勾股定理知识点及典型例题

1、 勾股定理知识点回顾各位同学下午好，今天我将带领大家回顾下勾股定理方面的知识点。一、首先请看黑板，例1试通过等积法得出啊a，b，c三者的关系。没错，这个过程就是我们勾股定理的证明过程。那么勾股定理具体是怎样表述的呢？我们拿出例1中的三角形ADE来研究，我们可以总结出勾股定理的定义。首先勾股定理只在直角三角形中才存在；其次就是三边存在关系a2b2c2。即勾股定理可以表述为：二、勾股定理的定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。简单的说，勾股定理就是直角三角形三边的一种数量关系。其中较短的直角边我们叫它：勾；较长长边

2、我们叫它：股；斜边叫它：弦。既然直角三角形三边是这样关系，那么对于锐角三角形和钝角三角形又是怎样的关系呢？这里大家可以通过特殊三角形来记忆：锐角三角形就通过边长为1的等边三角形来特殊化，显然a2b2c2 对于钝角三角形，可以通过底角为30度，腰为2的等腰三角形来记忆，计算可知a2b2c2大家不仅要掌握勾股定理，对于勾股定理的逆定理也是必须掌握的，它是我们判断直角三角形时一个很好的方法，那我们看看它的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：A、若已知边长：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2a2

3、b2，则ABC是以C为直角的三角形；若a2b2c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）B、若未知边长，则直接进行第二步。例2：在ABC中，若=（+）（-），则ABC是 三角形，且 三、对于勾股定理，还有个很重要的概念：勾股数：满足a2b2c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13四、勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。例3：在直角三角形中两直角边分别为3、2，求斜边长;例4：在直

4、角三角形中两边长分别为3、2，求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。:（3）用于证明线段平方关系的问题。例 5： 如图所示，在中，为BC边上任意一点求证：AB2AP2=BP·PC（先直接因式分解不行，再间接分解）（4）利用勾股定理，作出长为的线段。例6：请在数轴上表示出（5）解决实际应用问题例7、 梯子滑动问题：（1）一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动 0.8 米 例8、 爬行距离最短问题：如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（ D ）A.

5、B. C. D. 例9、折叠问题：如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) 五、例10： 如图，直角ABC的主要性质是：C=90°，（用几何语言表示）两锐角之间的关系： ；若D为斜边中点，则斜边中线 ；若B=30°，则B的对边和斜边： ；三边之间的关系： 。归纳下当题目提到直角三角形的时候应该立刻在脑子里想到：（1）角度关系。（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 （5）勾股定理。练习1.在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为 （ 5+9=14）2.已知 与互为相反数，