双曲线知识点总结及经典练习题

1、圆锥曲线（三）-双曲线知识点一：双曲线定义平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线即：。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线

2、。知识点二：双曲线的标准方程1当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意： 1只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2在双曲线的两种标准方程中，都有；3双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线性质1、双曲线（a0，b0）的简单几何性质（1） 对称性：对于双曲线标准方程（a0，b0），把x换成x，或把y换成y，或把x、y同时换成x、y，方程都不变，所以双曲线（a0，b0

3、）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x-a或xa。（3） 顶点：双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。双曲线（a0，b0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=

4、2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。注意：双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。双曲线的焦点总在实轴上。实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。（4）离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。因为ca0，所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线，所以离心率。（4） 渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如

5、图），矩形的两条对角线所在直线的方程是。我们把直线叫做双曲线的渐近线。双曲线的渐近线求法：(1)已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为注意：（1）已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为.注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。知识点四：双曲线与的区别和联系焦点的位置焦点在轴上

6、焦点在轴上图形标准方程范围或，或，顶点、轴长虚轴的长 实轴的长焦点、焦距对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称离心率渐近线方程2、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线巩固练习1、已知点P(x,y)的坐标满足，则动点P的轨迹是（ ）A椭圆 B双曲线中的一支 C两条射线 D以上都不对 2、求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程。3已知双曲线的两个焦点F1、F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程。总结升华：求双曲线的标准方程就是求a2、b2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴。双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看x2、y2的分母的大小，而是看x2、

7、y2的系数的正负。4方程表示双曲线，求实数m的取值范围。【变式1】k9是方程表示双曲线的（ ）A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件【变式2】求双曲线的焦距。【变式3】已知双曲线8kx2ky2=2的一个焦点为，则k的值等于（ ）A2 B1 C1 D【变式4】（2011 湖南）设双曲线的渐近线方程为，则的值为A4 B3 C2 D15已知双曲线方程，求渐近线方程。（1）；（2）；（3）；（4）6根据下列条件，求双曲线方程。（1)与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）一渐近线方程为，且双曲线过点。总结升华：求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.【变式1】中心在原点，一个焦点在(0,3)，一条渐近线为的双曲线方程是（ ）A、 B、C、 D、【变式2】过点(2，-2)且与双曲线有公共渐进线的双曲线是 ( )AB CD【答案】A 【变式3】以为渐近线的双曲线方程不可能是（ ）A4x29y2=1 B9y24x2=1 C4x29y2=（R且0） D9x24y2=（R且0）【变式4】双曲线与有相同的（ ）A实轴 B焦点 C渐近线 D以上都不对 7已知是双曲线的左、右焦