名师一号人教A高中数学选修 导数及其应用 单元同步测试

1、第三章测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1一个物体的运动方程为s1tt2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是()A7米/秒B5米/秒C6米/秒 D4米/秒答案B2若二次函数yf(x)的图象过原点，且它的导数yf(x)的图象是经过第一、二、三象限的一条直线，则yf(x)的图象顶点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析设f(x)ax2bxa(x2x)a(x)2，顶点(，)，f(x)2axb过第一、二、三象限的一条直线，b>0，a>0，&l

2、t;0，<0，顶点在第三象限答案C3曲线yx32x4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A30° B45°C60° D120°解析y3x22，y|x13×1221，倾斜角为45°.答案B4已知函数f(x)x22x3在区间a,2上的最大值为，则a等于()A B.C D或解析f(x)(x1)24.f(x)的开口向下，对称轴为x1，当x1，f(1)4>，a>1.f(x)在a,2是减函数f(a)，解得a，或a(舍去)答案C5已知函数f(x)x3的切线的斜率等于3，则这样的切线()A有1条 B有2条C多于2条 D不确定解析令f

3、(x)3x23，得x±1，故应有2条答案B6若f(x)x22x4lnx，则f(x)>0的解集为()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)解析f(x)2x2>0，x>0，2x22x4>0，即x2x2>0.解得x<1或x>2.又x>0，x>2.答案C7函数f(x)在其定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象为()答案D8定义在(0，)上的可导函数f(x)满足f(x)·x<f(x)，且f(2)0，则>0的解集为()A(0,2) B(0,2)(2，)C(2，) D解析<

4、0，为减函数，f(2)0，0.>0的解为0<x<2，故选A.答案A9下列图象中有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR，a0)的导数f(x)的图象，则f(1)()A. BC. D或解析f(x)x22axa21(xa)21，a0，图象应为(3)此时f(0)a210，又a>0，a<0，a1.f(1).答案B10已知函数f(x)xsinx，若x1，x2，且f(x1)f(x2)>0，则下列不等式中正确的是()Ax1>x2 Bx1<x2Cx1x2>0 Dx1x2<0解析易知函数f(x)为奇函数，又f(x)1cosx0，所以函数f(x)

5、为增函数，由f(x1)f(x2)>0f(x1)>f(x2)f(x1)>f(x2)x1>x2x1x2>0.答案C11曲线yx3上一点B处的切线l交x轴于点A，OAB(O是原点)是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为()A30° B45°C60° D120°解析设B(x0，x)，由于y3x2，故切线l的方程为yx3x(xx0)，令y0得点A(，0)，由|OA|AB|，得()2(x0)2(x0)2，当x00时，题目中的三角形不存在，故得x，故x，直线l的斜率为3x，故直线l的倾斜角为60°.答案C12若a，b在区间

6、0, 上取值，则函数f(x)ax3bx2ax在R上有两个相异极值点的概率是()A. B.C. D1解析易得f(x)3ax22bxa，函数f(x)ax3bx2ax在R上有两个相异极值点的充要条件是a0，且其导函数的判别式大于0，即a0，且4b212a2>0，又a，b在区间0，上取值，则a>0，b>a，点(a，b)满足的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为，故所求的概率是.答案C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13已知曲线yx21在xx0点处的切线与曲线y1x3在xx0点处的切线互相平行，则x0的值为_解析

7、yx21的导数为y2x，y1x3的导数为y3x2，由题可知2x03x，x00，或x0.答案0或14已知函数f(x)x3ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是_解析f(x)3x2a，由题可知f(x)0有两个不等的根，a<0.答案(，0)15若f(x)3x26x，且f(0)4，则不等式f(x)>0的解集是_解析由题可设f(x)ax3bx2cxd，f(x)3ax22bxc，f(x)x33x24x3x24(x21)x2(x1)4(x1)(x1)(x1)(x2)2，f(x)>0的解为x>1，且x2.答案x|x>1，且x216已知函数f(x)在区间(2，)上单调递减，则

8、实数a的取值范围是_解析由题可知，函数f(x)在区间(2，)上单调递减，所以其导函数f(x)在(2，)上小于零，解得a>6.答案(6，)三、解答题(本大题共6个小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)求函数f(x)x33x26x2，x1,1的最值解f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23>0，f(x)在1,1内恒大于0，f(x)在1,1上为增函数故x1时，f(x)min12；x1时，f(x)max2.即f(x)的最小值为12，最大值为2.18(12分)设函数f(x)2x33(a1)x26ax8(aR)，若f(x)在区间(，0)上是增函数，

9、求a的取值范围解f(x)6x26(a1)x6a6(xa)(x1)，令f(x)0，得x1a，x21.(1)当a<1时，则x<a或x>1时，f(x)>0，f(x)在(，a)和(1，)上是增函数故当0a<1时，f(x)在(，0)上是增函数(2)当a1时，则x<1或x>a时，f(x)>0.f(x)在(，1)和(a，)上是增函数从而f(x)在(，0)上是增函数综上可知，当a0，)时，f(x)在(，0)上是增函数19(12分)已知函数f(x)x34xm在区间(，)上有极大值.(1)求实数m的值；(2)求函数f(x)在区间(，)的极小值解f(x)x24(x2)

10、(x2)令f(x)0得，x2，或x2.故f(x)的增区间为(，2)和(2，)，减区间为(2,2)(1)当x2时，f(x)取得极大值，故f(2)8m，m4.(2)由(1)得f(x)x34x4又当x2时，f(x)有极小值f(2).20(12分)已知某工厂生产x件产品的成本为C25 000200xx2(元)(1)要使平均成本最低应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？解(1)设平均成本为y，则y200，y.令y0，得x1 000.当x<1 000时，y<0；当x>1 000时，y>0.当x1 000时，y取得极小值，也是最小值因此，要

11、使平均成本最低，应生产1 000件产品(2)设利润为L(x)，则L(x)500x300x25 000，L(x)300.令L(x)0，得x6 000.当x<6 000时，L(x)>0；当x>6 000时，L(x)<0，当x6 000时，L(x)取得极大值，也是最大值因此，要使利润最大，应生产6 000件产品21(12分)已知函数f(x)x3x22ax3，g(a)a35a7.(1)a1时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在区间2,0上不单调，且x2,0时，不等式f(x)<g(a)恒成立，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)x3x22x3，定义

12、域为R，f(x)x2x2(x2)(x1)令f(x)>0，得x<1，或x>2.所以函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(2，)(2)f(x)x2(a2)x2a(xa)(x2)令f(x)0，得x2，或xa.函数f(x)在区间2,0上不单调，a(2,0)，即0<a<2.又在(2，a)上，f(x)>0，在(a,0)上，f(x)<0，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x2(2，a)a(a,0)0f(x)0f(x)f(2)单调递增极大值单调递减f(0)f(x)在2,0上有唯一的极大值点xa.f(x)在2,0上的最大值为f(a)当x2,0时，不等式f(x)<g(a)恒成立，等价于f(a)<g(a)a3×a22a23<g(a)a3a23<a35a7.a25a4<0，解得1<a<4.综上所述，a的取值范围是(1,2)22(12分)已知函数f(x)x2alnx(aR)(1)求f(x)的单调区间；(2)当x>1时，x2lnx<x3是否恒成立，并说明理由解(1)f(x)的定义域为(0，)，由题意得f(x)x(x>0)，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)当a>0时，f(x)x.当0<x<