高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-5

1、2022-2-25数学与计算科学学院2022-2-25数学与计算科学学院一、分块矩阵的概念一、分块矩阵的概念定义定义设设A是一个矩阵，在是一个矩阵，在A的行或列之间加上的行或列之间加上一些线，把这个矩阵分成若干小块用这种一些线，把这个矩阵分成若干小块用这种方法被分成若干小块的矩阵叫做一个方法被分成若干小块的矩阵叫做一个分块矩阵分块矩阵每一个分块的方法叫做每一个分块的方法叫做A一种一种分法分法2022-2-25数学与计算科学学院特殊分法特殊分法按行分块按行分块 12,sAAAA 其中其中 12(,),iiiinAaaa 按列分块按列分块 12,nAA AA ，其中，其中 12,jjjnjaaAa

2、 设矩阵设矩阵 (),ijs nAa 1,2, .jn 1,2, .is 2022-2-25数学与计算科学学院 srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111,1、加法、加法设设 A, B 是两个是两个 矩阵，对它们矩阵，对它们mn 一、分块矩阵的运算一、分块矩阵的运算.11111111 srsrssrrBABABABABA用同样的分法分块用同样的分法分块:其中子块其中子块 与与 为同型矩阵，则为同型矩阵，则ijAijB2022-2-25数学与计算科学学院2、数量乘法、数量乘法.1111 srsrAAAAA 设分块矩阵设分块矩阵 1111,rssrAAAPAA 则则2022-2-25数学

3、与计算科学学院,11111111 trtrststBBBBBAAAAA那那末末的的行行数数的的列列数数分分别别等等于于其其中中,2121ijjjitiiBBBAAA srsrCCCCAB1111 ., 1;, 11rjsiBACkjtkikij 其其中中3、乘法、乘法把矩阵把矩阵(),()ikm nkjn pAaBb分块成分块成2022-2-25数学与计算科学学院112111222212.ssttstAAAAAAAAAA 设分块矩阵设分块矩阵 111212122212,ttssstAAAAAAAAAA 则则4、转置、转置2022-2-25数学与计算科学学院例例1 设设,101101210010

4、0001 A,0211140110210101 B.AB求求2022-2-25数学与计算科学学院解解分块成分块成把把BA, 10011001A00001121 , EEO1A 0211140110210101B 11BE21B22B2022-2-25数学与计算科学学院则则 2221111BBEBEAOEAB.2212111111 BABBAEB又又21111BBA 110121011121 11012043,1142 02141121221BA,1333 2022-2-25数学与计算科学学院于是于是 2212111111BABBAEBAB.1311334210410101 2022-2-25数

5、学与计算科学学院例例2 设设 0,ADC B 证明：证明：D 可逆，并求其逆可逆，并求其逆其中其中 A, B 分别为分别为 k 级和级和 r 级可逆矩阵，级可逆矩阵，C为为rk 证证0ADC B A B 0, D 可逆可逆. .设逆阵设逆阵111122122,XXDXX 2022-2-25数学与计算科学学院 1112212200,0krEXXAC BXXE 于是于是即即111211212200krAXEAXCXBXBXE 111110ADB CAB . .1111211212200XAXXB CAX 2022-2-25数学与计算科学学院三、准对角矩阵三、准对角矩阵,21 sAAAAOO称为称为

6、准对角矩阵准对角矩阵. . 形式如形式如iA的分块矩阵，其中的分块矩阵，其中为级方阵为级方阵in(1,2, ),is 定义定义2022-2-25数学与计算科学学院性质性质12,sAAAA OO12,sBBBB OO(1) 设准对角矩阵设准对角矩阵 A, B 级数相同，并且分法相同级数相同，并且分法相同, ,则则则则1122sSABABABAB ，OO2022-2-25数学与计算科学学院1122sSA BA BABA B . .OO(2) 准对角矩阵可逆准对角矩阵可逆12sAAAA OO01,iAis，1,is iA可可逆逆，111121sAAAA 且且OO2022-2-25数学与计算科学学院1

7、5003031021AA 例例，求求解：解： 115,5 11 500011023A . .131112121 ，2022-2-25数学与计算科学学院附附： 一些一些特殊分块乘积特殊分块乘积 12,nAXA ， 一般线性方程组一般线性方程组1 1.nnxx 即即 1212,nnxxx ，则有则有2022-2-25数学与计算科学学院1122(,)nnAAA 1212(,),(,)m nnnAA AADdiag = = 若若1212(,)m nnnADA AA = =则则OO2022-2-25数学与计算科学学院1122.mmAAA 1212,(,),m nmmAAADdiagA = =若若1122

8、m nmmAADAA 则则OO2022-2-25数学与计算科学学院若把矩阵若把矩阵B, C按行分块，则按行分块，则 设矩阵设矩阵(),(),(),ijn mijm sijn sAaBbABCc于是有于是有1112111212222212mmnnnmmnaaaBCaaaBCABaaaBC1122,1,2,iiimmia Ba Ba BCin 即即C的行向量组可由的行向量组可由B的行向量组线性表出的行向量组线性表出.( )( )R CR B2022-2-25数学与计算科学学院若把矩阵若把矩阵A, C按列分块，则按列分块，则于是有于是有 1112121222121212,ssmsmmmsbbbbbb

9、ABA AAC CCbbb1122,1,2,jjmjmjb Ab Ab ACjs 即即C的列向量组可由的列向量组可由A的列向量组线性表出的列向量组线性表出.( )( ).R CR A2022-2-25数学与计算科学学院证：证： 40( )( )ABnABR AR Bn 例例、 为为 级级方方阵阵，证证明明，若若，则则 . .0,AB 12,0,nA B BB为为 B 的列向量，的列向量，iB 12,0,nAB ABAB0,1,2,iABin, ,即即B的每一列向量皆为齐次线性方程组的每一列向量皆为齐次线性方程组 0AX 的解向量的解向量 .2022-2-25数学与计算科学学院12,( ),nrank B BBnR A故故12,nB BB可由可由 的基础解系线性表出，的基础解系线性表出， 0AX ( )( ),R BnR A即即( )( )R AR Bn. .2022-2-25数学与计算科学学院12353(,)AA 例例 已已知知 级级方方阵阵 按按列列分分块块为为，121325,(2,34,5)ABB 且且若若，求求. .解法一：解法一： 11