北师大版必修二 球的表面积和体积

1、柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和各面面积之和rr0 r展开图展开图)(22rllrrrS 圆台圆台圆柱圆柱)(2lrrS)(lrrS圆锥圆锥柱体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台体的体积ShV31锥体锥体hSSSSV)(31台体台体柱体柱体ShV SS 0S一、创设情境一、创设情境1、在太空中存在着多颗星球，科学家为了比较各个星球的大小，需要计算它们的表面积和体积，但是星球的形状不同于柱体、椎体、台体，而是近似于球体，那么如何进行计算呢？2、球队大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和表面积？思考：如何求球的体积？ 排液法：hHh二、探究新知二、探究新知34

2、3VR球球的体积球的体积24SR球球的表面积球的表面积都是以都是以R为自变量的函数为自变量的函数O R例例1 1. .钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积. .3336125)25(3434cmRV 例题讲解例题讲解( (变式变式1) 1)把钢球（把钢球（直径是直径是5cm5cm）放入一个正方体放入一个正方体的有盖纸盒中的有盖纸盒中, ,至少要用多少纸至少要用多少纸? ?用料最省时用料最省时, ,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系? ?2215056cmS侧棱长为侧棱长为5cm例题讲解例题讲解球内切于正方体球内切于正方体例题讲解例题讲解例例4.如图如图,圆柱的

3、底面直径与高圆柱的底面直径与高都等于球的直径都等于球的直径.求证求证:(1)球的体积等于圆柱体积的三球的体积等于圆柱体积的三分之二；分之二；(2)球的表面积与圆柱的侧面积球的表面积与圆柱的侧面积相等相等. 例题例题O24 RS球球2422RRRS圆圆柱柱侧侧圆圆柱柱侧侧球球SS(2)3234VR3VR2R2 R2VV3 球球柱柱球球圆圆柱证明证明:(1)设球的半径为设球的半径为R,则圆柱的底面半径为则圆柱的底面半径为R,高为高为2R.RO 长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 分析：长方体内接于球，则由球和分析：长方体内接于球，则由球和长

4、方体都是中心对称图形可知，它们长方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则长方体对角线与球的直中心重合，则长方体对角线与球的直径相等。径相等。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O222211504 42+5)2(:RS2R=3RDDBRt D D 中中略解：略解：5 2 用一个平面去截一个球O，截面是圆面222dRrrdRO 球的截面的性质： 球心和截面圆心的连线垂直于截面 球心到截面的距离为d，球的半径为R，则截面问题课堂练习课堂练习1 1、了解球的体积、表面积推导的基本思

5、路：、了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割分割求近似和求近似和化为标准和的方法，是化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法一种重要的数学思想方法极限思想，它极限思想，它是今后要学习的微积分部分是今后要学习的微积分部分“定积分定积分”内内容的一个应用；容的一个应用；2 2、熟练掌握球的体积、表面积公式：、熟练掌握球的体积、表面积公式：23434RSRV 五、课堂小结五、课堂小结基本计算问题2.(1)把球的半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的_倍.(2)把球的半径扩大到原来的2倍，则表面积扩大为原来的_倍.(3)三个球的半径之比为1:2:3，则它们的表面积之比为_.(4)三个球的体积之比

6、为1:8:27，则它们的半径之比为_.四、巩固深化1、正方体的内切球和外接球体积比为正方体的内切球和外接球体积比为_ _ ，表面积，表面积之比之比为为1：3。2、在球心同侧有相距在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别的两个平行截面，它们的面积分别为为49 和和400 ，求球的表面积。，求球的表面积。2cm2cm1:3 3答案：25002cm4、若球半径变为原来的、若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来倍，则表面积变为原来的的_4_倍倍.5、若两球表面积之比为、若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_6 6、若两球体积之比是、若两球体积之比是1:21:2，则其表

7、面积之比是，则其表面积之比是_. .34:122:13、若球的表面积变为原来的、若球的表面积变为原来的2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的_ 倍倍.2球与正方体的“接切”问题：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面找准数量关系21ar aaaa2ar222aa2ar233球与正方体的“接切”问题.1553. 4.63.5cm2.4cm1.，求它的外接球表面积，侧面面积分别为长方体的共顶点的三个，求半球的半径正方体的一边长为在半球的底面圆上，若，正方体的一个面半球内有一内接正方体多少纸？有

8、盖纸盒中，至少要用体的，把钢球放入一个正方钢球直径，求这个球体体积是球面上，它的棱长一个正方体的顶点都在2222cbal长方体对角线长方体对角线答案D 答案C答案D 探索延拓创新探索延拓创新 例例2 2 已知正方体的八个顶点都在球已知正方体的八个顶点都在球O O的球面上，且正方体的表面积为的球面上，且正方体的表面积为a a2 2，求，求球球O O的表面积和体积的表面积和体积. . 例例3 3 有一种空心钢球，质量为有一种空心钢球，质量为142g142g（钢的密度为（钢的密度为7.9g/cm7.9g/cm3 3），测得其外径），测得其外径为为5cm5cm，求它的内径（精确到，求它的内径（精确到0

9、.1cm0.1cm）. .o oAC 有一种空心钢球，质量为有一种空心钢球，质量为142g,测得测得 外径等于外径等于5.0cm，求它的内径（钢，求它的内径（钢 的密度为的密度为7.9g/cm3,精确到精确到0.1cm).解解:设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是答答:空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为4.5cm.14234)25(349.733 x 3.1149.73142)25(33 x由计算器算得由计算器算得:24. 2 x5 . 42 x 一个球内有相距9cm的两个平行截面，面积别为49cm2和400cm2，试求球的表面积 思路分析求球的表面积或

10、体积只需要求出球的半径，要求球的半径只需解球的半径、截面圆半径和球心到截面的距离组成的直角三角形 球的表面积 规范解答(1)当球心在两个截面同侧时，如右图，设ODx，由题意知CA249， CA7(cm)同理可得BD20(cm) 设球半径为R，则依题意，得 (CDOD)2CA2R2OD2BD2， 即(9x)272x2202，解之得x15. R25，故S球4R22500(cm2) (2)当球心在两个截面之间时，如右图 设ODxcm，则OC(9x)cm， 由题意得CA249， CA7(cm) 同理可得BD20cm. 设球半径为R，则依题意，知 x2202(9x)272R2， 即x2400(9x)24

11、9，此方程无正数解，故此情况不可能 综上可知，所求球的表面积为2500(cm2) 规律总结常常借助于球的轴截面性质列方程(组)求球半径，进而求出球的表面积轴截面为空间问题转化到平面几何问题创造了条件4.4.若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是_. .练习一练习一2422:134:11.若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的_倍倍.2.若球半径变为原来的若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的_倍倍.3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_.6

12、.6.将半径为将半径为1 1和和2 2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是这个大铅球的表面积是_.5.5.若两球表面积之差为若两球表面积之差为4848 , ,它们大圆周长之和为它们大圆周长之和为1212 , , 则两球的直径之差为则两球的直径之差为_. .练习二练习二4 3312二、探究新知二、探究新知1、球的体积如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小时会得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应的圆柱的体积，因此求球的体积可以按“分割求和化为准确和”的方法来进行。步骤：第

13、一步：分割如图：把半球垂直于底面的半径OA作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”， “小圆片”厚度近似为 ，底面是“小圆片”的底面。RnAOirOR)1( inR半半径径：层层“小小圆圆片片”下下底底面面的的第第i.,2,1,)1(22niinRRri nininRnRrVii,2, 1,)1(1232nVVVV21半球)1(2122223nnnnR6) 12() 1(123nnnnnnR6)12)(1(1123nnnR) 1(1 21 11 1222223nnnnnR6)12()1()1(21222nnnn第二步：求和6)12)(11(13nnRV 半半球球

14、.01, nn时时当当.343233RVRV 从从而而半半球球334RVR 的的球球的的体体积积为为：定定理理：半半径径是是第三步：化为准确和 球面不能展开成平面图形，所以求球的球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢公式呢? ? 回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法, , 得到启发，得到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式式第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：nSSSSD DD DD DD D

15、,321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSSD DD DD DD D 321则球的体积为：则球的体积为：iVD D设“小锥体”的体积为设“小锥体”的体积为iVDnVVVVVD DD DD DD D 321iSDOO第第二二步：步：求求近近似似和和ihD由第一步得：由第一步得：nVVVVVD DD DD DD D 321nnhShShShSVD DD DD DD DD DD DD DD D31313131332211 iiihSVD DD DD D31 O OiSDiVDO O第第三三步：步：化化为为准准确确和和RSViiDD31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: “: “小小锥体锥体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥RSRSRSRSVniD DD DD DD D3131313132 RSSSSSRni31).(3132 D DD DD DD D334RV 又又球球的的体体积积为为：RiSD DiVDihDiSDO OiVD234,3134RSRSR 从从而而Rhi的的值值就就趋趋向向于于