式题的巧解妙算一

1、式题的巧解妙算（一）1.特殊数题(1)2112当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。因为这样的两位数减法，最低起点是2112，差为9，即(21)9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故3113(31)918。减数从1289，都可类推。被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如210120(21)9090，0.650.56(65)0.090.09。(2)3151个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。若十

2、位数字的和满10，进1。如证明：(10a1)(10b1)100ab10a10b1100ab10(ab)1(3)2686 4262个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。证明：(10ac)(10bc)100ab10c(ab)cc100(abc)cc (ab10)。(4)1719十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。原式(179)1079323证明：(10a)(10b)10010a10bab(10a)b10ab。(5)6369十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一

3、个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。原式(639)610397260274347。证明：(10ac)(10ad)100aa10ac10adcd10a(10ac)dcd。(6)8387十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如证明：(10ac)(10ad)=100aa10a(cd)cd100a(a1)cd(cd10)。(7)3822十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。原式(308)(308)30282836。(8)8837被乘

4、数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。(9)3615乘数是15的两位数相乘。被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。5410540。5515(10)125101三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。1251126。原式12625。再如348101，因为3483351，原式35148。(11)8449一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。原式84002844200844116。(12)8599两位

5、数乘以9、99、999、。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。原式8500858415不难看出这类题的积：最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差；最低位上的两位数，是100与被乘数的差；中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a0)，则如果被乘数的个位数是1，例如31999在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。71999970999970709929。这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n1)的形式，其积为(10a1)(10n

6、1)10n1a(10n1)10a。(13)119这是一道颇为繁复的计算题。原式0.052631578947368421。根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。原式转化为0.11.9，把1.9看作2，计算程序：(1)先用0.120.05。(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除如此除到循环为止。仔细分析这个算式：加号前面的0.05是0.12的商，后面的0.050.11.9中0.050.10.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。除数末位是9，都可用此法计算。例如

7、129，用0.13计算。1399，用0.140计算。2.估算数学素养与能力(含估算能力)的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。已经引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待研究的课题。美国数学督导委员会，提出的12种面向全体学生的基本数学能力中，第6种能力即估算：“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性。检验预测或作出决定”(1)最高位估算只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在什么范围。例1 113750443169最高位之和1533，结果在3000左右。如果因为忽视小数点而算成560，依据“一个

8、不等于零的数乘以真分数，积必小于被乘数”估算，错误立即暴露。例3 51.91.51整体思考。因为 51.950，而501.51501.575，又51.950，1.511.5，所以51.91.5175。另外919，所以原式结果大致是75多一点，三位小数的末位数字是9。例4 327979把3279和79，看作3200和80。准确商接近40，若相差较大，则是错的。(2)最低位估算例如，6403232157832813，原式和的末位必是3。(3)规律估算和大于每一个加数；两个真分数(或纯小数)的和小于2；一个真分数与一个带分数(或一个纯小数与一个带小数)的和大于这个带分数(或带小数)，且小于这个带分数

9、(或带小数)的整数部分与2的和；两个带分数(或带小数)的和总是大于两个带分数(或带小数)整数部分的和，且小于这两个整数部分的和加上2；奇数奇数偶数，偶数偶数偶数，奇数偶数奇数；差总是小于被减数；整数与带分数(或带小数)的差小于整数与带分数(或带小数)的整数部分的差；带分数(或带小数)，与整数的差大于带分数(或带小数)的整数部分与整数的差。 带分数(或带小数)与真分数(或纯小数)的差小于这个带分数(或带小数)，且大于带分数(或带小数)减去1的差；带分数与带分数(或带小数与带小数)的差小于被减数与减数的整数部分的差，且大于这个差减去1；如果两个因数都小于1，则积小于任意一个因数；若两个因数都大于1

10、，则积大于任意一个因数；带分数与带分数(或带小数与带小数)的积大于两个因数的整数部分的积，且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积； 例如，AABB。奇数偶数偶数，偶数偶数偶数；若除数1，则商被除数；若除数1，则商被除数；若被除数除数，则商1；若被除数除数，则商1。(4)位数估算整数减去小数，差的小数位数等于减数的小数位数；例如，3200.68，差为两位小数。最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数和；例如，4517103最高位的积4728，满10，结果是347(位数)。在整除的情况下，被除数的前几位不够除，商的位数等于被除数的位数减去除数的位数；例如，1473422714不够27除，商是422(位数)。被除数的前几位够除，商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。例如，30226238302够238除，商是5313(位数)。(5)取整估算把接近整数或整十、整百、的数，看作整数，或整十、整百的数估算。如1.980.9721，和