(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明

1、1正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法知识点总结及证明方法王彦文青铜峡一中1 1掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2 2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化的数学思想解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现1 1正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即 其中R是三角形外接圆的半径(2)正弦定理的其他形式：a 2RsinA，b，c；sinAa

2、2R，sinB，sinC；abc_.2 2余弦定理(1)余弦定理： 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即a2，b2，c2.若令C90，则c2，即为勾股定理(2) 余 弦 定 理 的 变 形 ： cosA，cosB，cosC.若C为锐角， 则 cosC0， 即a2b2_c2；若C为钝角，则 cosC0，即a2b2_c2.故由a2b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角(3)正、 余弦定理的一个重要作用是实现边角_，余弦定理亦可以写成 sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA，类似地，sin2B_；sin2C_.注意式中隐

3、含条件ABC.3 3解斜三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用_定理只有一解(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对 角 ， 用 _ 定 理 ， 可 能 有_如在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAab解的个数(3)已知三边，用_定理有解时，只有一解(4)已知两边及夹角，用_定理，必有一解4 4三角形中的常用公式或变式(1)三角形面积公式S_ 其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径(2)ABC，则A_，A2 _ ， 从 而sinA_，cosA_，tanA2_；sinA2_，cosA2_，tanA2 _.tanAtanBt

4、anC_.(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b_2sinB_2sinB2 cosAC2 2cosAC2 cosAC2tanA2tanC213.【自查自纠】1 1(1)asinAbsinBcsinC2R(2)2RsinB2RsinCb2Rc2RsinAsinBsinC2 2(1)b2c22bccosAc2a22cacosBa2b22abcosCa2b2(2)b2c2a22bcc2a2b22caa2b2c22abB是 sinAsinB的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大， 反之也成立， 故是充要条件 故选

5、C C. .在ABC中，已知b6，c10，B30，则解此三角形的结果有()A无解B一解C两解D一解或两解解：由正弦定理知sinCcsinBb56，又由cbcsinB知，C有两解也可依已知条件，画出ABC，由图知有两解故选 C C. .(2013陕西)设ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若bcosCccosBasinA,则ABC的形状为()A锐角三角形B 直角三角形C钝角三角形D不确定解：由已知和正弦定理可得 sinBcosCsinCcosB sinAsinA， 即 sin(BC) sinAsinA， 亦即 sinAsinAsinA.因为 0A，所以 sinA1，所以A2.

6、所以三角形为直角三角形故选 B B. .(2012陕西)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a2，B6，c32 3，则b_解：由余弦定理知b2a2c22accosB22(2 3)2222 3cos64，b2.故填2.2.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 若a 2，b2， sinBcosB 2，则角A的大小为_解：sinBcosB 2， 2sinB4 2，即 sinB4 1.又B(0，)，B42，B4.根据正弦定理asinAbsinB，可得 sinAasinBb12.ab，AB.A6.故填6 6. .类型一类型一正弦定理的应用正弦定理的应用ABC的内角A，B，C

7、的对边分别为a，b，c，已知AC90，ac 2b，求C.解：由ac 2b及正弦定理可得 sinAsinC 2sinB.又由于AC90，B180(AC)，故 cosCsinCsinAsinC 2sin(AC)2sin(902C) 2sin2(45C)2 sin(45 C) 22 sin(45 C)cos(45C)，即 cos(45C)12.又0C90，45C60，C15.【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系，这是解此题的关键(2012江西)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A4，bsin4Ccsin4Ba.(1)求证：BC2；(2)若a 2，求ABC的面积解： (1)证

8、明： 对bsin4Ccsin4Ba应 用 正 弦 定 理 得 sinBsin4CsinCsin4BsinA，即sinB22sinC22cosCsinC22sinB22cosB22，整理得 sinBcosCsinCcosB1，即 sin(BC)1.由于B，C0，34，BC2.(2)BCA34，又由(1)知BC42，B58，C8.a 2，A4，由正弦定理知basinBsinA2sin58，casinCsinA2sin8.SABC12bcsinA122sin582sin8222sin58sin82cos8sin822sin412.类型二类型二余弦定理的应用余弦定理的应用在ABC中，a，b，c分别是角

9、A，B，C的对边，且cosBcosCb2ac.(1)求B的大小；(2)若b 13，ac4， 求ABC的面积解：(1)由余弦定理知，cosBa2c2b22ac，cosCa2b2c22ab，将上式代入cosBcosCb2ac得a2c2b22ac2aba2b2c2b2ac，整理得a2c2b2ac.cosBa2c2b22acac2ac12.B为三角形的内角，B23.(2)将b 13，ac4，B23代入b2a2c2 2accosB， 得 13 42 2ac2accos23，解得ac3.SABC12acsinB3 34.【评析】根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键熟练运用

10、余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用若ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为()A.43B84 3C1D.23解：由余弦定理得c2a2b22abcosCa2b2ab，代入(ab)2c24 中得(ab)2(a2b2ab)4，即 3ab4，ab43.故选A A. .类型三类型三正、余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用(2013全国新课标)ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c， 已知abcosCcsinB.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值5解：(1)由已知及正弦定理得 sinAsinBcosCsin

11、CsinB.又A(BC)，故sinA sin(BC) sinBcosCcosBsinC.由，和C(0，)得 sinBcosB.又B(0，)，所以B4.(2)ABC的面积S12acsinB24ac.由 已 知 及 余 弦 定 理 得 4 a2c22accos4.又a2c22ac，故ac42 2，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为 21.【评析】 (1)化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值(2013山东)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，

12、b，c，且ac6，b2，cosB79.(1)求a，c的值；(2)求 sin(AB)的值解：(1)由余弦定理b2a2c22accosB，得b2(ac)22ac(1cosB)，又ac6，b2，cosB79，所以ac9，解得a3，c3.(2)在ABC中，sinB 1cos2B4 29，由正弦定理得 sinAasinBb2 23.因为ac，所以A为锐角，所以 cosA 1sin2A13.因此 sin(AB)sinAcosBcosAsinB10 227.类型四类型四判断三角形的形状判断三角形的形状在三角形ABC中，若 tanAtanBa2b2，试判断三角形ABC的形状解法一：由正弦定理，得a2b2sin

13、2Asin2B，所以tanAtanBsin2Asin2B，所以sinAcosBcosAsinBsin2Asin2B，即 sin2Asin2B.所以 2A2B，或 2A2B，因此AB或AB2，从而ABC是等腰三角形或直角三角形解法二：由正弦定理，得a2b2sin2Asin2B，所以tanAtanBsin2Asin2B，所以cosBcosAsinAsinB，再由正、余弦定理，得a2c2b22acb2c2a22bcab，化简得(a2b2)(c2a2b2)0，即a2b2或c2a2b2.从而ABC是等腰三角形或直角三角形【评析】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三

14、角函数式的恒等变形，找出角之间的6关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握(2012上海)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形B 直角三角形C钝角三角形D不能确定解：在ABC中，sin2Asin2Bsin2C， 由 正 弦 定 理 知a2b2c2.cosCa2b2c22ab0，即C为钝角，ABC为钝角三角形故选 C C. .类型五类型五解三角形应用举例解三角形应用举例某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20n mile 的A处

15、，并以 30 n mile/h 的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以vn mile/h 的航行速度匀速行驶，经过th与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小， 则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 nmile/h， 试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)， 使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解法一： (1)设相遇时小艇航行的距离为Snmile，则S900t2400230t20cos（9030）900t2600t400900t132300，故当t13时，Smin10 3， 此时v10 31330 3.即小艇以 30 3 n

16、 mile/h 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900600t400t2.0AC，且对于线段AC上任意点P，有OPOCAC.而小艇的最高航行速度只能达到 30 nmile/h， 故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇设COD(090)， 则在RtCOD中，CD10 3tan，OD10 3cos.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t1010 3tan30和t10 3vcos，所以1010 3tan3010 3vcos.由此可得，v15 3sin（30）.又v30，故 si

17、n(30)32，从而，3090.由于30时，tan取得最小值，且最小值为33.于是，当30时，t1010 3tan30取得最小值，且最小值为23.【评析】这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形本题用几何方

18、法求解也较简便(2012武汉 5 月模拟)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西 60方向的B处，且与岛屿A相距 12 海里， 渔船乙以 10 海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上(1)求渔船甲的速度；(2)求 sin的值解：(1)依题意，BAC120，AB12，AC10220， 在ABC中， 由余弦定理知BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos120784，BC28.所以渔船甲的速度为v28214(海里/小8时)(2)在ABC中，AB12，BAC120，BC28，BCA， 由 正 弦 定 理 得ABsinBCsinBAC，即12sin28sin120，从而 sin12sin120283 314.1 1已知两边及其中一边的对角解三角形时，要注意解的情况，谨防漏解