高数 隐函数与参数方程求导

1、1主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞 高等数学 第十三讲2第四节一、隐函数的导数一、隐函数的导数三、由参数方程确定的函数的导数三、由参数方程确定的函数的导数 隐函数与参数方程求导 第二章 二、对数求导法二、对数求导法331yx一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数 ,由)(xfy 表示的函数 , 称为显函数显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .此函数为隐函数隐函数 .则称如如 010yex1 ey0111yex1y0121yyxexy40),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(含导数 的

2、方程)y隐函数求导方法求导方法: 例例1 设 xyy 是由方程0exyey所确定的，求.y解：解：方程两边同时对 x 求导。0yxyyey.yyyex5例例2 求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 处的导数.0ddxxy解解: 方程两边对 x 求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x(*)0因 x = 0 时 y = 0 , 故210ddxxy0确定的隐函数代入(*)求解。6例例3. 求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xy43故切线方程为323y43)2( x即03843 yx

3、将点)3,2(23代入03341y7求其反函数的导数 .,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2 等式两边同时对 求导y1yxddxeyxddyxddxe11例例4. 设8)(xyy 由方程eyxey确定 , , )0(y解解: 方程两边对 x 求导, 得0yxyyey再求导, 得2yey yxey)(02 y当0 x时, 1y故由 得ey1)0(再代入 得21)0(ey 求. )0(y 例例5 设若求.,yy .xeyyy.22xeyeyyyy 再将y代入上式。9观察函数,)4(1) 1(23xexxxy方法方法: : 先在方程两边取对数, 对数求导法对数求导法

4、-适用范围适用范围: :.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu二、对数求导法二、对数求导法.sinxxy 然后利用隐函数的求导方法求出导数.10例例6. 求)0(sinxxyx的导数 . 解解: 两边取对数 , 化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx11 1) 对幂指函数vuy 可用对数求导法求导 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1说明说明: :按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:12例例7 求下列函数的导数)01,0,0(xbabaaxxbbay

5、bax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb.y1.132. )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41xuuuuuuu)ln(ln0求.y14例例8. 设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示: 分别用对数微分法求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)

6、2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx15三、由参数方程确定的函数的导数三、由参数方程确定的函数的导数若变量 y 是 x 的函数， 其对应关系是通过第三个变量 t 联系在一起的，即 x , y 是 t 的函数,这就是参数方程。参数方程的一般形式为： tytx t 是参变量。例如：例如：242tytx表示抛物线2xy taytaxsincos表示半径为 a 的圆：222ayx例如：例如： 炮弹以初速度 v0 与水平方向角 t 射出， 其运动轨迹方程为：20021sincosgtatvyatvx表示。又如：又如：16若参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(,

7、)(tt可导, 且,0 )( )(22tt则0)( t时, 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t时, 有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成 x 是 y 的函数 )关系,参数方程求导参数方程求导17)cos1 (tay求在2t处的切线方程。解解：点坐标：) 12(axay 2txdyd2ttasin)cos1 (ta12t切线方程：12axay例例9 已知摆线方程xa2yo)sin(ttax18, 求01sin232ytettxy.dd0txy解解： txddye0ddtty0ddtxy例例10 设方程组两边同时对 t 求导, 得26

8、ttyddtsin0ddtyteycostxtydddd2e0t1y20ddttxe19极坐标：极坐标：若将直角坐标系中的原点取为极点极点，M轴的正半轴取为极轴极轴。0 xx设直角坐标系中点yx,的坐标M极坐标系中点M的坐标, r, rrsincosryrxxyryxtan222r020 oMr称为极坐标的极径极径。称为极坐标的极角极角。把y由极轴出发逆时针方向为正。两坐标系中变量间关系：yx20r在对应于的点处的切线方程.解解: 化为参数方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos当时对应点斜率xykdd222, ),0(2M 切线方程为22xy2例例11

9、 求螺线21 求参数方程)()(tytx所表示的函数)(xfy 的二阶导数.解解: 已知xdyd存在则22xdyd)(xdydxdd)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt )(xdydt dd)(),(,)()(tttt 且tdxd)()(ttxdyd)(tx)()(tytx22xdyddxyd)()(tt也可使用一阶导数22例例12 设求.dd22xy,1221tytxxydd2211tt22ddxytt2131t,1221tytx)()(dd22ttxy,)()(ttxydd?已知注意注意 :t1则有2211ttdxyd23ttx22) 1ln( ty求

10、22,.d yd yd xdx解解：xdyd) 1ln(t)2(2 tt) 1(211tt2) 1(21t例例13 设22dxyd2121t12t4121t22) 1(212tyttxdxyd24)(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t tft1)(tf 已知解解:)()(tftfty例例14)(tfxty 22dxyddxyd25内容小结内容小结1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3. 参数方程求导法极坐标方程求导转化转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式26作业作业P109 1 ;