函数极值求解策略

1、函 数 极 值 求 解 策 略 对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。yxo我们给出问题的一般形式，设axb,求函数的极值。很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。例1 设2x3，求函数的最值。解：若将函数示为分段函数形式。作出函数图像根据图像我们可以判断：当x=0,；当x=3,对此

2、类型问题的思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值，那么过程就非常复杂。那么是否有更简单的方法呢？经过对问题的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。经过比较就得出了极值例如上题：f(2)=7、f(1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、=8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。=maxf(bi)、i=1、2、3n, =minf(bi),i=1、2、3n.二、将极值问题转化为几何问题。运用此方法解决极值

3、问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。1. 转化为求直线斜率的最值。例2 求函数的最值分析 函数解析式非我们常见的函数模型。通过分析我们发现该函数可以看做过点A（3、2）与B（sin、cos）两点直线的斜率。而动点B的轨迹是圆x2+y2=1。因此我们就将问题转化为了求定点（3、2）与圆x2+y2=10上一点连线的斜率的最大值与最小值。通过图形观察，很容易判断动点B在什么位置时取得极值。2. 转化为求距离的极值。例3 分析 当函数关系可以改写为由此可看出，我们很容易看出关系式的几何意义是在x轴上的动点（x、0）到两定点（0、6），（2、2）的距离之差，根据三角形的性质，可以找出动点所

4、处位置使得函数取得极值。3. 将函数关系式转化为解析几何中曲线所对应的方程，从而将函数与解析几何有机的结合起来。例4 求的最值。分析 此函数所表示的几何意义比较隐蔽。但经过分析后，如果我们令 经过消参以后，得此时函数f(x、y)所表示的几何意义就椭圆在第一象限内的图像。所求极值问题就转化为在图像上找一点使得该点的横纵坐标之和最大或最小。此后就可采用椭圆的参数方程解决。例5 若2x+4y=1求x2+y2的最小值分析 函数f(x、y)= x2+y2我们理解为点（x、y）到原点的距离的平方，而动点（x、y）在直线2x+4y=1上移动，那么我们就将问题转化为在直线上找一点，使这一点到原点的距离最小的几

5、何问题。其实质就是求直线到原点的距离。对于此问题，我们就将复杂的二无函数问题转化为简单的解析几何问题。例6 若x2+3y24x+6y+30，则x3y的最值。分析 求二元函数 f(x、y)=x3y在题中约束条件下的最值，如果我们从纯代数的角度入手，那么我们一般会将二元函数转化为一元二次函数，再根据约束条件求出自变量的范围，最终将问题为一元二次函数区间内最值问题。但这样解决此题，计算量较大。我们仔细分析约束条件，将约束条件可以整理为，它表示以x、y为坐标的动点必须在椭圆内或边界。而函数f(x、y)=x3y可以约束区域内有点在直线上的情况下，直线系中哪条直线在y轴截距最大或最小。显然在与椭圆相切的位

6、置，于是我们就将问题简化。结论：在求函数极值的许多实例中，我们都可以用函数图像来解决这一类问题，我们通常称之为数形结合的思想。用数形结合解决函数极值问题的关键在于：深刻理解并挖决函数解析式所隐含的几何意义，能在坐标平面内大致勾画出与之对应的图象，建立解析式与图像之间的对应关系。这种数与形的结合思想优点在于：能深刻理解函数解析式的内涵，且计算简单。三、利用常见的不等式解决有关函数极值的问题。这一类方法在求极值的广泛采用。但具有很强的技巧性，下面介绍几个常见的不等式以及要此方面的运用。1. 如果a1，a2, an是非负数，则当且仅当a1=a2=an时才取等量号。例7 求函数的极大值。解：2. 不等

7、式 （x0 a0）的应用。此不等式是均值不等式的推广，它可以运用于形如 ，这一类函数的极值求解问题。例8 求函数的最值。(x0)分析 通常对此函数采用判别式法求值域，但如果采用判别式法其运算复杂，并且还不能保证所求极值对应的自变量为在定义域范围内。而此题我们经过换元以后可以运用不等式求解。解：令t=x+1, 则函数为(t0) 结论：在运用不等式解决极值问题时，我们应该熟练掌握一些基本不等式，如：均值不等式，柯西不等式等，只有在熟练掌握这些不等式的前题条件下，我们才能灵活运用。四、 用高等数学的方法解决极值问题。近年来，随着高等数学与初等数学的联系日益紧密，用高等数学的方法解决初等数学中函数极值

8、问题被广泛运用。下面我们就从高等数学的观点讨论有关函数极值问题。1. 解方程f(x)=0,如果它的根x1, x2xn是有限个，计算出f(x1),f(x2) f(xn);2. 计算出区间a、b两端点的函数值f(a), f(b);3. 比较f(x1),f(x2) f(xn)，f(a), f(b)的大小，其中最大一个是最大值，最小一个是最小值。在实际问题中，如果在（a ，b）内部f(x)=0的根只有一个x1,而且从实际问题本身又可以知道在（a ，b）内必定有最大值或最小值，那么，f(x1)就是所要求的最大值或最小值，不需要计算出 f(a)和f(b)了。例9 求函数在2、4上的极值。解：f(x)=x2

9、2x+3,令f(x) 0，解得其可能出现极值的点。,比较可知最大值为，最小值例10 设一边长为a的正方形的铁皮，从其各角截去同样的小正方形，做成一个无盖的方盒，问截去多少方能使盒子容积最大？解：设截的小正方形边长为x，则做成方盒容积为y=(x-2a)x（0xa/2）于是问题就归结为求函数在区间内极值问题。运用引理可知在x=a/6是盒子容积最大。五、利用平面几何图形求最值例11 求函数的最小值。分析：本题要求无理函数最值。用代数方法比较困难，若将函数表达变形为；则函数表达式显现为坐标平面上两点间的距离之和。设P（x,0）为 x轴上的点。A（0，2），B（2，1），则,于是本题转化为在x轴上求一点

10、P到点A、B距离之和最短。这就是将代数最值为体转化为平面几何最值问题。由平面几何知识知道，只要作点A关于x轴对称点A连接与x轴的交点P即为所求。易知点P的坐标为（），则=。 所以当时，y的最小值。例12 求函数的值域。解：因，故令，（0），故=+=，提示：从广义上讲，解数学题就是从提设中不断挖掘并利用隐含条件进行推理和变形的过程。已知田间的变形应该是等价变形，相关元素的最值范围不可放大或者缩小，而这是解题者易忽略的地方。六、在复数中求极值的问题例13 复数满足，复数使为纯虚数。求的最大值。解：因为为纯虚数，所以复数对应的点在虚轴上，故有，即，有，故，故的最大值为5。前面着重介绍了六种最重要的求极值方法：数形结合，不等式的运用，导数等。相比较而言，数形结合的方法比较