人教版高一数学必修一至必修四公式

1、人教版高一数学必修一至必修 四公式人教版高中数学必修一至必修四公式（必会）3接:初高中衔和平方： a -b =(£i + b)(a -b)立方和、立方差：和、差平方： (n±b)' = a ± lab + ba2 ±i3 = (a ±Xfl2 + ab + b)和，差立方：(ab + c)-= ct2 +b + c2 + 2ab + 2bc + lac (a-b-c) = a -b+- lab + 2bc - lac(a + b-c)2=a +/> + cJ + 2ab - 2bc- lac (c7 -6 + c)2 =a +b+

2、 c - lab - 2bc + lac韦达定理：设由和三为&C +以+匚=0的两根，那么十工(a + b)3 = 口' ± 5' ± 3口 + 3ab0）元素与集合的关羲 属于后;和小届丁（。（2）集合中元素的特性：确定性、互异性.无序性（3集合的分类：按集合中元素的个数宅少分为才TJ限集、无限集，型集（4）提合的表示方法：列举法、描述出（口煜语寸描述、特征性殖描述,图示法，国间法1 =t XE S,则4三白，即内矩茴忖了集n若集色抻有册元素.则集合确子集有丁牛，其子集宥£一】件 任何一个集合是它本身的子集，即金二尺对于集介4兄C,如果4

3、三乩=。那么/三仁空集是任何集合的（:真）子堪。集必也子型：若以3日必,战即至少存在吃正身1味电用.则/是硒丸子集。集合相等：AqBAB &J=B运第交史并第定义：乂C闩=x/xw却Lw同性痂：AryA=A> Jri0 = 0, gH = Hc4 14 c6 匚凡 Tr1Aq 超 A Aryfi = A 定.义:d2# = xjrw 晶虹w用：性腹：AkJjf=jft JU0= A, AkjB-=. BvjA,口834 小月=法 AqH=x2*=匕Card( 4 u 阴=Catci( A+Cuni(B- CardA n 用定义：£,二l/X£口且I星哥二彳补维

4、性质；川门闻二0孤；用d= Cr （C； .4） = （；（金门由二£ #媪©.团rG，du81 =G T）EG 用恒成立问题:人教版高中数学必修一至必修四公式（必会）a/ +以+ e>OS*0）在R上恒成立的条件门>0且+辰+ ±y 0（口黄0）在火上成立的条件为口 <0旦<（）.5n当n为奇数时:万=公当"为偶数时:疗=同=1""'。； T 1.口 >0,夜、/? e N且阳>1） 一 a <00=口州,/一口g>o,八窜 £0M"）'="

5、;"g>o,八一?（>。，方 >0；1三。）对勾函数单调区间公式：对勾函数基本形式：）=*+£,在X(-QOt0) vj (0,4ao)上 单调递增：（-,-V7）5而单调递减二（-而,0） 50,新）对数函数:logi n Ilogtf b log a = 1log” 1 = 0/ 6呜 ' =N(N、a > OHdr 1)1/ 11og/ 二 一 log” Qd d c c(。、/)>0lU>D jlog力一n-log” - = -log 后=0gti ;c 7 c - a 7 dahab(a. M. N>G且"

6、;工)In jc = logL. x(x > 0),，lne= logt, e = llogrt用"二月log4四log/",=logflZ?m（。、b、m > 0, 用三尺,且&K1） ,log b = (a b、e > 0,且0、 log. a"M换底公式）像（必须熟）人教版高中数学必修一至必修四公式（必会）7指数函数y=ax a 0,a= 1对数数函数y = log a x a 0, a = 1定义值域图象x Rx 0,y 0,a <1I1ft过定点（0,1）过定点（1,0）减函数增函数减函数增函数性质：. =p qp为奇数

7、q为奇数W（-°o,0）时，yW（1,F）（0,二）时，y （0,1）a : b亡（血,0）时，yE（0,1）W（0,此）时，yE（1,Fx （0,1）时,y （0,二）x （1，二）时，y （七1,0）x （0,1）时,y （-二,0）x （1，二）时,y （0,二）a b募函数y =x（ R）o二二i奇函数第一象限减函数增函数过定点性质(Q1 )判断奇偶函数：若f（x）= f（-x）则为偶函数，若f（-x）= -f（x）则为奇函数(奇函数f(0)=0)判断单调函数：在定义域内设Xi”,化简f（Xi）- f（X2）,若 f（xi） -f（X2）0Wf（Xl） f（X2）则认为该函数

8、在其定义域内单调递减）若f （Xi） -f（X2） 0即f （Xi） f（X2）则认为该函数在其定义域内单调递增。若在定义域内设 XiAX2,化简 f（Xi）- f（X2），若 f（Xi） - f（X2）。即 f（Xi）A f（X2）则认为 该函数在其定义域内单调递增，若f（X1）-f（X2）0SPf（X1） f（X2）则认为该 函数在其定义域内单调递减。（具体情况具体定） 函数的周期：若f（X+T） = f（X）,则T为函数周期。必修二：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：X轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与X轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾

9、斜角的取值范围是 0° WaV 1800（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条 直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k=tana。斜率反映直 线与轴的倾斜程度。当 a w 0 ：90 二时 , k20；当 aw（90：180。）时 , k<0； 当 a= 90 二时）k 不存在。过两点的直线的斜率公式：k二一1（X1=X2） X2 _ x1注意下面四点：（1当XLX2时，公式右边无意义，直线的斜率不 存在，倾斜角为90（2）k与Pc P2的顺序无关；（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由 直线上两点的坐标直接求得；（4）求直线的倾斜角可由直

10、线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式：y f =k（x 直线斜率k,且过点（xa）注意：当直线的斜率为0°时，k=0 ,直线的方程是y二y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程 不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于X1,所以 它的方程是X=X1。斜截式：y=kX+b,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b两点式：干三（Xi#X2,y02）直线两点a，yi）,（X2,y2） y2 -y1 X2 -X1截矩式：X （=1a b其中直线l与x轴交于点（叫与y轴交于点（0,b）,即l与X轴、y轴的 截距分别为a，b。一般式：AX + By+C=0

11、 （A, B不全为0）注意：。各式的适用范围特殊的方程如:人教版高中数学必修一至必修四公式(必会)平行于x轴的直线：y=b (b为常数)； 平行于y轴的直 线：x = a (a为常数)；(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线Ax + Boy+Co=0 (MB。是不全为0的常数)的直线系：Aox + Boy+C=0 (C为常数)(二)过定点的直线系(i )斜率为k的直线系：y-yo = k(x-xo),直线过定点(X0,y°);(ii )过两条直线 li：Ax + Biy+Ci=0, l2：A2x + B2y + C2 = 0 的交点的直线系方程为(A

12、x + Biy+CiJ+Mx+y+G )=0 (久为参数),其中直线L不在直线系中。(6)两直线平行与垂直当 li : y =kx+b, , I2 ： y =k?x+bz 时,li /I2 u ki =k2,bi #b2 ； li _Ll2 u kik2 =1注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。(7)两条直线的交点li : A,x +Biy +Ci =0 I2 Ax + Bzy+C2 =0 相交交点坐标即方程组：儿"r+&=0的一组解。A2x +B2y +C2 =0方程组无解-Iil2 ；方程组有无数解li与I2重合(8)两点间距离公式：设A(xi,y

13、i), Bxz,yj是平面直角坐标系中的两个点，贝I | AB|=1(x2 -xi)2 (y2 -yi)2(9)点到直线距离公式：一点P(x0,y0)到直线Ii：Ax + By+C=0的距离d=Ax0 702cA2 - B29人教版高中数学必修一至必修四公式(必会)(10)两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。O设直线li =Ax +By+ C1 =0,12 = Ax + By +C2；则两点间的距离为d = I。1 "21 (A、B都相等),A2 B2二、圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫 圆，定点为圆心，定长为圆的半径

14、。2、圆的方程(1)标准方程(xa)2+(y-b2=r2,圆心(a,b),半径为；(2) 一般方程 x2 + y2+Dx+Ey + F =0当D2 +E2 4F >0时)方程表示圆)此时圆心为 个"半径为 221 22r = D 2 - E2 -4F2当D2 +E2-4F =0时，表示一个点；当D2 + E2-4F <0时，方程不表示任何图形。(3)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a, b, r；若利用一般方程，需要求出 D, E, F;另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆

15、心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：(1)设直线 l : Ax+By+C =0 ,圆 C:(x-aj+(y-bf=r2,圆心 C(a,b)到 | 的距11离为d =竺竺草 则有drul与C相离；=仁1与加目切；<仁1与的目交 _.A2 B21 : Ax +By +C = 0 .圆 C : (x ，元二次方程之后， <0u 1与C相离；A=0u 1与C相切： 岗上巴点的历纣嗡至港里D员xV。xxo 一为共审用士 IJ别一一”.，A>0u 1与C相交 生原点壬包便田分 心，捐)表示切点坐标)XX。士yy。/去解

16、直线与 r表示半径；(xo, y°),则过此点的切线方程为2=二推池2.我1。上觎扁半(右1部毕®ffl(x；a)+(y- 前口出 熊断禧当d a R + r弱27E。C2 : x - a 过两囱斗,与圆心距(d)之d- = R +i时不 线一条；R - r ： d 二 R一翳四劄卜公切线两条，内公切线;R -r二 R -rr时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外柳腮产心簟器点湍赢条公切线;柱体、锥体、台体的表面积与体积(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长，h为h为斜1为母线)S直棱柱侧面积=chS圆柱侧1- 2 rh S

17、正棱锥侧面积=2 chSa锥侧面积 =-：r1C1/3Se棱台侧面积 =2(ci C2)hS圆柱表=2二r r , 1台侧面积=(rR)二1S圆锥表=-：r r ,1Sa台表二二rr1 R1 R2(3)柱体、锥体、台体的体积公式V柱=ShV圆柱=Sh = r2 h、，1c，V锥二一 S h31-2,V圆锥"nr h3V台=1(SSS S)h%台(S' SS S)h二(r 2 rR R )h2 33(4)球体的表面积和体积公式:S球面=4nR2(5)关于平面的公理：公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是人教版高中数学必修一至必修四公式(必会)所有的点都在这个平面

18、内。公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：系：交：平行于同一条直线的两条直线互相平行,那么它们有且只八旺占雪翦矍诲&两个平面公共点之间的关 你惭:&在直线上，即证若干个点共线的重要依乙面祖互相平行异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线口平面内的两条直线17 异面直线性质：既不平行，又不相交。 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面 内不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角：直线a、 b 是异面直线，经过空间任意一点O,分别引直线a'/ a, b'/ b,则把直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线

19、a 和 b 所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90 ° ，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：根据异面直线的定义；异面直线的判定定理（ 2）在异面直线所成角定义中，空间一点O 是任取的，而和点 O 的位置无关。求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角（ 7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。（8）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行

20、的判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行一面面平行），如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两 个平面平行。（线线平行一面面平行），垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理 如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面 平行。（面面平行一线面平行）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平 行。（面面平行一线线平行） 平面内的两条相交直线都垂 手一个平面，那么这两条直线 理个平面的一条垂线，那么这 草田那么在一个平面内垂直于 平面。（10）空间两点距离坐标公式：d = J（ xz - xi ）2 +也-y

21、i ）2 +益-zi ）2必修三：秦九韶算法:回归直线方程:ft S / -nx “isianx an 1x .al!anx anxan -2 x x a2 x al必修四：芷角：按逆时针方向旋转形成的角1、任意角根角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：不作任何旋转形成的角2、角。的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终 边落在第几象限，则称a为第几象限角.第一象限角的集合为卜k 360， <a <k 360，'+90、kw Z第二象限角的集合为 缶k 360，+90，,<k 360，十180%kw Z第三象限角的集合为L k 360，+180，"k

22、 360，+270:,k= Z)第四象限角的集合为hk 360：270，<"k 360，1 +360, kw Z终边在x轴上的角的集合为 何a=k1801kwz终边在y轴上的角的集合为小=k 180'+90,YZ终边在坐标轴上的角的集合为<«|«=k 90,武力3、与角a终边相同的角的集合为 邛B=k 360+%kwZ4、关于扇形的计算公式：l=/,2/R = 2|a|R； S =R2=NR2=1Rl2冗2冗22l 弧长a 圆心角(弧度制R扇形半径S面积弧度制与角度制的换算公式：2n =360，,sins/cosatana=y(x¥0

23、)(X为该点到y轴的距离,y为该点到X rrx轴的距离=&")象 限一二四a0花6冗4花3Tt22兀337t45兀6兀37t2兀sin民+-sina012旦73 V1v-2-120-10cos民+-+cosa1羽2立21201-2五233 2-101tana+-+-tana0"331- 33-1<3 30X022sin22sin -21sin a +cos a =1；sinot =cosatana；=tanot；cosa =±1 -sin a；sina =±V1 - cos a；cosa =；1 + tan a ='2cos，tan

24、 工cos 二诱导公式：（k Z）sin(口 +k *2兀)=sin n；sin(兀-a) =sin n；sin(几+口) = -sina；sin( +仪)=cos«sin( 口) = cos« ;sin(-«) = -sin«inincos(a +k *2兀)=cosc(；cos(n -ct) = -cosa；cos(n +u) = -cosa；cos( +a) =-sina；cos(- -a) = since；cos()=cosa 22tan(a +k *2n) = tan a；tan(n a) = -tan«tan(n +ct) = ta

25、na；tan(-a ) = - tana函数形式周 期对称 中心对称 轴方 程函数形式周 期对称 中心对称 轴方 程人教版高中数学必修一至必修四公式（必会）y = Asin(cox +中)2 nFl（kn,0）使（ox十中）=同 求出 的x即 为对 称中 心的 横坐 标x = knji+ _2使（ox +中）=kn + 2求出 的x 即为 对称 轴的 横坐 标函数 形式单调递增区间y =sin xjin.|2kn -一,2E + (k w Z)22 _y =cosx6kn,2knk w Z)y =tanxjin,产3，+_ (keZ)y = Acos(«x +中)2nFln c、 （

26、kn +- ,0）2 使 ©x +中）=ku +2L2求出 的x即 为对 称中 心的 横坐 标x = kn 使（ox +邛）=E求 出的 x即 为对 称轴 的横 坐标单调递减区间奇偶 性3, 3! 1 _ _.|2kn +,2内 + (k w Z) 122 一奇bkn +n,2kn +2冗k 亡Z)偶无单调递减 区间奇（注：以上两个表格中的k皆属于Z） 和差公式：19人教版高中数学必修一至必修四公式(必会)/ 二、 ：. ： . , : .:， ：、tan -二tan -cos(。± P) = cosot cos P +sin a sin P;sin(a ±户)=

27、sin a cos 户 士cosot sin P;tan(a ± p )=-1 - tan: tan :1 二 tan 二1 二 tan 二JC= tan(一：)4asin :工 bcos =.a2 b2 (a . sin ：.a2 b2/2b 2 cos豆)(辅助角,a b23公式）万能公式:（不考，也不常用，作为了解）CL2tan 一sin ：=2, 2 ：1 tan 一. 2 :1 -tan 2 .；cos=；tana =2半角倍角公式:, 2 ：1 tan 一 2ct2tan2.asinu+bcosa2 ：1 - tan 一2:a2b2 sinQ ' ' &#

28、39;)倍角:sin 2a =2sin a cosa ;tan 2口2 tan ：-2. 2,、2;cos2。=cos a sin a = (cosa +sina)(cosa -sina)1 一 tan ;22222cos20( = 2cos a _ =1 _2sin 汽;1 ± sin 2久=sin « + cos a 2 2sina cosa = (sin a + cosa )/ 八八2, 八八.21.八 21 cos2 1.21 -cos2：1+cos2a =2cos «1 -cos2ot =2sin a；sina coset =-sin2ct;cos a

29、=;sin a =222半角:.1 J1 - cos a asin 一 =;cos 222J1 +cosa , a ；1 -cos«；tan一 222 A 1 + cosa_ 1 - cos - _ sin ;sin -1 cos-,c2，c .2-21+cosa =2cos ;1cosa =2sin ;1 ±sin 口 = (sin ± cos)2222积化和差公式：(高一不要求掌握)sin «cos P = bin(a + P) +sin(久 一 B) cosa sin P = bin® + P) sin(a -B )】 22cos a c

30、os P Ls® + 口)+ cos(a 一 B)! sin 久 sin B = Qos(a + B) coa(a 一 口)】 22和差化积公式：（高一不要求掌握）口 sin 8 +sin 5=2sincos;sin 8 sin 中=2cossin2222（三角函数线配图）cos8 +cos 中=2cossin；cos8 cos 中=-2sinsin2222三角函数线:sina =MP ) cosa = OM ) tana =AT定义域值域最值周期性奇偶性单调性R1-1,11当 x = 2k二万 k Z 时 v m当y max 1 )|冗x =2k" -2(kw Z)时,y

31、min=1.2 二奇函数(k-Z )上是增函数；在二3 二2k二一，2k二22R1-1,11当 x=2kn(kwZ )时, ymax=1；当 x = 2k"n (YZ)时)ymin =1 .2 二偶函数冗xx#kn 十一，kw,I 2 JR既无最大值也无最小值奇函数在12k二-二，2 k二 I k 二 i 是增函数；在 12k 二,2k二二 1(YZ )上是减函数.在 k7 -J,k-：(k-2 )上是增函 数.三角函数图像(需记牢)（一Z ）上是减函数.对称中心对称中心对称中心对称k，0二k1k：,0 k .，.，0 k 7性 对 称 轴' 2 ，"'xy（kwZ）对称轴、二）无对称轴向量：加法运算： AB +BC = AC（在三角形中可看懂；ab +ad = AC（在平行四边形中可看 懂）三角形不等式：1a涮坪