向量与三角形五心证明及知识运用(精华版AAA)(共39页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”.（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心

2、）：外心到三角形各顶点的距离相等。2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边.3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合.二、四心与向量的结合（1）是的重心.证法1：设 是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心（2）为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.同理，为的垂心（3）设,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.证明：分别为方向上的单位向量，平分,)，令（)化简得 （4）为

3、的外心。典型例题：例1、是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心分析：如图所示，分别为边的中点. /点的轨迹一定通过的重心，即选.例2、（03全国理4）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ B ）A外心 B内心 C重心 D垂心分析：分别为方向上的单位向量，平分,点的轨迹一定通过的内心，即选.例3、是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ） A外心 B内心 C重心 D垂心分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.=+=0点的轨迹一定通

4、过的垂心，即选.例4、已知点G是内任意一点,点 M是所在平面内一点.试根据下列条件判断G点可能通过的_心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”). (1)若存在常数,满足,则点G可能通过的_.(2)若点D是的底边BC上的中点,满足,则点G可能通过的_.(3)若存在常数,满足,则点G可能通过的_.(4)若存在常数,满足,则点G可能通过的_.例5、若O点是的外心, H点是的垂心,且,求实数m的值.练习1：1已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（ ）A2 B C3 D62若的外接圆的圆心为O，半径为1，则( )A B0 C1 D3点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（

5、）A0 B C D4的外接圆的圆心为O，若，则是的（ ）A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 5是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心6的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 7（06陕西）已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则ABC为( )A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形 D等边三角形8已知三个顶点，若，则为（ ）A等腰三角形 B等腰直角三角形C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C练习2： 举一反三：通过上述例题及解答,我们可以总结出关于

6、三角形“四心”的向量表达式.若点为内任意一点，若点满足:1;2.两点分别是的边上的中点,且;3. ;4. .高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )5已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足= (+2),则点P一定为三角形ABC的 （ B ）A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心 D.AB边的中点6.B取AB边的中点M，则，由= (+2)可得3，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.7.在同一个平面上有及一点满足关系式： ，则为的 （  D &

7、#160;） 外心 内心 C 重心 D 垂心8.已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：，则P为的 （  C  ） 外心 内心 C 重心 D 垂心9已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过ABC的 （  C  ） 外心 内心 C 重心 D 垂心10已知ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：，则P点为三角形的 （  D   ） 外心 内心 C 重心 D 垂心11已知ABC，P为三角形所在平面上的

8、一点，且点P满足：，则P点为三角形的 （ B   ） 外心 内心 C 重心 D 垂心12在三角形ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过ABC的： （ B ） 外心 内心 C 重心 D 垂心13.已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则ABC为( )A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形解析：非零向量与满足()·=0，即角A的平分线垂直于BC， AB=AC，又= ，A=，所以ABC为等边三角形，选D14.的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 115.点O是三角

9、形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（B）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点三角形“四心”向量形式的充要条件应用1、O是的重心;若O是的重心，则。故;为的重心.2、O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，则故3、O是的外心(或)若O是外心。4、O是内心的充要条件是：引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成： ；O是内心的充要条件；若O是的内心，则；故;的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；范 例(一)将平面向量与三角形内心结合考查ACBCCP例1O是平面上的一定点

10、，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（ ）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为， 又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2 H是ABC所在平面内任一点，点H是ABC的垂心.由,同理，.故H是ABC的垂心. （反之亦然（证略）例3.(湖南)P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的（D）A外心B内心C重心D垂心解析:由. 即则所以P为的垂心. 故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直

11、线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4 G是ABC所在平面内一点，=0点G是ABC的重心.证明 作图如右，图中连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=0，得=0，故G是ABC的重心.（反之亦然（证略）例5 P是ABC所在平面内任一点.G是ABC的重心.证明 G是ABC的重心=0=0，即由此可得.（反之亦然（证略）例6若 为内一点， ，则 是 的（   &#

12、160; ）A内心           B外心        C垂心          D重心解析：由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则，由平行四边形性质知，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为。本题

13、在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。(四)将平面向量与三角形外心结合考查例7若 为内一点，则 是 的（     ）A内心           B外心        C垂心          D重心解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。

14、故 是 的外心 ，选B。点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。(五)将平面向量与三角形四心结合考查例8已知向量，满足条件+=0，|=|=|=1，求证 P1P2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五B组第6题）证明 由已知+=-，两边平方得·=， 同理 ·=·=， |=|=|=，从而P1P2P3是正三角形.反之，若点O是正三角形P1P2P3的中心，则显然有+=0且|=|=|.即O是ABC所在平面内一点，+=0且|=|=|点O是正P1P2P3的中心.例9在ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证

15、：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF由题设可设,即，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。例10若O、H分别是ABC的外心和垂心.

16、求证 .证明 若ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.，.又垂心为H，AHCD，CHAD，四边形AHCD为平行四边形，故.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11 设O、G、H分别是锐角ABC的外心、重心、垂心.求证 证明 按重心定理 G是ABC的重心 按垂心定理 由此可得 .补充练习1已知A、B、C是平面上

17、不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足= (+2),则点P一定为三角形ABC的 （ B ）A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心 D.AB边的中点1. B取AB边的中点M，则，由= (+2)可得3，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.2在同一个平面上有及一点满足关系式： ，则为的 （  D  ） 外心 内心 C 重心 D 垂心2已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：，则P为的 （  C  ） 外心 内心 C 重心 D 垂心3已知O是平

18、面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过ABC的 （  C  ） 外心 内心 C 重心 D 垂心4已知ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：，则P点为三角形的 （  D   ） 外心 内心 C 重心 D 垂心5已知ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的 （ B   ） 外心 内心 C 重心 D 垂心6在三角形ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过ABC的： （ B ） 外心 内心

19、C 重心 D 垂心7.已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则ABC为( )A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形解析：非零向量与满足()·=0，即角A的平分线垂直于BC， AB=AC，又= ，A=，所以ABC为等边三角形，选D8.的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 19.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（B）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点10. 如图1，已知点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N

20、两点，且，则。ABCMNG图1 证: 点G是的重心，知O，得O，有。又M，N，G三点共线（A不在直线MN上）， 于是存在，使得， 有=，得，于是得。三角形中与向量有关的问题1、课前练习1.1已知O是ABC内的一点，若，则O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心1.2在ABC中，有命题；若，则ABC为等腰三角形；若，则ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是 A、 B、 C、 D、2、知识回顾 2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法 2.2 向量的有关性质； 2.3 上述两者间的关联 3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题例1、已知ABC中，有和,试判断

21、ABC的形状。练习1、已知ABC中，B是ABC中的最大角，若，试判断ABC的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例2、已知O是ABC所在平面内的一点，满足，则O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例3、已知P是ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心练习2、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足，则动点P 的轨迹一定通过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心例4、已知O是ABC所在平面内的一点，动点P满足，则动点P一定过ABC

22、的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心练习3、已知O是ABC所在平面内的一点，动点P满足，则动点P一定过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心例5、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且，求证：6、作业1）已知O是ABC内的一点，若，则O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心2）若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则等于 A、 B、0 C、1 D、3）已知O是ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是a、b、c若，则O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心4）已知P是ABC所在平面内与A不重合的一点，满足，则P是AB

23、C的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 5）平面上的三个向量、满足，求证：ABC为正三角形。6）在ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM2，求三角形四心与向量的典型问题分析一、“重心”的向量风采【命题1】 已知是所在平面上的一点，若，则是的重心如图.M图图【命题2】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则的轨迹一定通过的重心.【解析】 由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图.二、“垂心”的向量风采【命题3】 是所在平面上一点，若，则是的垂心【解析】 由，得，即，所以同理可证，是的垂心如图.图 图【命题4】 已知是平面上一定

24、点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的垂心【解析】 由题意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图.三、“内心”的向量风采【命题5】 已知为所在平面上的一点，且， 若，则是的内心图图【解析】 ，则由题意得，与分别为和方向上的单位向量，与平分线共线，即平分同理可证：平分，平分从而是的内心，如图.【命题6】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的内心【解析】 由题意得，当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图.四、“外心”的向量风采【命题7】 已知是所在

25、平面上一点，若，则是的外心图图【解析】 若，则，则是的外心，如图。【命题7】 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的外心。【解析】 由于过的中点，当时，表示垂直于的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图。向 量 专 题 复 习一、与三角形“四心”相关的向量问题题1：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过ABC的A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心解：由已知得，是方向上的单位向量，是方向上的单位向量，根据平行四边形法则知构成菱形，点P在BAC的

26、角平分线上，故点P的轨迹过ABC的内心，选B. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m练习：在直角坐标系xoy中，已知点A(0,1)和点B(3, 4)，若点C在AOB的平分线上，且，则=_.略解：点C在AOB的平线上，则存在使=, 而，可得，.题2：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心解：由已知得，设BC的中点为D，则根据平行四边形法则知点P在BC的中线AD所在的射线上，故P的轨迹过ABC的重心，选C.题3：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,

27、 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心解：由已知得，由正弦定理知，设BC的中点为D，则由平行四边形法则可知点P在BC的中线AD所在的射线上，所以动点P的轨迹一定通过ABC的重心，故选A .题4：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心解：由已知得，= 0，即APBC，所以动点P的轨迹通过ABC的垂心，选B.题5：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, , 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A. 重心 B

28、. 垂心 C. 外心 D. 内心解：设BC的中点为D，则，则由已知得，= 0 . DPBC，P点在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹通过ABC的外心. 选C .题6：三个不共线的向量满足=+) = 0，则O点是ABC的( )A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心解：表示与ABC中A的外角平分线共线的向量，由= 0知OA垂直A的外角平分线，因而OA是A的平分线，同理，OB和OC分别是B和C的平分线，故选C .题7：已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为ABC的外心，动点P满足，则P的轨迹一定通过ABC的( )A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. AB边的中点解：= =,由平行四边形

29、法则知必过AB边的中点，注意到，所以P的轨迹在AB边的中线上，但不与重心重合，故选D.题8：已知O是ABC所在平面上的一点，若= 0, 则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心解：若= 0, 则，以、为邻边作平行四边形OAC1B，设OC1与AB交于点D，则D为AB的中点，有，得，即C、O、D、C1四点共线，同理AE、BF亦为ABC的中线，所以O是ABC的重心. 选C .题9：已知O是ABC所在平面上的一点，若(其中P为平面上任意一点), 则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心解：由已知得，即= 0，由上题的结论知O点是ABC的重心. 故

30、选C .题10：已知O是ABC所在平面上的一点，若，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心解：由，则，即，得，所以. 同理可证，. O是ABC的垂心. 选D.题11：已知O为ABC所在平面内一点，满足=，则O点是ABC的( )A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心解：由已知得= 0= 0，. 同理，. 故选A .题12：已知O是ABC所在平面上的一点，若= 0，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心解：由已知得：= 0= 0. 所以O点是ABC的外心. 选A .题13：已知O是ABC所在平面上的一点，若= 0，则O点是ABC的

31、( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心解：，则= 0，得. 因为与分别为和方向上的单位向量，设，则平分BAC. 又、共线，知AO平分BAC. 同理可证BO平分ABC，CO平分ACB，所以O点是ABC的内心.题14：已知O是ABC所在平面上的一点，若(其中P是ABC所在平面内任意一点)，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心解：由已知得=，=，由上题结论知O点是ABC的内心. 故选B.题15：设O为ABC的外心，G为ABC的重心，求证：.证明：根据题9中P点的任意性即可证得. 证明略.A BCOH D题16：设O为ABC的外心，H为ABC的垂心，则.证

32、明：在ABC的外接圆O中作直径BD，连接AD、DC，则有：, ADAB, DCBC, 又H是垂心，则AHBC, CHAB, CHAD, AHDC, 于是AHCD是平行四边形，. .练习1：ABC的外接圆的圆心为O，两边上的高的交点为H，=，则实数m =_.解1：由上题结论知m = 1.解2：O为ABC的外接圆的圆心，所以，又H为三角形的垂心，则，故，设. 则，又=，所以m=1.练习2：ABC中，AB=1, BC =, CA = 2, ABC的外接圆的圆心为O，若，求实数的值.解：，两边平方得. 分别取AB、AC的中点M、N，连接OM、ON. 则=.又O为ABC的外接圆的圆心，则= 0，即有.同

33、理有= 0，得. 解得，.二、与三角形形状相关的向量问题题17：已知非零向量与满足= 0且，则ABC为( )A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形解：由= 0，知角A的平分线垂直于BC，故ABC为等腰三角形，即|AB| = |AC|；由，= 600 . 所以ABC为等边三角形，选D .题18：已知O为ABC所在平面内一点，满足，则ABC一定是( )A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形 D. 等边三角形解：由已知得，可知以AB与AC为邻边的平行四边形是矩形，所以ABAC，选B .题19：已知ABC，若对任意，则ABC( )A. 必为

34、锐角三角形 B. 必为钝角三角形 C. 必为直角三角形 D. 答案不确定解法1：，式右边表示A、C两点之间的距离，记，则式左边表示直线BC外一点A与直线BC上动点P之间的距离，由恒成立知，A在直线BC上的射影就是C点，所以ACBC，故选C .解法2：令，过点A作ADBC于点D, 由，得，令f (t) =，则f (t)恒成立，只要f (t)的最小值大于或等于，而当t =时，f (t)取最小值，此时：，即，从而有| AD | | AC | , , 故选C.题20：已知a, b, c分别为ABC中A, B, C的对边，G为ABC的重心，且= 0, 则ABC为( )A. 等腰直角三角形 B. 直角三角

35、形C. 等腰三角形 D. 等边三角形解：G是ABC的重心，= 0, 又= 0, = 0, 即= 0 ., 不共线，a c = b c = 0, 即a = b = c. ABC为等边三角形. 选D.三、与三角形面积相关的向量问题命题：平面内点O是ABC的重心，则有 .题21：已知点O是ABC内一点，= 0, 则：(1) AOB与AOC的面积之比为_；(2) ABC与AOC的面积之比为_；(3) ABC与四边形ABOC的面积之比为_.解： (1) 将OB延长至E，使OE = 2OB，将OC延长至F，使OF = 3OC，则= 0, 所以O是AEF的重心. ，.(2) ，=，又, .(3) =， .四

36、、向量的基本关系(共线、垂直、夹角)命题：A、B、C三点共线，且(O为平面上任一点).题22：在ABC中，已知D是AB边上一点，若，则=( )A. B. C. D.ABCMONE解：由上述命题的结论可知选A .题23：如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，则m + n =_.解1：取特殊位置. 设M与B重合，N与C重合，则m=n=1, 所以m+n=2.解2：=，M、O、N三点共线，,m + n = 2.解3：过点B作BEAC, 则，.又，1 m = n 1, m + n = 2 .GABCMPQ题24：如图，已知点G是ABC的重心，若过AB

37、C的重心，记= a,= b, = ma , = nb , 则=_.解：=a +b =,P、G、Q三点共线，= 3 .题25：(1)已知, , 与的夹角为1200，求使与的夹角为锐角的实数k的取值范围.(2) 已知，且与的夹角为钝角，求实数m的取值范围.解：(1) = k + (k2 + 1)×1×2×cos1200 + 4k = k2 + 5k 1 ,依题意，得 k2 + 5k 10，.又当与同向时，仍有0，此时设，显然、不共线，所以，k =, k =, 取k =1.且k1 .三角形“四心”的向量性质及其应用1、一、三角形的重心的向量表示及应用（中线交点）命题一：

38、已知是不共线的三点，是内一点，若则是的重心命题二：点是三角形的重心则变式：已知分别为的边的中点则变式引申：如图4，平行四边形的中心为，为该平面上任意一点，则二、三角形的外心的向量表示及应用(外接圆圆心，边中垂线交点)命题二：已知是内一点，满足，则点为ABC的外心。三、三角形的垂心的向量表示及应用：（高线交点）例1：已知是内一点，满足，则点G为垂心。变式：若H为ABC所在平面内一点，且则点H是ABC的垂心四、三角形的内心的向量表示及应用（内角平分线交点，内切圆圆心）命题四：O是内心的充要条件是0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA=-

39、15;=-×=-×变式1：如果记的单位向量为，则O是内心的充要条件是 变式2：如果记的单位向量为，则O是内心的充要条件也可以是。例1、（2003江苏）已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，满足，则P的轨迹一定通过ABC的内心 。 例2、已知P是非等边ABC外接圆上任意一点，问当P位于何处时，PA2+PB2+PC2取得最大值和最小值。例3.已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足,则动点P的轨迹一定通过ABC的（ D ） A .外心 B.内心 C 重心 D 垂心变形：（1） C（2） C（3） A例4： 点O在ABC内部且满足,则A

40、BC面积与凹四边形ABOC的面积之比（ C ）A 0 B 3/2 C 5/4 D 4/3 变形引申：，求ABC面积与凹四边形ABOC的面积之比（ ）例2（03年江苏卷）O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过ABC的（ ）A外心B内心 C重心 D垂心（1）（05年全国卷理）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = ；（2）（05年全国卷I文）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（）A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点（3）(05年湖南卷文)P是ABC所在平面上一点，若=，则

41、P是ABC的（） A外心 B内心 C重心 D垂心（06陕西理） 已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则ABC为 ( )A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形3以“各种运算的几何意义”为代表的灵活运用阶段（05浙江卷）已知向量，|1，对任意tR，恒有|t|，则（C）(A) (B) () (C) () (D) ()()例3（06湖南理）如图1, , 点在由射线、 线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动, 且,则的取值范围是 ；当时, 的取值范围是 . （2）（07陕西理）如图4，平面内有三个向量、，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则

42、的值为例4（07全国）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ）A9B6C4D307重庆理）如图5，在四边形中，则的值为（） （2007江西卷）15如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，则的值为2009年高考中的向量选择题1.（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为 A. 6 B. 2 C. D. 【解析】，所以，选D.2.（2009浙江卷理）设向量，满足：，以，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A B

43、C D答案：C 【解析】如果知道此三角形有一个半径为1的内切圆，本题立解3.（2009陕西卷文）在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于（A） （B） （C） (D) 答案:A. 解析:由知, 为的重心,根据向量的加法, 则= 故选A4.（2009全国卷理）设、是单位向量，且·0，则的最小值为 ( D )（A） （B） （C） (D)解: 是单位向量 故选D.对照：（08浙江卷9）已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是C （A）1 （B）2 （C） （D）5.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依

44、次是的 （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）填空题7.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.解析设 ，即对比：2009年石家庄高中毕业班第一次模拟考试试卷第18题： 在中， ()求； (11)设的外心为，若，求，的值18解: ()由余弦定理知:,2分.5分()由,知 7分为的外心，.同理.10分即， 解得: 12分方法1考查了向量的数量积及灵活运用，并需要一定的计算技巧，检测出考生个体理性思维的广

45、度和深度及进一步学习的能力，符合对数学能力考查的命题思想方法2利用了向量的加法法则及平面向量基本定理，需要考生有较强的数学基础和分析解决问题的能力既能反映基础知识掌握情况又能考查考生的能力的题目本题对向量的考查是非常到位的7.（2009湖南卷文）如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则 ， . 图2解:作,设，,由解得故三角形“四心”的向量性质及其应用一、三角形的重心的向量表示及应用命题一已知是不共线的三点，是内一点，若则是的重心证明：如图1所示，因为，所以 以，为邻边作平行四边形，则有，所以又因为在平行四边形中，交于点，所以，所以是的边的中线故是的重心点评：解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法例1如图2所示，的重心为为坐标原点，试用表示解：设交于点，则是的中点，图2而点评：重心问题是三角形的一个重要知识