矩阵的初等变换与逆矩阵的求法

1、第2节 矩阵的初等变换与逆矩阵的求法 1.2.1 线性方程组的同解变换1.2.2 矩阵的初等变换1.2.3 初等矩阵1.2.4 用初等行变换求逆矩阵 1.2.1 线性方程组的同解变换 对于线性方程组，可以做如下的三种变换：（1）互换两个方程的位置；（2）把某一个方程两边同乘以一个非零常数c；（3）将某一个方程加上另一个方程的k倍。 这三种变换都称为初等变换初等变换。如上的变换是可逆的。也就是，如果经过一次变换把方程组 (1.1)变成一个新方程组，那么，新方程组必可经过一次同类型的变换变为原方程组(1.1)。定理定理1.11.1 设方程组(1.1)经过某一初等变换后变为另一个方程组，则新方程组与

2、原方程组同解。 此性质在矩阵中如何体现呢？此性质在矩阵中如何体现呢？ 初等行变换 row初等列变换 column交换i, j两行数乘第 i 行数乘第 i行加到第 j 行ijrrikrjirkr交换i, j两列数乘第 i 列数乘第 i 列加到第 j 列ijccikcjickc2.1.2 矩阵的初等变换例例 用矩阵的初等变换解线性方程组用矩阵的初等变换解线性方程组123231230 2122xxxxxxxx 解解 将矩阵的增广矩阵作将矩阵的增广矩阵作行初等变换行初等变换11 100 21 12 112312111002110332rr 21211101101220332 r111002110332

3、12323111 022110 122370 022 r rrr323111 022110 12270 013r1323121221 0 0350 1 0370 0 13 rrrr所以，方程组的解为所以，方程组的解为123257,333xxx 323111 022110 12270 013r1.2.3 初等矩阵定义定义1.9 由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵。初等矩阵有三种类型:10111101ijijRCijij(1)对调E中的第i,j行，得到的矩阵记为Rij ； 对调E中的第i,j列，得到的矩阵记为Cij。(2)用不为零的数乘以E中的第i行，得到的矩阵记为Ri()；

4、用不为零的数乘以E中的第i列，得到的矩阵记为Ci()。11( )( )11iiR kC kk(3)以数乘以E中的第i行加到第j行上去，得到的 矩阵记为Rij()；以数乘以E中的第j列加到第i列上去，得到的矩阵记为Cij()。11( )( )11ijijRC 初等矩阵是可逆的，并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵，容易验证： R Rijij-1-1=R=Rijij（R Ri i( () )）-1-1=R=Ri i(1/(1/) )（R Rijij( () )）-1-1= R= Rijij( () ) 初等矩阵与初等变换有什么关系呢？例1 计算下列初等矩阵与矩阵A=aij3n, A=aij32, B

5、=bij33的乘积:11121111212122221222313233132311311232111221222122313231321 0 0000 0 11 00 1 00 0 1nnnnnnaaaaaacaaacacacaaaaaaaacaacaaacaaaaaaaa 1112111221222122313231313132323333321 0 00 0 10 1 0bbbbbbbbbbbbbbbbbb 用初等矩阵左乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等行变换；用初等矩阵右乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等列变换。 不难证明下面的一般结论:Ri(c)A表示A的第i行乘c;Ri

6、j(c)A表示A的第i行乘c加至第j行;RijA表示A的第i行与第j行对换位置;BCi(c)表示B的第i列乘c;BCij(c)表示B的第j列乘c加至第i列;BCij表示B的第i列与第j列对换位置.初等矩阵的行列式都不等于零, 因此初等矩阵都是可逆矩阵. 由于对初等矩阵再作一次初等变换就化为单位矩阵, 即1( ),()( ),iiijijijijRR cI Rc R cI R RIcv所以, 初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵, 即1111( ),( )(),iiijijijijRcRRcRcRRc定理定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆。 矩阵A经过有限次初等变换后得到B，就说A与B等价等价.记

7、为AB。可以表示为B=PAQ,其中P是有限次初等行变换所对应的初等矩阵的乘积，Q是有限次初等列变换所对应的初等矩阵的乘积。定理定理1.3 可逆矩阵经过有限次初等变换后的矩阵仍然是可逆阵。证明证明 设A可经有限次初等变换化为矩阵B，则存在初等矩阵P1，P2，Pm，Q1，Q2，Qn，使得B=P1P2PmAQ1Q2 Qn成立由于A，Pi，Qj（i=1，2，m；j=1，2， ，n）均可逆，所以B可逆。定理定理1.4 可逆矩阵可以经过有限次初等行变换化为单位阵。证明证明 设A为n阶可逆矩阵。111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa因为A是可逆矩阵，所以A第一列不能全为零。这样就可以通过初

8、等变换将第一行第一列的元素变为不等于零。再对第一行第一列乘以适当的系数，可以把第一行第一列的元素变为1。再用适当的倍数加到其他行。使得第一列的其他元素都是零，得到如下形式的矩阵：1212222100nnnnnbbbbBbb有可逆性知b22,bn2中至少有一个不为零。（如果不是这样，则将B的第一列乘以（-b12）加到第二列中，则第二列全为零，这与逆矩阵的性质相矛盾。）。这样就可以通过初等变换将第二行第二列的元素变为不等于零。再对第二行第二列乘以适当的系数，可以把第二行第二列的元素变为1。再将第二行乘以适当的数加到下面各行。得到矩阵：类似地可以证明， C33,Cn3中至少有一个不为零。并通过适当的

9、行变换将第三行第三列的元素变为1，气候各行的元素全部变为零。 重复下去，最后可以将矩阵A变为上三角矩阵形式：1213123233331010000nnnnnnCCCCCCCCCC1*01*001将此上三角阵的第n行乘以适当参数，加到上面各行中，可以使第n列的非角元素全变为零：第n-1行乘以适当的数，加到上面各行中，可以使第n-1列的非对角元素全变为零；依此类推，最后可以得到单位阵。定理定理1.5 方阵P P为可逆阵的充分必要条件是P P可以表示为有限 个初等矩阵的乘积。1213123233331010000nnnnnnCCCCCCCCCC1.2.4 用初等行变换求逆矩阵 由定理1.5可知，可逆

10、矩阵A可以分解成若干初等矩阵的乘积。设A=P1P2Pt则有 Pt-1P2-1P1-1A=E 且 Pt-1P2-1P1-1 E = A-1 上面两个式子表明，对矩阵A与E施行同样的行变换，在把A化成单位阵时，E同时就化成A-1。 即得 Pt-1P2-1P1-1（AE） （E A-1）用初等变换求逆矩阵：把可逆矩阵A与同阶单位矩阵并行摆放，得到()AE 对这个矩阵实施行的初等变换，最终使左半部分变成E，则右半部分就变成1A例例1.71.7 设 A A= 解解 152131341100143010131001251103511001112000125113123 rrrr32211/( 2)1 52

11、1001 521000 1 1/2 1/2 1/2 00 1 1/21/2 1/2 00 11 53010 01/2 5/2 11/2 1rrr 求A A.3/( 1/2)1 521001 521000 1 1/21/2 1/2 10 1 1/2 1/2 1/2 00 01/2 5/2 11/2 10 015112r 132312(1/2)(1/2)51 0 1/2 3/2 5/2 01 0 0 1310 1 1/21/21/2 00 1 0 2510 0 151120 0 1 5 11 2rrrrrr 所以 A A1=2115152131注意注意 在求逆矩阵的过程中，初等行变换与初等列变换不能混用。 例例求矩阵的逆。123