐振的规律作谐振动动,(SI), 求求: (1) 振动周期、振幅、初相及速度、加速度的振动周期、振幅、初相及速度、加速度的最大值；最大值； (2) 求最大弹性力及振动能量求最大弹性力及振动能量.解解(1):),8cos(1 . 032得得由由 tx.;1 .

17、0;25. 0,8322 mAsT).(4 . 6);.(8 . 02221 smAasmAvmm NmaFmm264. 0)2( JmvEm222102 . 321 21例题例题5. 一质点在一质点在X轴上作简谐振动轴上作简谐振动, 选取该质点选取该质点向右运动通过向右运动通过A点时作为计时起点点时作为计时起点(t=0), 经过经过2秒秒后质点第一次经过后质点第一次经过B点点, 再经过再经过2秒后质点第二次秒后质点第二次经过经过B点点, 若已知该质点在若已知该质点在A、B两点具有相同的两点具有相同的速率速率, 且且AB=10cm, 求求 (1) 质点的振动方程质点的振动方程 (2) 质点在质

18、点在A点处的速率点处的速率.xAB 解解:由题意由题意,平衡位置平衡位置o点在点在A,B连线的中点连线的中点.建立图示坐标系建立图示坐标系.依题意依题意,作旋转矢量图作旋转矢量图.o0 tst2 st4 st6 sT8: 周期周期42 T22xAB o0 tst2 st4 st6 )cos(:)1(4 tAx设设振振动动方方程程为为 cos55, 0AcmxtA sin)cos(55,22AAcmxstB 45;25 Acmtx)cos(25:454 振振动动方方程程为为)sin(254544 txv4540sin25 vvA145 scm 23例题例题6. 劲度为劲度为K1的轻弹簧与劲度为的轻弹簧与劲度为K2的弹簧如图的弹簧如图连接连接, 在在K2 的下端挂一质量为的下端挂一质量为m的物体的物体, (1) 证明证明