人教b版选修2-1空间立体大题(中档题+答案)

1、选修2-1空间立体大题一解答题（共16小题）1在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=3，BAD=90，BAA1=DAA1=60若，（1）用基底表示向量；（2）求向量的长度2已知向量=（1，3，2），=（2，1，1），点A（3，1，4），B（2，2，2）（1）求：|2+|；（2）在直线AB上，是否存在一点E，使得？（O为原点）3三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N设，（）试用表示向量；（）若BAC=90，BAA1=CAA1=60，AB=AC=AA1=1，求MN的长4在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB

2、1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且COABB1A1平面（1）证明：BCAB1；（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值5如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD=135，侧面PAB底面ABCD，BAP=90，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上（）求证：EF平面PAC；（）若M为PD的中点，求证：ME平面PAB；（）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值6如图，在四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，ADBC，ABC=90，PA=AB=BC=

3、2，AD=1，M是棱PB中点（）求证：AM平面PCD；（）设点N是线段CD上一动点，且DN=DC，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求的值7如图四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，点M在线段PD上（1）求证：ABPC（2）若二面角MACD的大小为45，求BM与平面PAC所成的角的正弦值8如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC=60，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AE平面PAD；（2）取AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角EAFC的余弦值9如图，四

4、棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，PD平面ABCD，E为PB上的点，且2BE=EP（1）证明：ACDE；（2）若PC=BC，求二面角EACP的余弦值10如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，PC底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点（）求证：平面EAC平面PBC；（）若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值11如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90，AE平面ABCD，EFCD，BC=CD=AE=EF=1（）求证：CE平面ABF；（）求证：BEAF；（）在直线BC上是否存在点M，使二面角EMD

5、A的大小为？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由12在三棱锥SABC中，ABC是边长为2的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=，E，F分别为AB、SB的中点（）证明：ACSB；（）求锐二面角FCEB的余弦值；（）求B点到平面CEF的距离13如图所示的几何体中，ABCA1B1C1为三棱柱，且AA1平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，ADC=60（）若AA1=AC，求证：AC1平面A1B1CD；（）若CD=2，AA1=AC，二面角CA1DC1的余弦值为，求三棱锥C1A1CD的体积14如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧SBC是正三角形，点E是SB

6、的中点，且AE平面SBC（1）证明：SD平面ACE；（2）若ABAS，BC=2，求点S到平面ABC的距离15如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，ACBD=O，A1O底面ABCD，AB=AA1=2（）证明：BD平面A1CO；（）若BAD=60，求点C到平面OBB1的距离16如图，已知四棱锥PABCD，PBAD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120（I）求点P到平面ABCD的距离，（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小2016年05月09日人教B版选修2-1空间立体大题参考答案与试题解析一解答题（共16小题）1

7、（2009春杭州期中）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=3，BAD=90，BAA1=DAA1=60若，（1）用基底表示向量；（2）求向量的长度【考点】空间向量的基本定理及其意义菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（1）利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义可得 =+=+（），把已知的条件代入化简可得结果（2）利用两个向量的数量积的定义求出基底中每个向量的模以及每两个向量的数量积，由 =运算求得结果【解答】解：（1）由题意可得 =+=+=+（）=，故 （6分）（2）由条件得 =1，=2，=3 ，（9分）（11分）故 =（15分）【点评】本题主要考查两个向量的

8、加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法，属于基础题2（2014秋莲湖区校级期末）已知向量=（1，3，2），=（2，1，1），点A（3，1，4），B（2，2，2）（1）求：|2+|；（2）在直线AB上，是否存在一点E，使得？（O为原点）【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直菁优网版权所有【专题】空间向量及应用【分析】（1）由题意可得2+的坐标，代入模长公式可得答案；（2）假设存在点E（x，y，z）满足条件，由，和=0可得x、y、z的方程组，解方程组可得【解答】解：（1）2+=（2，6，4）+（2，1，1）=（0，5，5），|2+|=5；（2）假设

9、存在点E（x，y，z）满足条件，则，且得=0，又=（x+3，y+1，z4），=（1，1，2），解得，在直线AB上，存在一点E（，），使得【点评】本题考查空间向量的模长和垂直的判断，属基础题3（2013秋荆州区校级期末）三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N设，（）试用表示向量；（）若BAC=90，BAA1=CAA1=60，AB=AC=AA1=1，求MN的长【考点】空间向量的夹角与距离求解公式菁优网版权所有【专题】计算题；数形结合；转化思想；数形结合法【分析】（）由图形知=再用表示出来即可（）求MN的长，即求，利用求向量模的方法，求即可

10、求得MN的长【解答】解：（）由图形知=（）由题设条件=，【点评】本题考查空间向量的夹角与距离求解公式，解题的关键是掌握住向量加法法则与用空间向量求线段长度的公式，空间向量法求立体几何中距离是空间向量的一个非常重要的运用理解并记忆熟练公式是解题的知识保证4（2016日照一模）在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且COABB1A1平面（1）证明：BCAB1；（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的性质菁优网版权所有【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角【分

11、析】（）要证明BCAB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；（）分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论【解答】（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=2，AA1=2，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tanAB1B=，在直角三角形ABD中，tanABD=，所以AB1B=ABD，又BAB1+AB1B=90，BAB1+ABD=90，所

12、以在直角三角形ABO中，故BOA=90，即BDAB1，又因为CO侧面ABB1A1，AB1侧面ABB1A1，所以COAB1所以，AB1面BCD，因为BC面BCD，所以BCAB1（）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0），B（，0，0），C（0，0，），B1（0，0），D（，0，0），又因为=2，所以所以=（，0），=（0，），=（，），=（，0，），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，）是平面ABC的一个法向量，设直线CD与平面ABC所成角为，则sin=，所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为（12分）【

13、点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题5（2016宁城县一模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD=135，侧面PAB底面ABCD，BAP=90，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上（）求证：EF平面PAC； （）若M为PD的中点，求证：ME平面PAB；（）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）证明ABACEFAC推出PA底面ABC

14、D，即可说明PAEF，然后证明EF平面PAC（）证明MFPA，然后证明MF平面PAB，EF平面PAB即可阿门平面MEF平面PAB，从而证明ME平面PAB（）以AB，AC，AP分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面ABCD的法向量，平面PBC的法向量，利用直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，列出方程求解即可【解答】（本小题满分14分）（）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，BCD=135，ABC=45所以ABAC由E，F分别为BC，AD的中点，得EFAB，所以EFAC（1分）因为侧面PAB底面ABCD，且BAP=90，所以P

15、A底面ABCD（2分）又因为EF底面ABCD，所以PAEF（3分）又因为PAAC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以EF平面PAC（4分）（）证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点，所以MFPA，又因为MF平面PAB，PA平面PAB，所以MF平面PAB（5分）同理，得EF平面PAB又因为MFEF=F，MF平面MEF，EF平面MEF，所以平面MEF平面PAB（7分）又因为ME平面MEF，所以ME平面PAB（9分）（）解：因为PA底面ABCD，ABAC，所以AP，AB，AC两两垂直，故以AB，AC，AP分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0

16、），C（0，2，0），P（0，0，2），D（2，2，0），E（1，1，0），所以，（10分）设，则，所以M（2，2，22），易得平面ABCD的法向量=（0，0，1）（11分）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），由，得令x=1，得=（1，1，1）（12分）因为直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，所以，即，（13分）所以 ，解得，或（舍）（14分）【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，平面与平面平行的判定定理的应用，考查转化思想以及空间想象能力逻辑推理能力的应用6（2015宜春校级模拟）如图，在四棱锥PABCD中，侧棱P

17、A底面ABCD，ADBC，ABC=90，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点（）求证：AM平面PCD；（）设点N是线段CD上一动点，且DN=DC，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求的值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定菁优网版权所有【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】（）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标，再求出平面平面PCD的一个法向量，即可证明AM平面PCD；（）利用空间向量求出使直线MN与平面PAB所成的角最大时N的位置即可，得出的值【解答】（）证明：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（

18、2，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1），=（0，1，1），=（1，0，2），=（1，2，0）设平面PCD的法向量是=（x，y，z），则令z=1，则x=2，y=1，于是，AM平面PCD （6分）（）解：由点N是线段CD上的一点，可设又面PAB的法向量为=（1，0，0）设MN与平面PAB所成的角为则= 时，即时，sin最大，MN与平面PAB所成的角最大时 （13分）【点评】本题考查了运用空间向量求证线面的平行关系，考查了利用空间向量求解直线与平面所成角，关键是建立正确的空间直角坐标系，是中档题7（2016河南一模）如图四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，AD

19、CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，点M在线段PD上（1）求证：ABPC（2）若二面角MACD的大小为45，求BM与平面PAC所成的角的正弦值【考点】与二面角有关的立体几何综合题菁优网版权所有【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）设E为BC的中点，连接AE，证明ABPC，只需证明AB平面PAC，只需证明ABAC，ABPA（2）设ACBD=O，连接OP，过点M作MNAD，过点N作NGAC于G，连接MG，证明MGN是二面角MACD的平面角，即MGN=45，M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，证明BHA是BM与平面PAC所成的角，即可求BM与平面PAC所成的角的正

20、弦值【解答】（1）证明：设E为BC的中点，连接AE，则AD=EC，ADEC，四边形AECD为平行四边形，AEBCAE=BE=EC=2，ABC=ACB=45，ABAC，PA平面ABCD，AB平面ABCD，ABPAACPA=A，AB平面PAC，ABPC（2）设ACBD=O，连接OP，过点M作MNAD，过点N作NGAC于G，连接MG，则MNPA，由PA平面ABCD，可得MN平面ABCD，MNAC，NGAC，MNNG=N，AC平面MNG，ACMG，MGN是二面角MACD的平面角，即MGN=45设MN=x，则NG=AG=x，AN=ND=x，可得M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，由（1）AB平

21、面PAC，BHA是BM与平面PAC所成的角在ABM中，AB=4，AM=PD=，BM=3，cosABM=，BHA与ABM互余，BM与平面PAC所成的角的正弦值为【点评】本题考查线面垂直，线线垂直，考查面面角，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出线面角是关键8（2016惠州模拟）如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC=60，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AE平面PAD；（2）取AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角EAFC的余弦值【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定菁优网版权所有【

22、专题】空间角【分析】（1）由已知条件推导出ABC为正三角形，从而得到AEBC，AEAD，再由PA平面ABCD，得到PAAE，由此能证明AE平面PAD（2）法一：H为PD上任意一点，连接AH，EH，则EHA为EH与平面PAD所成的角，当AH最短时，即当AHPD时，EHA最大，由此能求出二面角EAFC的余弦值（2）法二：由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系利用向量法能求出二面角EAFC的余弦值【解答】（本小题满分13分）（1）证明：四边形ABCD为菱形，ABC=60，ABC为正三角形，E为BC的中点，AEBC（1分）又BCAD，AEAD（2分）PA平面ABCD，A

23、E平面ABCD，PAAE（3分）而PA平面PAD，AD平面PAD，PAAD=A，AE平面PAD（5分）（2）解法一：H为PD上任意一点，连接AH，EH，由（1）知AE平面PAD，则EHA为EH与平面PAD所成的角，（6分）在RTEAH中，当AH最短时，即当AHPD时，EHA最大（7分）此时，又AD=2，ADH=45，PA=2（8分）PA平面ABCD，PA平面PAC，平面PAC平面ABCD，过E作EOAC于O，则EO平面PAC，过O作OSAF于S，连接ES，则ESO为二面角EAFC的平面角，（10分）在RTAOE中，又F是PC的中点，在RTASO中，又，（11分）在RTESO中，即所求二面角的余

24、弦值为（13分）（2）解法二：由（1）可知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设AP=a，则A（0，0，0），B（，1，0），C（），D（0，2，0），P（0，0，a），E（，0，0），F（，），H（0，22，a）（其中0，1），（6分）(DH=DP)，面PAD的法向量为，EH与平面PAD所成最大角的正切值为（7分）的最大值为，即f（a）=（a2+4）28+7在0，1的最小值为5，函数f（a）对称轴，f（a）min=，解得a=2（9分）=（，0，0），=（，1）设平面AEF的一个法向量为=（x1，y1，z1 ），则，取z1=1，则=（0，2，1）（11分）为平

25、面AFC的一个法向量（12分）所求二面角的余弦值为（13分）【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用9（2016广西一模）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，PD平面ABCD，E为PB上的点，且2BE=EP（1）证明：ACDE；（2）若PC=BC，求二面角EACP的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质菁优网版权所有【专题】计算题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）由线面垂直的定义，得到PDAC，在正方形ABCD中，证出BDAC，根据线面垂直判定定理证出AC平面PBD，从而得到ACDE；（

26、2）建立空间直角坐标系，如图所示得D、A、C、P、E的坐标，从而得到、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组解出=（1，1，1）是平面ACP的一个法向量，=（1，1，1）是平面ACE的一个法向量，利用空间向量的夹角公式即可算出二面角EACP的余弦值【解答】解：（1）PD平面ABCD，AC平面ABCDPDAC底面ABCD是正方形，BDAC，PD、BD是平面PBD内的相交直线，AC平面PBDDE平面PBD，ACDE（2）分别以DP、DA、DC所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示设BC=3，则CP=3，DP=3，结合2BE=EP可得D（0，0，0），A（0，3，0），C（0

27、，0，3），P（3，0，0），E（1，2，2）=（0，3，3），=（3，0，3），=（1，2，1）设平面ACP的一个法向量为=（x，y，z），可得，取x=1得=（1，1，1）同理求得平面ACE的一个法向量为=（1，1，1）cos，=，二面角EACP的余弦值等于【点评】本题在特殊四棱锥中求证线面垂直，并求二面角的大小着重考查了空间线面垂直的定义与判定、空间向量的夹角公式和利用空间坐标系研究二面角的大小等知识，属于中档题10（2016湖南二模）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，PC底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点（）求证：平

28、面EAC平面PBC；（）若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）证明ACPCACBC通过直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC平面PBC（）如图，以点C为原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标以及面PAC的法向量面EAC的法向量，通过二面角PACE的余弦值为，求出直线PA的向量，利用向量的数量积求解直线PA与平面EAC所成角的正弦值即可【解答】解：（）PC平面ABCD，AC平面

29、ABCD，ACPCAB=4，AD=CD=2，AC=BC=2AC2+BC2=AB2，ACBC又BCPC=C，AC平面PBCAC平面EAC，平面EAC平面PBC（5分）（）如图，以点C为原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，2，0）设P（0，0，2a）（a0），则E（1，1，a），=（2，2，0），=（0，0，2a），=（1，1，a）取=（1，1，0），则=0，为面PAC的法向量设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则=0，即，取x=a，y=a，z=2，则=（a，a，2），依题意，|cos，|=，则a=2 （10分）于是n=（2，2，

30、2），=（2，2，4）设直线PA与平面EAC所成角为，则sin=|cos，|=，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为（13分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理以及二面角得到平面角，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力11（2016新余校级一模）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90，AE平面ABCD，EFCD，BC=CD=AE=EF=1（）求证：CE平面ABF；（）求证：BEAF；（）在直线BC上是否存在点M，使二面角EMDA的大小为？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由【考点】用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题菁优网版权所有【专

31、题】空间位置关系与距离；空间向量及应用【分析】（I）作 FGEA，AGEF，连结EG交AF于H，连结BH，BG，由题设条件推导出四边形AEFG为正方形，从而得到CDAG为平行四边形，由此能够证明CE面ABF（）利用已知条件推导出BG面AEFG，从而得到AF平面BGE，由此能够证明AFBE（）以A为原点，AG为x轴，AD为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系Axyz利用向量法能够求出结果【解答】（I）证明：如图，作 FGEA，AGEF，连结EG交AF于H，连结BH，BG，EFCD且EF=CD，AGCD，即点G在平面ABCD内由AE平面ABCD，知AEAG，四边形AEFG为正方形，CDAG为平行四

32、边形，（2分）H为EG的中点，B为CG中点，BHCE，CE面ABF（4分）（）证明：在平行四边形CDAG中，ADC=90，BGAG又由AE平面ABCD，知AEBG，BG面AEFG，BGAF（6分）又AFEG，AF平面BGE，AFBE（8分）（）解：如图，以A为原点，AG为x轴，AE为z轴，AD为y轴，建立空间直角坐标系Axyz由题意得：A（0，0，0），G（1，0，0），E（0，0，1），D（0，2，0），设M（1，y0，0），则，设面EMD的一个法向量=（x，y，z），则，令y=1，得z=2，x=2y0，=（2y0，1，2）（10分）又，为面AMD的法向量，二面角EMDA的大小为，|cos|

33、=|=cos=，解得，在BC上存在点M，且|CM|=|=（12分）【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与直线垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断，解题时要注意向量法的合理运用12（2016中山市模拟）在三棱锥SABC中，ABC是边长为2的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=，E，F分别为AB、SB的中点（）证明：ACSB；（）求锐二面角FCEB的余弦值；（）求B点到平面CEF的距离【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（I）取AC中点O，

34、并以O为原点，OA、OB、OS为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系给出A、B、S、E、F各点的坐标，从而得到向量的坐标，计算出数量积，即可证出ACSB；（II）根据题意，算出向量的坐坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组解出为平面CEF的一个法向量，而为平面ABC的一个法向量，利用空间向量的夹角公式算出夹角的余弦值，即可得到锐二面角FCEB的余弦值；（III）在平面CEF内取点B，得到向量，根据空间坐标系点到平面的距离公式，即可算出点B到平面CEF的距离为【解答】解：（）取AC中点O，根据题意可得OA、OB、OS两两互相垂直，因此以O为原点，分别以OA、OB、OS为x轴、y轴、z轴

35、，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（1，0，0），即得ACSB（）由（）得，设为平面CEF的一个法向量，则，取z=1，得平面CEF的一个法向量为又为平面ABC的一个法向量，结合题意二面角FCEB是一个锐二面角，所以二面角FCEB的余弦值为（）由（）、（），可得，为平面CEF的一个法向量由点到平面的距离公式，可得点B到平面CEF的距离为 【点评】本题给出底面为等边三角形且一个侧面与底面垂直的三棱锥，求证线线垂直并求二面角的大小和点到平面的距离着重考查了利用空间向量研究平面与平面所成角、点到平面的距离公式和异面垂直的证法等知识，属于中档题13（2016常德一模）如图所示的几何体中，ABC

36、A1B1C1为三棱柱，且AA1平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，ADC=60（）若AA1=AC，求证：AC1平面A1B1CD；（）若CD=2，AA1=AC，二面角CA1DC1的余弦值为，求三棱锥C1A1CD的体积【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】综合题；向量法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用【分析】（）若AA1=AC，根据线面垂直的判定定理即可证明AC1平面A1B1CD；（）建立坐标系，根据二面角CA1DC1的余弦值为，求出的值，根据三棱锥的体积公式进行计算即可【解答】证明：（）若AA1=AC，则四

37、边形ACC1A1为正方形，则AC1A1C，AD=2CD，ADC=60，ACD为直角三角形，则ACCD，AA1平面ABC，CD平面ACC1A1，则CDA1C，A1CCD=C，AC1平面A1B1CD；（）若CD=2，ADC=60，AC=2，则AA1=AC=2，建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则C（0，0，0），D（2，0，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），A1（0，2，2），则=（2，2，2），=（2，0，0），=（0，2，0），设面CA1D的一个法向量为=（x，y，z）则=2x2y2z=0，=2x=0，则x=0，y=z，令z=1，则y=，则

38、=（0，1）设面A1DC1的一个法向量为=（x，y，z）=2x2y2z=0，=2y=0，则y=0，2x2z=0，令z=1，则x=，则=（，0，1），二面角CA1DC1的余弦值为，cos，=，即（1+2）（1+32）=8，得=1，即AA1=AC，则三棱锥C1A1CD的体积V=V=4【点评】本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥体积的计算，根据二面角的关系建立坐标系求出的值是解决本题的关键14（2016平顶山二模）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧SBC是正三角形，点E是SB的中点，且AE平面SBC（1）证明：SD平面ACE；（2）若ABAS，BC=2，求点S到平面ABC的距离

39、【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）连结BD，交于点F，由已知得EFSD，由此能证明SD平面ACE（2）由已知得AB=，AE=1，AECE，CE=，AC=2，由VSABC=VASBC，能求出点S到平面ABC的距离【解答】（1）证明：连结BD，交于点F，ABCD是平行四边形，F是BD的中点，又点E是SB的中点，EFSD，SD平面ACE，EF平面ACE，SD平面ACE（2）解：ABAS，BC=2，且点E是SB的中点，AB=，AE=1，又AE平面SBC，CE平面SBC，AECE，侧面SBC是正三角形，CE=，AC=2，ABC是底边

40、为，腰为2的等腰三角形=，设点S一平面ABC的距离为h，由VSABC=VASBC，得，h=【点评】本题考查空间点、线、面的位置，考查线线平行、线面平行、线线垂直与线面垂直，考查等积法求几何体的体积，考查空间想象能力、运算能力、逻辑推理能力及化归思想等15（2016广州一模）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，ACBD=O，A1O底面ABCD，AB=AA1=2（）证明：BD平面A1CO；（）若BAD=60，求点C到平面OBB1的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定菁优网版权所有【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离【分析】（）证明

41、A1OBDCOBD即可证明BD平面A1CO（）解法一：说明点B1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离A1O设点C到平面OBB1的距离为d，通过，求解点C到平面OBB1的距离解法二：连接A1C1与B1D1交于点O1，连接CO1，OO1，推出OA1O1C为平行四边形证明CH平面BB1D1D，然后求解点C到平面OBB1的距离【解答】（）证明：因为A1O平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1OBD（1分）因为ABCD是菱形，所以COBD（2分）因为A1OCO=O，A1O，CO平面A1CO，所以BD平面A1CO（3分）（）解法一：因为底面ABCD是菱形，ACBD=O，AB=AA1=2，B

42、AD=60，所以OB=OD=1，（4分）所以OBC的面积为（5分）因为A1O平面ABCD，AO平面ABCD，所以A1OAO，（6分）因为A1B1平面ABCD，所以点B1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离A1O（7分）由（）得，BD平面A1AC因为A1A平面A1AC，所以BDA1A因为A1AB1B，所以BDB1B（8分）所以OBB1的面积为（9分）设点C到平面OBB1的距离为d，因为，所以（10分）所以所以点C到平面OBB1的距离为（12分）解法二：由（）知BD平面A1CO，因为BD平面BB1D1D，所以平面A1CO平面BB1D1D（4分）连接A1C1与B1D1交于点O1，连接CO1，OO1，因为AA1=CC1，