中点四边形的探究活动设计

1、-1 -“中点四边形的探究”活动设计德化第三中学苏华强2014-10一、 活动目的：1通过活动进一步加深学生对“三角形中位线”性质的理解。2通过活动渗透常见数学思想与方法如一般与特殊、转化、整体思想等。3通过活动进一步发展学生的推理能力。4通过活动进一步培养学生的综合分析问题的能力和严密的逻辑思维能力。5、通过活动，使学生获取成功的体验，进一步培养学生合作学习的能力。二、 知识准备：“三角形中位线”性质三、 器材准备：多媒体、白纸、直尺、刻度尺、铅笔、各种四边形四、 活动方式：教师主导，学生小组合作五、 活动准备：有关操作的熟悉和使用：课件、找中点、作平行线、量线段长、测面积等等。六、 活动过

2、程：(一)最新华师大版九年级数学课本P79页中，有一道关于中点四边形的练习题。现在，我们来探究一 下中点四边形的问题。1、中点四边形概念：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。图12、探索问题：(1)、任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？(2)、任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？(3)、任意矩形菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么?(4)、这些中点四边形的周长和面积是什么？探索1.不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形(配合几何画板展示)-2 -设有一任意四边形ABCDAB中点为E,BC中点F,CD中点为G AD中点H,连接四边

3、形EFGH则四边形EFGH为中点四边形，连接BD解法一：在 ABC中，E、F为AB BC中点11所以EF=AC,EF/ AC2211同理GHd AC,GH/ AC221“ 1EH= BD EH/ BD2 211GF= BD GF / - BD22所以四边形EFGH为平行四边形解法二：利用两组对边分别相等证明解法三：利用两组对边分别平行证明探索2、满足什么条件的四边形其中点四边形是特殊四边形?1分组探讨矩形、菱形的中点四边形的特征。2分组探讨梯形，等腰梯形的中点四边形的特征。（在以上两个活动中，学生利用画图并思考，得出结论并说明理由。老师要不停指点及时鼓励，同 时引导学生发现其中的一般规律。3分

4、析矩形、等腰梯形的中点四边形都是菱形，它们有什么共同特征? （学生思考，引导学生从对角线角度去考虑）问题1:是不是所有对角线相等的四边形的中点四边形均为菱形？学生画图，验证。 附：说理过程在厶ABC中，E、F为AB BC中点1所以EF=AC21同理GH= AC21EH=丄BD21GF= BD2又因为AC=BD所以EF=FG=GH=HE所以四边形EFGH为菱形问题2:那什么情况下中点四边形是矩形?（从前面证明过程及问题1引导学生发现对角线的特征，并画图、验证）附：说理过程在厶ABC中，E、F为AB BC中点11所以EF=AC,EF/ AC2211同理GHh AC,GH/ AC22CBAFQPHG

5、C-3 -11EH= BD EH/BD2211GF= BD GF / - BD22所以四边形EFGH为平行四边形又因为AC丄BD所以ACL EH所以EH! EF即/HEF=90所以四边形EFGH为矩形问题3:那什么情况下中点四边形是正方形？（学生自己说明）结论11、任意四边形的中点四边形为平行四边形；2、对角线相等的四边形中点四边形为菱形；3、对角线垂直的四边形中点四边形为矩形；4、对角线相等且垂直的四边形的中点四边形为正方形。探索3： 中点四边形的每条边都是原四边形对角线的一半，所以中点四边形周长是原四边形对角线的和。1画画量量:学生通过画图、测量得出结论。2教师用几何画板进行展示验证。3说

6、明结论（小组讨论：由中点考虑如何解决）解：连接AC在厶ABC中，E、F为AB BC中点即四边形EFGH的周长为原四边形对角线的和。探索4:中点四边形的面积与原图形面积关系1特殊化：I、利用几何画板算算矩形及其中点四边形的面积n、算算菱形及其中点四边形的面积2猜测结论：中点四边形的面积为原图形面积的一半。3验证说理:如图，四边形ABCD取其四边中点E、F、GH,得四边形EFGH若四边形ABCD的面积为a,则：S四边形EFGH=?成果展示：思路一：（整体思想与转化思想）2 2同理1GH / - AC, GH=】AC22所以:EF+GHh AC同理:EH+FG= BDEF+GH+EH+FGAC+BD

7、C所以EF/1AC, EF=1AC-4 -AFCGANDGAMD降AEBF即可。结论2:5、 中点四边形的周长为原四边形对角线的和。6、 中点四边形的面积为原四边形面积的一半。（三）应用：1、 （2011湖北襄阳）顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（ ）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形2、 （2011重庆江津）如图，四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC丄BD,顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D,再顺次连接四边形A1B1CD各边中点，得到四边形A2B2QD,如此进行下去，得到四边形AnBnGD.(

8、1)(2)(3)(4)证明：四边形ABCD是矩形；写出四边形ABCD和四边形ABGQ的面积; 写出四边形ABGD的面积；求四边形ABGD5的周长.AA1D2、/A、/B3C2BA2DD13、（2011甘肃兰州）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，G 中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为C为C1次连结菱形各边的1，则第n个矩形的面积B1B2第2题图要说明，四边形EFGH的面积是1SABCD,转化为说明21亠 、SAEH SBEF SFCG SHGD= S四边形ABCD。连接BDBD，说明:SAEH1SFCGSABCD，SBEFSDGH4方法二：（转化思想）1要说明，四边形EFGH的面积是SABCD，转化为说明2S四边形E PQH=S/BD禾口S四边形GFPQ=连接BD找BD中点M,连接EM HM只需说明 AHEAMEHDHAMPEAEBPAHM(即可。方法三：（整体思想