单纯形法解决无约束优化问题

1、分 数: _ 任课教师签字：_ 课程作业学 年 学 期：20172018学年第二学期课 程 名 称：优化理论作 业 名 称：作业三学 生 姓 名：学 号：提 交 时 间：一、问题重述形如的问题称为无约束优化问题，常用下降算法来解决这类问题。下降算法的关键在于步长和搜索方向的选取。步长的求取可以借助前面作业中提到的一维搜索等方法求取，而搜索方向算法可以分为两大类，解析法和直接法。解析法借助了目标函数的导数进行搜索，这类算法搜索速度快、效率高，但是对目标函数的要求更为严格。常用的方法有最速下降法、Newton法、共轭梯度法、拟Newton法等。直接法不使用导数，也不需要得到目标函数的明确解析式，只

2、需要能够得到某些函数上的点即可。因此直接法的适用范围更广，但相应的收敛速度会较慢，计算量也会随着问题维数的增加而迅速增大。常用的方法有单纯形法、Powell方向加速法以及Powell改进算法。本作业以直接法的Powell法为例，解决具体的无约束优化问题，并对将Powell方向加速法和Powell改进算法解决结果进行对比。二、算法原理对于n维正定二次函数，设关于G共轭，与为任意不同点。分别从与出发，依次沿作一维搜索。如果最后找到两个互不相同的极小点与，则与关于G共轭。Powell方向加速法正是基于这一原理，每次迭代过程作n+1次一维搜索。第一次沿给定的n个线性无关的方向依次作一维搜索，之后沿由这

3、一阶段的起点到第n次搜索所得到的点的方向P再做一次一维搜索，并把这次所得点作为下一阶段的起点，下一阶段的n个搜索方向为。以此直到找到最优解。此算法是在迭代中逐次生成共轭方向，而共轭方向又是较好的搜索方向，所以称之为方向加速法。但是，此算法产生的n个向量可能线性或近似线性相关，这时张不成n维空间，可能得不到真正的极小点。因此，Powell原始算法存在一定的缺陷。Powell改进算法虽然不再具有二次终止性，但克服了搜索方向的线性相关的不利情形，是解决无约束优化问题较有效的直接法之一。本次作业一维搜索的过程是利用函数求导，求得最小值。经过试验发现，是允许为负数的。否则最终寻优得到的极值点与实际结果存

4、在很大的偏差，而且寻优的效率特别低下。三、算法流程Powell算法流程图：图1 Powell算法流程图Powell改进算法流程图：图2 Powell改进算法流程图四、实验验证1、设目标函数，收敛精度为0.001，初始点（-2,2）。利用Matlab自带的函数求二元函数极值点函数fminsearch，求得极值点为(-0.630,-1.500)，最小值为-1.722。以此为标准，检验Powell方向加速法和Powell改进算法的寻优结果。Powell方向加速法经过2次迭代，求得极值点（-0.630,-1.500），对应的最小值-1.722；Powell改进方向加速法经过2次迭代，求得极值点（-0.

5、630,-1.500），对应的最小值1.722。2、设目标函数，收敛精度为0.001，初始点（-2,2）。利用Matlab自带的函数求二元函数极值点函数fminsearch，求得极值点为(0.5827,-1.7913)，最小值为-1.5109。以此为标准，检验Powell方向加速法和Powell改进算法的寻优结果。Powell方向加速法经过4次迭代，求得极值点（0.5827,-1.7912），对应的最小值-1.5109；Powell改进方向加速法经过2次迭代，求得极值点（-0.630,-1.500），对应的最小值1.722。两种方法对应的寻优过程如下图所示。图3 Powell直接与改进法寻优过

6、程四、算法程序1、Powell方向加速关键部分算法：error=0.001; x_process =-2,2; dimensions=2;P=eye(dimensions);zeros(1,dimensions);%初始搜索方向syms aerfa;while(1)x_zero=x_process; for i=1:dimensions%沿着P(i,:)方向进行一维搜索 f=F_Object(x_process+aerfa*P(i,:); aerfa_process_all=double(real(solve(diff(f); F_process_j=; for j=1:length(aerf

7、a_process_all) aerfa_process=aerfa_process_all(j); x_process_j=x_process+aerfa_process*P(i,:); F_process_j=F_process_j F_Object(x_process_j); end ,j=min(F_process_j); aerfa_process=aerfa_process_all(j); x_process=x_process+aerfa_process*P(i,:); endif norm(x_process-x_zero)<=error break; %可以避免之后分母

8、中的(x_process-x_zero)过小而影响算法的进行 end P(dimensions+1,:)=(x_process-x_zero)/norm(x_process-x_zero); for i=1:dimensions P(i,:)=P(i+1,:); end f=F_Object(x_process+aerfa*P(dimensions+1,:); aerfa_process_all=double(real(solve(diff(f); %一维搜索 F_process_j=; for j=1:length(aerfa_process_all) aerfa_process=aerfa

9、_process_all(j); x_process_j=x_process+aerfa_process*P(i,:); F_process_j=F_process_j F_Object(x_process_j); end ,j=min(F_process_j); aerfa_process=aerfa_process_all(j); x_process=x_process+aerfa_process*P(end,:); if norm(x_process-x_zero)<=error break; endend2、Powell改进法关键部分算法：error=0.001;x_proces

10、s =-2,2;syms aerfa;dimensions=length(x_zero);F_process=zeros(dimensions+1,1);P=eye(dimensions);%初始搜索方向while(1) x_zero=x_process; F_process(1)=F_Object(x_zero); for i=1:dimensions%沿着P(i,:)方向进行一维搜索 f=F_Object(x_process+aerfa*P(i,:); aerfa_process_all=double(real(solve(diff(f); %一维搜索 F_process_j=; for

11、j=1:length(aerfa_process_all) aerfa_process=aerfa_process_all(j); x_process_j=x_process+aerfa_process*P(i,:); F_process_j=F_process_j F_Object(x_process_j); end ,j=min(F_process_j); aerfa_process=aerfa_process_all(j); x_process=x_process+aerfa_process*P(i,:); F_process(i+1)=F_Object(x_process); end

12、if norm(x_process-x_zero)<=errorbreak;end F_Object_data,m=max(F_process(1:dimensions)-F_process(2:dimensions+1); F_Object_xing=F_Object(2*x_process-x_zero);if(F_Object_xing>=F_process(1)|(F_process(1)2*F_process(dimensions+1)+F_Object_xing)*(F_process(1)-F_process(dimensions+1)-F_Object_data)2

13、>0.5*(F_process(1)-F_Object_xing)2*F_Object_data) x_zero=x_process; else for i=m:dimensions-1P(i,:)=P(i+1,:);end P(dimensions,:)=(x_process-x_zero)/norm(x_process-x_zero); f=F_Object(x_process+aerfa*P(dimensions,:); aerfa_process_all=double(real(solve(diff(f);%一维搜索 F_process_j=; for j=1:length(aerfa_process_all) aerfa_process=aerfa_process_all(j); x_process_j=