一元二次不等式的解法

1、知识点一：一元二次不等式的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：.任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或.知识点二：一般的一元二次不等式的解法设一元二次方程的两根为且，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：二次函数（）的图象注意：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集。知识点三：解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正

2、，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： 时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； 时，求根； 时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的过程 规律方法指导1解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5若所给不等式最高项系数含有字

3、母，还需要讨论最高项的系数经典例题透析类型一：解一元二次不等式1解下列一元二次不等式（1）； （2）； （3）思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.总结升华：1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.举一反三：【变式1】解下列不等式(1) ；(2) (3) ； (4) .【变式2】解不等式：类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数

4、2不等式的解集为，求关于的不等式的解集。总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。举一反三：【变式1】不等式ax2+bx+120的解集为x|-3x2，则a=_, b=_。【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式.【变式3】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题3已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+30对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。思路点拨：不等式对一切

5、实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。举一反三：【变式1】 若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.【变式2】若关于的不等式的解为一切实数，求的取值范围.【变式3】若关于的不等式的解集为非空集，求的取值范围.类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法4解下列关于x的不等式（1）x2-2ax-a2+1； （2）x2-ax+10； （3）x2-(a+1)x+a0； 总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；求根：

6、求相应方程的根。当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。举一反三：【变式1】解关于x的不等式：【变式2】解关于的不等式：（）5解关于x的不等式：ax2(a+1)x+10。总结升华：熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”。举一反三：【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)0； 【变式2】解关于x的不等式：ax22x-10；【变式3】解关于x的不等式：ax2-x+10学习成果测评基础达标：1不等式x2ax12a20

7、（其中a0）的解集为（ ）A（3a，4a） B（4a，3a） C（3，4） D（2a，6a）2使有意义的x的取值范围是（ ）A B C D3不等式ax2+5x+c0的解集为，则a，c的值为（ ）Aa=6，c=1 Ba=6，c=1 Ca=1，c=1 Da=1，c=64解不等式得到解集，那么的值等于( )A10 B-10 C14 D-145不等式x2axb0的解集是x|2x3，则bx2ax10的解集是（ ）A BC D6抛物线y=x2+5x5上的点位于直线y=1的上方，则自变量x的取值范围是_。7如果关于x的方程x2(m1)x+2m=0的两根为正实数，则m的取值范围是_。8解下列不等式(1) 14

8、-4x2x；(2) x2+x+1>0；(3) 2x2+3x+4<0； (4) ；(5) ；(6) ； (7) 9已知不等式ax23x+64的解集为x|x1或xb。（1）求a，b；（2）解不等式ax2(ac+b)x+bc0。10. 不等式mx2+1mx 的解集为实数集R，求实数m的取值范围能力提升：11不等式的解集是全体实数，则a的取值范围是( )A BC D12对于满足0p4的实数p，使恒成立的x的取值范围是 _ .13 已知的解集为，则不等式的解集是_.14若函数的定义域为R，则a的取值范围为_.15 若使不等式和同时成立的x的值使关于x的不等式也成立，则a的取值范围是_.16若不等式ax2+bx+c0 的解集为x|2x3，则不等式ax2-bx+c0 的解集是_；不等式cx2+bx+a0的解集是_17 已知，(1)如果对一切xR，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围