1989年高考数学试题(全国理)及答案

1、1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一.选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为 A, B,C, D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得 3分）。其中I是全集，那么1 .如果 I=a,b,c,d,e,M=a,c,d,N=b,d,e,MnN(A)。(B) d(C) a,c(D) b,e2 .与函数y=x有相同图象的一个函数是(A)(A)(C)y=a啕'其中a>0,arL(D)y 二噫 al 其中”0,a*L3.如果圆锥的底面半径为,高为2,那么它的侧面积是（C ）(B)4.(C)(D)43

2、cosarcsin()-arccos()5、的值等于(A )(A) -1(B)725(O725(D)Vio飞5.已知是等比数列，如果的值等于Bi+a+H =18,a2 + a3+a4 =-9,Sn =/+%+十%,那么Hm当fi-Ho(B )(A) 8(B) 16(C) 32(D) 486.如果的值等于cos6|=-< it<0<3?r,3Psiii- 5 21(C )Vio一"丁(8)厢"T(O715(D)7.设复数z满足关系式咖讣2+i，那么z等于（D ）(A)3 .4(B)3 .i4(03 .i4(D)3 .F i48.已知球的两个平行截面的面积分别

3、为 5和8,它们位于球心的同一侧，且相距为 1,那么这个球的半径是（B ）(A) 4(B) 3(C) 2(D) 55p =,3-2cos0那么它的短轴长是（C ）(A)10J(B)(C)2君(D)27310.如果双曲线22上-匕=164 36点P到它的右焦点的距离是8,那么点P到它的右准线的距离是（D(A) 10(B)32777(0141(D)32T11.已知f(x)=8+2x-x如果g(x)=f(2-x2X那么g(x)(A )（A）在区间（-1 , 0）上是减函数（B）在区间（0, 1）上是减函数（C）在区间（-2, 0）上是增函数（D）在区间（0, 2）上是增函数12 .由数字1, 2,

4、3, 4, 5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（C ）（A） 60 个 （B） 48个（C） 36 个（D） 24 个.填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果13 .方程sinx-cosx = 72的解集是x | x = 2kit +5= (2k + 1)te 4-,ke Zxx = E + (-l)k ：+g,kwZ14 .不等式x2 -3x|>4的解集是 答案：15 .函数的反函数的定义域是1e* +1答案：(-1,1)16 .已知(l-2x)7+%乂+犯乂2+那么4 +的十+” =答案：-217 .已知A和B是两个命题，如果A

5、是B的充分条件，那么B是A的条件；的条件答案：必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给 2分）B0,18 .如图，已知圆柱的底面半径是 3,高是4, A B两点分别在两底面的圆 周上，并且AB=5那么直线AB与轴00.之间的距离等于 _答案:3白T三.解答题（本题满分60分，共6个小题19 .（本小题满分8分）证明：3K x 2sinxtgtg-22 cosx + cos2xcosx + cos2x20 .（本小题满分10分）如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1,已知 AB=5 AD=4 AA1=3AB± AD /A1ABW A1AD=71T（I ）求证：顶点A1在底面ABC

6、D勺射影。在/ BAD的平分线上；（H）求这个平行六面体的体积A1DCN D1C1 OA MB(I )证：连结 A1Q 则A1OL底面 ABC阱 OMLAB交AB于M彳ONLAD交 AD于 N,连结 A1M A1N由三垂线定理得 A1ML AB, A1NL AD/ A1AM= A1AN RtAA1NA3 RtAA1MA - A1M= A1N . OM=ON点O在/ BAD的平分线上(II) v AM=AA1 .AO=AM又在职RtAOA1中,A1O2=AA12-AO2=n 9 99f =)2 2 A1O=平行六面体的体积V=21 .(本小题满分10分)AYCOX自点A (-3 , 3)发出的光

7、线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直 线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程解：已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1,设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定)由题设知对称圆的圆心e(2,-2)到这条直线的距离等于1,即d=里坦.整理得:12公+ 25«+12 = &解得;上=二,或1 =故所求的直线方程是34y-3 = -7(x + 3gty-3-(x + 3), 43即 3x+4y-3=0,或 4x+3y+3=0.22 .(本小题满分12分)已知a&

8、gt;O,a/L试求使方程log1(x-ak) = logal(x2 -a2)有解的k的取值范围解：由对数函数的性质可知，原方程的解 x应满足 (x-ak)1 =x2 - a2, (1) x - ak > 0,(2)xJa”.(3)I当(1) , (2)同时成立时，(3)显然成立，因此只需解 j(x-ak)2 = x2 (1)x - ak > 0,(2)由(1)得2kx=.+?) (4)当k=0时，由a>0知(4)无解，因而原方程无解当kwo时，(4)的解是把（5）代入（2），得2k解得:-oo<k<-lHJ（0<k <L综合得，当k在集合内取值时，原

9、方程有解23.（本小题满分10分）是否存在常数a,b,c使得等式IN2+Z/2+n（n + l）2 =对一切自然数n都成立？并证明你的结论n(n + l)12(an2 + bn + c)解：假设存在a,b,c使题设的等式成立，这时，n=1,2,3得a + b+c = 24,4a + 3b + c = 44,解铅：a =3,b = I l,c = 10.9a + 3b + c = 10.于是，对n=1,2,3下面等式成立：b23+2-32+-n(n + l)2 = fl+13n2 + ln + 10).8n =l,22+234n(n+M设n=k时上式成立，即Sk=q（3k，lik + 10）,那

10、么St+ -St + (k+IXk + 2K =-12(3k2 + llk + 10)+(k + l)(k+2)z I 士=+ 2)(3k + 5) + (k + l)(k + 2)3$_*')。/+5# + W£+24) =(1，I： + “国青 +11 休+1)+10也就是说，等式对n=k+1也成立综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数 n成立24.(本小题满分10分)设f(x)是定义在区间(-OOJOO)上以2为周期的函数，对keZ，用表示区间(2k - 1,2k+1,已知当时，f(x)=x2.(1)求 f(x)在h上的解析表达式；(2)对自然

11、数k,求集合Mr二也|使方程f(x)=ax在L上有两个不等的实根解：(1) V f(x)是以2为周期的函数， keZ时，2k也是f(x)的周期又;当Xlt时， "(x-2k)El。f(x) = f(x-2k) = (x-2k)2.即对keZ,当时，f(x) = (x-242.(2)当kcZ且Xlt时，利用(1)的结论可得方程(x-2k> = ax,整理得:x2-(4k+a)+4k2= 0. 它的判别式是A = (4k + "- 16k2 -a(a + 8k).上述方程在区间I上恰有两个不相等的实根的充要条件是 a满足a(a + 8k) > 0, 2k-1<l4k + a-a + 8k), 2k + l> j4k + a+ 血万丽a(a + 8k) > 0,化简得v+ 8k) < 2 + a,*(a + 8k) 42-a,(1)(3).由(1)知 a>0,或 a<-8k.当 a>0